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2014届文科数学基础练习(二)


季延中学高三文科数学基础练习(二)
一、选择题(12×5=60) 1、若 a>b>0,给出下列不等式,其中正确的是 A.ac>bc B.

1 1 > a b

C. a ? b ? 2 ab

D.

c c ? b a

2、如图,在边长为 2 的正方形内随机取一个点

,则此点在正方形的内切圆内部的概率为

4 ?? ? ?1 ? B. C. 4 4 4 3、若 a ? b ? 0 , m ? 0 ,则下列不等式中一定成立的是
A.

D.

4 ??

?

b b?m ? A. a a ? m

a a?m ? B. b b ? m

b b?m ? C. a a ? m

a a?m ? D. b b ? m

? x 2 ? 1, x ? 1, 4、函数 f ( x) ? ? 的零点个数为 ?log 2 ( x ? 1), x ? 1
A .1 B .2

(第 2 题图)

C .3

D .4

2 5、 A ? {x | ?1 ? x ? 5}, B ? {x | x ? 2x ? m ? 0} ,若 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4} ,则 m=

A.3

B.0

C .8

D.-1

6、将函数 f ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移 的图象,则它的一个对称中心是

? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 6

开始 输入 n

2 7、定义 n ! ? 1? 2 ?
的条件是 A. i ? 10 ?

A. ( ?

?

, 0)

B. ( ?

?
6

, 0)

C. (

?
6

, 0)

D. (

?
3

, 0)

i ? 1, s ? 1

? n .右图是求 10! 的程序框图,则在判断框内应填
B. i ? 10 ?
2

C. i ? 11 ?

D. i ? 10 ?



否 输出 s 结束

8、若 x ? R ,则“ x ? 0 ”是“ x ? 2 x ? 0 ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

s ? s?i

i ? i ?1

9、函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则

(第 7 题图)

A. f ( x ) 是偶函数 B. f ( x ) 是奇函数 C. f ( x) ? f ( x ? 2) D. f ( x ? 3) 是奇函数 10、下列命题正确的是

A . log0.2 3 ? log0.2 2

B . 0.23 ? 0.22

C . 20.2 ? 30.2

D . 0.23 ? log0.2 3

11 、如图 , 在边长为 2 的菱形 ABCD 中 , ?ABC ? 60 ,对角线相交于点

O , P 是线段 BD 的一个三等分点,则 AP ? AC 等于
A.

1

B. 2

C.

3
1

D. 4

12、对于函数 f ?x ? ,若存在区间 ?m, n ? ,使 x ? ?m, n? 时, f ? x ? ?? km, kn? ( k ? N*) ,则 称区间 ?m, n ? 为函数 f ?x ? 的“ k 倍区间” .已知函数 f ?x? ? x 3 ? sin x ,则 f ?x ? 的“5 倍区 间”的个数是 A.0 答题卡 题序 答案 二、填空题(4×4=16) 13、已知 A(0,0) 、B( 1 2 3 B.1 4 5 6 C .2 7 8 9 D.3 10 11 12

1 1 1 2 、C( ? , ) ,则向量 AC ? AB 的坐标是___________, ,? ) 2 3 2 3

向量 AB ? AC 的坐标是________________。 14 、 已 知 △ ABC 的 三 个 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 若 △ ABC 的 面 积 为

3 3 ? , a ? 3, B ? ,则 b ? 4 3
15、不等式组 ?



? x2 ?1 ? 0 ? 的解集是______________。 2 ? ? x ? 3x ? 0

16、表示以 A(0,0) ,B(2,2) ,C(2,0)为顶点的三角形区域(含边界)的不等式组

是 三、解答题(12+12+12+12+12+14=74)

) ? 3 cos( x ? ) 。 (Ⅰ)求 f ( x) 在 [0, 2? ] 上的单调递 3 3 增区间; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? (1 ? sin x) f ( x) ,求 g ( x) 的值域.
17、已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

?

18、若 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切 x>0 满足 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ). (Ⅰ)求 f (1) 的值; (Ⅱ)若 f (6) ? 1 ,解不等式 f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2.

x y

1 x

2

19、某公司需将一批货物从甲地运到乙地,现有汽车、火车两种运输工具可供选择.若该货 物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为 300 元/小时,其他主要参考数据如下: 运输 工具 汽车 火车 途中速度 (千米/小时) 50 100 途中费用 (元/千米) 8 4 装卸时间 (小时) 2 4 装卸费 用(元) 1000 1800

问:如何根据运输距离的远近选择运输工具,使运输过程中的费用与损耗之和最小?

20、 已知向量:m ? (sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x), ,n ? (cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x),(其中? ? 0) 函数 f ( x) ? m ?n ,若 f ( x) 相邻两对称轴间的距离为

? 。 (Ⅰ)求 ? 的值,并求 f ( x) 的最 2

大值及相应 x 的集合; (Ⅱ)在△ABC 中, a, b, c 分别是 A,B,C 所对的边,△ABC 的面积

S ? 5 3, b ? 4, f ( A) ? 1,求边 a 的长.

3

21 、 设 直 线 l : y ? 5 x ? 4 是 曲 线 C : f ( x) ?

1 3 x ? x2 ? 2 x ? m 的 一 条 切 线 , 3 2 。 ( Ⅰ ) 求 切 点 坐 标 及 ( Ⅱ ) 当 m?Z 时 , 存 在 g ( x) ? ax ? 2x ? 23 m 的值; ,求实数 a 的取值范围。 x ? [ 0 ,? ? ) 使f ( x)? g ( x成立 )

22、已知定义域为 R 的函数 (Ⅰ)求 b 的值;

?2 x ? b f ( x) ? x ?1 是奇函数。 2 ?2
(Ⅱ)判断函数 f ? x ? 的单调性;

(Ⅲ)若对任意的 t ? R ,不等式

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围。

4

参考答案
1—12 CACCC CBADD BD

?x ? 2 1 ? -1) 13 (0, ),(1, ;14 7 ;15 ;16 ? y ? 0 (0,1 ) 3 ?x ? y ? 0 ?

17、解:(Ⅰ) f ( x) ? 2sin( x ?

?

? ) ? 2sin x ,????????????2 分 3 3

?

, 2k? + ](k ? Z ) , ?????4 分 2 2 ? 3? ? f ( x)在[0, 2? ]上的单调递增区间为[0, ],[ , 2? ] ; ????????6 分 2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得, g ( x) ? 2(1 ? sin x)sin x ? 2sin 2 x ? 2sin x ,
2 2 设 t ? sin x ,当 x ? R 时, t ? [?1,1] ,则 h(t ) ? 2t ? 2t ? 2(t ? ) ?

函数y ? sin x的单调递增区间是[2k? -

?

?

???7 分

1 2

1 ,???9 分 2

由二次函数的单调性可知,h (t ) min ? ?

1 ) ? 0, ( 1 h ) 4, ? ,又 h(?1 2

? h(t) max ?4 , ?11 分

则函数 g ( x) 的值域为 [? , 4] . ?????????????????????12 分

1 2

18、解:解: (Ⅰ) 令x ? y ? 0, 则 f ( ) ? f ( x) ? f ( x) ? 0, f (1) ? 0

x y

(Ⅱ)

1 f (6) ? 1,? 2 ? 2 f (6), f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2 f (6) x
∴ f ( x( x ? 3)) ? f (6) ? f (6)

即 f ( x ? 3 ) ? 2 f (6),

1 x

x ? x ? 3? ? ∴f? ? ? ? f (6), 6 ? ?



f ( x) 在 ? 0, ?? 是增函数,

? 1 ?0 ? 则? x ?3 ? 3 17 ? x?3? 0 ? 0? x ? 2 ? x( x ? 3) ? ?6 ? 6

19、解:设甲、乙两地距离为 x 千米(x>0),选用汽车、火车运输时的总支出分别为 y1 和 y2.由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表: 运输工具 汽车 火车 途中及装卸费用 8x+1000 4x+1800 途中及装卸时间

x
50

+2

+4 100

x

于是 y1=8x+1000+( +2)×300=14x+1600, 50
5

x

y2=4x+1800+(

+4)×300=7x+3000. 100

x

令 y1-y2<0 得 x<200.

①当 0<x<200 时,y1<y2,此时应选用汽车;②当 x=200 时,y1=y2,此时选用汽车或火 车均可;③当 x>200 时,y1>y2,此时应选用火车. 故当距离小于 200 千米时,选用汽车较 好; 当距离等于 200 千米时, 选用汽车或火车均可; 当距离大于 200 千米时, 选用火车较好. 20、解: (I)? f ( x) ? cos2 ?x ? sin 2 ?x ? 2 3 sin ?x cos?x ? cos2?x ? 3 sin 2?x

? 2 sin( 2?x ?

?
6

)

???????????3 分

又题意可得 T ? ? ,? ? ? 1,? f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 当 sin( 2 x ?

?
6

)

??????4 分 ??????????5 分 ???????????6 分

? =1 时, f ( x) 有最大值为 2, )
6

? x ? {x | x ?
(II)

?
6

? k? , k ? Z }

? =21 ? a ? 21 3 21、 (Ⅰ)解:设直线 l 与曲线 C 相切于点 P( x0 , y0 ) ,
由余弦定理得:a =16+25-2×4×5cos
2

? 1 ? ??????7 分 f ( A) ? 2sin(2 A ? ) ? 1 ? sin(2 A ? ) ? 6 2 6 0 ? A ? ? ? 2 A ? ? ? 5? ,? A ? ? ????????????8 分 6 6 3 1 ? S ? bc sin ? 5 3 ,又 b ? 4 ? c ? 5 ?????????10 分 2 3
?????12 分

f ?( x) ? x2 ? 2x ? 2 , ? x02 ? 2 x0 ? 2 ? 5 , 解得 x0 ? ?1 或 x0 ? 3 ,????2 分
当 x0 ? ?1 时, y0 ? ?1 , 当 x0 ? 3 时, y0 ? 19 , 综上切点 P(?1, ?1) , m ?

P(?1, ?1) 在曲线 C 上,∴ m ?

7 , 3

P(3,19) 在曲线 C 上,∴ m ? 13 ,????????5 分
7 ;或切点 P(3,19) , m ? 13 .????????6 分 3 1 3 x ? (1 ? a ) x 2 ? 36 , 3

(Ⅱ)解法一:∵ m ? Z ,∴ m ? 13 ,设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

若存在 x ? [0, ??) 使f ( x) ? g ( x)成立 ,则只要 h( x)min ? 0 ,

h?( x) ? x2 ? 2(1 ? a) x ? x ? x ? 2(1 ? a)? ,?????8 分
(ⅰ)若 1 ? a ? 0 即 a ? ?1 , 令 h?( x) ?0 , 得x?2 ( 1 ?) a或 x 0 ? ,

x ?[0, ??) ,∴ h( x)

在 (2(1 ? a), ??) 上是增函数,令 h?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 2(1 ? a) ,? h( x) 在 [0, 2(1 ? a)] 上是减函数,? h( x)min ? h(2(1 ? a)) , 令h(2(1 ? a)) ? 0 ,解得 a ? 2 ,????10 分

6

(ⅱ)若 1 ? a ? 0 即 a ? ?1 ,令 h?( x) ? 0 ,解得 x ? 2(1 ? a)或x ? 0 ,

x ?[0, ??) , ∴ h( x) 在 (0, ??) 上是增函数,

? h( x)min ? h(0),

令h( 0 ) ? ,不等式无解, 0 ? a 不存在, ????11 分

综合(ⅰ) (ⅱ)得,实数 a 的取值范围为 [2, ??) .?????????12 分 解法二:由 f ( x) ? g ( x) 得 ax ?
2

1 3 x ? x 2 ? 36 , 3

(ⅰ)当 x ? 0 时, a ?

1 36 1 36 x ? 2 ? 1 ,设 h( x) ? x ? 2 ? 1 3 x 3 x

若存在 x ? [0, ??) 使f ( x) ? g ( x)成立 ,则只要 h( x)min ? a , ??8 分

1 72 x3 ? 63 h?( x) ? ? 3 ? ,令 h?( x) ? 0 3 x 3x3

解得 x ? 6 ? h( x) 在 [6 ? ?) 上是增函数,

令 h?( x) ? 0 ,解得? 0 ? x ? 6 ? h( x) 在 (0, 6) 上是减函数,

? h( x)min ? h(6) ? 2 ,? a ? 2 ,
(ⅱ)当 x ? 0 时,不等式 ax ?
2

???????????10 分

1 3 x ? x 2 ? 36 不成立,∴ a 不存在,?????11 分 3
??????12 分

综合(ⅰ) (ⅱ)得,实数 a 的取值范围为 [2, ??) .

22、解(Ⅰ) f ( x ) 是奇函数,故 f (0)=0 ,即

b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1 ? f ( x) ? ?3 分 2?2 2 ? 2 x ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?

1 ? 2x 1 1 ?? ? x , x ?1 2?2 2 2 ?1

设 x1 ? x2
x

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 1 2x2 ? 2 x1 ? ? 2x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
x x

x x 因为函数 y=2 在 R 上是增函数且 x1 ? x2 ∴ 2 2 ? 2 1 >0 又 (2 1 ? 1)(2 2 ? 1) >0

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。∴ f ( x ) 在 (??, ??) 上为减函数。 ????8 分 (Ⅲ)因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式:
2 2 2

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0

等价于 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k ) ? f (k ? 2t ) ,????.10 分 因 f ( x ) 为 减 函 数 , 由 上 式 推 得 : t ? 2t ? k ? 2t
2 2

. 即 对 一 切 t?R 有 :

3t 2 ? 2t ? k ? 0 ,?????12 分

从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ?

1 ??14 分 3

7


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