当前位置:首页 >> 数学 >>

必修2-第二章点、直线、平面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系


2010~2011学年度高一数学·必修1(人教A版)

济宁育才中学高一数学组 朱继哲

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

教学目的:
1.会判断两条直线的位置关系,学会用图 形语言、符号语言表示三种位置关系. 2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平 行. 3掌握空间两直线的位置关系,掌握异面直 线的概念,会用反证法和异面直线的判定 定理证明两直线异面; 4. 掌握异面直线所成角的概念及异面直线 垂直的概念,能求出一些较特殊的异面直 线所成的角
王新敞
奎屯 新疆

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

复习引入: 1、同一平面内不重合两条直线有几种位置 关系?
(1)相交:有且仅有一个公共点。 (2)平行:在同一平面内没有公共点。

2、在同一平面内,同平行于一条直线的两 条直线有什么位置关系? 互相平行 提出问题:空间中的两条直线呢?

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

1.空间中两条直线的位置关系 观察: 观察教室内的日光灯管所在直线与黑 板的左右两侧所在的直线,想一想:它 们相交吗?平行吗?共面吗? 观察上方体的 棱所在直线,回答 类似的问题. 思考:我们把具有上述特征的两条直线取 个怎样的名字才好呢?

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

异面直线的定义: 我们把不同在任何一个平面内的两条直 线叫做异面直线(skew lines)。 想一想:怎样通过图形来表示异面直线? 为了表示异面直线a,b不共面的特点,作 图时,通常用一个或两个平面衬托。如下 图: m
m
?

l

l

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

想一想,做一做:
1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点, 那么MN与AB所在的直线是异面直线吗?

D1

M

C1

A1

B1
N

D
A

C

B

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

想一想,做一做:
2. 下图是一个正方体的展开图,如果将它还原 成正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段 所在直线是异面直线的有几对?

C G H E F

A
D B

三对 AB与CD

AB与GH
EF与GH

3. l1 ? ? , l2 ? ? , 则l1 , l2一定是异面直线吗?

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

空间中两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种
? ?平行直线 ?共面直线 ? ? ?相交直线 ? 异面直线 ?

位置关系 相交

公共点个数

是否共面

只有一个

共面

平行
异面

没有 没有

共面 不共面

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

2. 空间两平行直线
提出问题:在同一平面内,如果两条直线都与 第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。 在空间中,是否有类似的规律? ABCD ? A' B'C ' D' 中, BB'∥ AA' 观察 如图2.1.2-5,长方体


DD'∥ AA'

那么 BB' 与 DD ' 平行吗? D'
C' B' D C

A'

A

B

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空 间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 符号表示:设空间中的三条直线分别为a, b, c,则

a∥b c∥b

a∥c

想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直 线垂直,是否也有类似的规律?

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

例题示范
例1: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分 别是AB,BC,CD,DA的中点。 求证:四边形EFGH是平行四边形。
分析: 欲证EFGH是一个平行四边形 A

只需证EH∥FG且EH=FG
E 连结BD,只需证: 1 EH ∥BD且EH = BD

H
D G B F C

2 1 FG ∥BD且FG = BD 2

E,F,G,H分别是各边中点

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

例题示范
例1: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分 别是AB,BC,CD,DA的中点。 求证:四边形EFGH是平行四边形。
证明: 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD 2 1 同理,FG ∥BD且FG = BD A

H
E D G B F C

2

∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

变式一:
在例2中,如果再加上条件AC=BD,那 么四边形EFGH是什么图形?
A

菱形
E H
D B F G C

分析: 在例题2的基础上我 们只需要证明平行四边形 的两条邻边相等。

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

变式二:
空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中 CF CG 2 点,F,G分别是CB,CD上的点,且 , ? ? CB CD 3 A 求证:四边形ABCD为梯形.
E

H
D

分析:需要证明四边形ABCD有 一组对边平行,但不相等。

B F

G

C

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

3. 等角定理
提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角 的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个 角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立 呢? 观察思考:如图,∠ADC与∠A'D'C'、∠ADC与 ∠A'B'C'的两边分别对应平行,这两组角的大小 关系如何?

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

3. 等角定理
定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补。
A B D E F
C
?

?

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

3. 等角定理
定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补。 ? A B C
D
?

F E 定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直 线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角) 相等.

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

4. 异面直线所成的角
如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一 点O作直线a'∥a,b'∥b,我们把a'与b'所成的 锐角(或直角)叫做异面直线a,b所成的角(或夹 角)。

为了简便,点O通常取在两条异面直线中的一条上,例 如,取在直线b上,然后经过点O作直线a'∥a,a' 和b 所成的锐角(或直角)就是异面直线a与b所成的角。 想一想:a'与b' 所成角的大小与点O的位置有关吗?

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

4. 异面直线所成的角

如果两条异面直线所成的角为直角, 就说两条直线互相垂直,记作a⊥b。
b
?

a'

?

a

O

记作:a ? b

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

5. 异面直线的判定定理
异面直线定理:连结平面内一 点与平面外一点的直线,和这 个平面内不经过此点的直线是 异面直线

A ?? , B ?? , l ? ? , B ? l ?
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

AB与l是异面直线.

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

例题示范
例2、如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D' 中。 (1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线? (2)直线BA' 和CC' 的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直? 解:(1)由异面直线的判 定方法可知,与直线 BA? 成异面直线的有直线:


B?C?, AD, CC?, DD?, DC, D?C?

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

例题示范
例2、如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'中。 (1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线? (2)直线BA'和CC'的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直?
解:(2)由 BB? // CC? 可知, ?B?BA? 等于异面直线 CC ?与 BA? 的夹角,所以异面直线 CC ? 与 BA? 的夹角为450 。

(3) 直线 AB, BC , CD, DA, A?B?, B?C ?, C ?D?, D?A? 与直线 AA?都垂直.

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

例题示范
例3: 如图,A 是平面 BCD 外的一点 G, H 分别是 ?ABC, ?ACD 的重心, 求证:GH // BD 。 证明:连结 AG, AH 分别交 BC , CD 于 M , N ,连结 MN , ∵G,H分别是⊿ABC,⊿ACD的重 心,∴M,N分别是BC,CD的中点, B ∴MN//BD, 又∵ AG ? AH ? 2
AM AN 3
A

G M

H D N C

∴ GH//MN,由公理4知GH//BD.

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

练习反馈: 1. 判断: (1)平行于同一直线的两条直线平行.(√ ) (2)垂直于同一直线的两条直线平行.( ×) (3)过直线外一点,有且只有一条直线与已知 直线平行 . ( √ ) (4)与已知直线平行且距离等于定长的直线只 有两条. ( ×) (5)若一个角的两边分别与另一个角的两边平 行,那么这两个角相等(×) (6)若两条相交直线和另两条相交直线分别平 行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. (√ )
王新敞
奎屯 新疆

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

练习反馈: 2.选择题 (1)“a,b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ,且a 不平行于b;② a ?平面?,b?平面?且a∩b=Φ ③ a ?平面?,b ?平面? ④ 不存在平面?,能使 a ??且b ??成立 上述结论中,正确的是 ( C) (A)①② (B)①③ (C)①④ (D)③④

(2)长方体的一条对角线与长方体的棱所组成 的异面直线有 ( C) (A)2对 (B)3对 (C)6对 (D)12对

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

(3)两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交, 则直线a,b的位置关系是( D ) (A)一定是异面直线 (B)一定是相交直线 (C)可能是平行直线 (D)可能是异面直线,也可能是相交直线 (4)一条直线和两条异面直线中的一条平行, 则它和另一条的位置关系是( ) D (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)相交或异面
3.两条直线互相垂直,它们一定相交吗? 答:不一定,还可能异面.

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系? 答:三种:相交,平行,异面. 5.画两个相交平面,在这两个平面内各画一条 直线使它们成为(1)平行直线;(2)相交直线; (3)异面直线.

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

6.选择题 (1)分别在两个平面内的两条直线间的位置关系 是 (D ) (A)异面 (B)平行 (C)相交 (D)以上都有可能 (2)异面直线a,b满足a ??,b ??,?∩?=l, 则l与a,b的位置关系一定是( B ) (A)l至多与a,b中的一条相交; (B)l至少与a,b中的一条相交; (C)l与a,b都相交; (D)l至少与a,b中的一条平行.

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

(3)两异面直线所成的角的范围是 ( C ) (A)(0°,90°) (B)[0°,90°) (C)(0°,90°] (D)[0°,90°]
7.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的 打“×”. (1)两条直线和第三条直线成等角,则这两条 直线平行. (×) (2)平行移动两条异面直线中的任一条,它们 √ 所成的角不变. ( ) (3)四边相等且四个角也相等的四边形是正方 形. (×)
王新敞
奎屯 新疆

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

课堂小结:
这节课我们学习了两条直线的位置关系 (平行、相交、异面),平行公理和等角定 理及其推论.异面直线的概念、判断及异 面直线夹角的概念; 证明两直线异面的一般方法是“反证法” 或“判定定理”;求异面直线的夹角的一 般步骤是:“作—证—算—答” .

必修2-第二章点、线、面之间的位置关系-2.1.2空间中直线与直线的位置关系

练习: P48页练习1,2题。 作业: P51 A组3、4(1)(2)(3)、5、6.


相关文章:
...数学必修二2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系课...
高中数学必修二2.1 空间点直线平面之间的位置关系课堂练习及详细答案_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 157份文档 2015国家公务员考试备战攻略 ...
必修2 第二章空间点、直线、平面的位置关系知识要点
必修2 空间点、直线平面的位置关系 1平面的概念及空间点直线平面的位置关系(1)平面平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的; 第二章空间...
必修2《第二章点、直线、平面之间的位置关系》《第1节...
必修2第二章点直线平面之间的位置关系》《第1空间点直线平面之间的位置关系》_高一数学_数学_高中教育_教育专区。【试卷名:第 3 课时空间中直线与...
必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系全章练习题(...
必修二第二章点直线平面之间的位置关系全章练习题(含答案)_高一数学_数学...直线 D.三个点 ( ) B.2 条或 3 条 D.1 条或 2 条或 3 条 B.2 ...
必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1 课时 1.“空间点直线平面之间的位置关系”包括四部分内容,按照平面、空间中直线 与直线之间的位置关系, 空间中直线与平面的位置关系, 空间中平面与平面的...
...平面之间的位置关系作业题及答案解析第2章 2.2.2
2015人教版高一数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系作业题及答案解析第22.2.2_高一数学_数学_高中教育_教育专区。千思兔在线教育 http://www....
...第1节空间点、直线、平面之间的位置关系》
新课标人教A版必修2第二章点直线平面之间的位置关系》《第1空间点、...判断选项可知 C 正确. 故选 C. 【题目】 直线与直线的位置关系为 【答案】...
《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试...
必修 2第二章“点、直线平面之间的位置关系”测试题一、选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项...
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直...
第二章 点直线平面之间的位置关系 2.1 空间点直线平面之间的位置关系_高一数学_数学_高中教育_教育专区。人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版)...
...习题-第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1.2
必修二 同步习题-第二章 点直线平面之间的位置关系2.1.2_政史地_高中教育_教育专区。(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!) 一、选择题(每小题...
更多相关标签: