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解题案例


第3章

解题案例

在前面的两章中,已经多次出现解题分析的案例,包括“解题思路探求”的分析和“反 思解题过程”的分析. “解题思路的探求”把“题”作为认识的对象,把“解”作为认识的 目标,重点展示由已知条件到未知结论的沟通过程,说清怎样获得题目的答案;而“解题过 程的反思” 则继续把解题活动(包括题目与初步解法)作为认识的对象, 不仅关注

如何获得解, 而且寄希望于对“解”的进一步分析而增强数学能力、优化认知结构、提高思维素质,学会 “数学地思维” ,重点在怎样学会解题. (第 1 章第 4 节) 数学解题是笔者对中国数学教育表态的一个讲台,本书是一个中国解题者的学习案例、 或一个中国学习者的解题案例, 本章将在 “分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径” 的理念下,重点提供分析解题过程的更多案例. 有鉴于数学教育理论研究常常受到一线教师“难以进入课堂” 、 “不能直接面对学生”和 “缺数学味”的抱怨,下面的解题案例将直接来自中学,专业分析中将尽力把理论与操作、 数学与教学结合起来.

第1节

问题解决视角的解题分析

案例 1:问题解决视角的解题分析. 我们倡导的解题分析与解题的最后一个环节(回顾检验)是有区别的,它不仅反思计算 是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多、更简单的,而且要提炼怎样 解题和怎样学会解题的理论价值(见文[1]、[2]) .下面我们通过一道中考题(前两问)及 其标准答案的分析,来说明怎样进行数学解题的专业分析,所选取的分析视角是问题解决.

3.1.1 案例的呈现
2005 年北京市海淀区中考 24 题前两问及其标准答案是: 例 1 已知抛物线 y ? x 2 ? mx ? m ? 2 . (I)求证此抛物线与 x 轴有两个不同的交点. (II)若 m 是整数,抛物线 y ? x 2 ? mx ? m ? 2 与 x 轴交于整数点,求 m 的值. 标准答案 (I)令 y ? 0 ,则 x 2 ? mx ? m ? 2 ? 0 , 因为 ? ? m 2 ? 4m ? 8 ? (m ? 2) 2 ? 4 ? 0 , 所以此抛物线与 x 轴有两个不同的交点. 2 (II)因为关于 x 的方程 x ? mx ? m ? 2 ? 0 的根为

x?

m ? (m ? 2) 2 ? 4 , 2
2

由 m 为整数,当 (m ? 2) ? 4 为完全平方数时,此抛物线与 x 轴才有可能交于整数 点.设 (其中 n 为整数) (m ? 2) 2 ? 4 ? n 2 , 所以 因为

?n ? (m ? 2)? ?n ? (m ? 2)? ? 4 .
n ? (m ? 2) 与 n ? (m ? 2) 的奇偶性相同,所以

?n ? m ? 2 ? 2, ? ?n ? m ? 2 ? 2;



?n ? m ? 2 ? ?2, ? ?n ? m ? 2 ? ?2.

m ? 2. 解得 2 经检验,当 m ? 2 时,关于 x 的方程 x ? mx ? m ? 2 ? 0 有整数根.所以 m ? 2. 评析 这个解法运算准确,书写规范,过程完整,还有反思分析的余地吗?还能开发 出解题智慧来吗? 我们先来作整体分解,然后作信息交合.

3.1.2

解题步骤的结构分析

3.1.2.1 逻辑关系的结构提炼 第(1)问的情况比较简单,我们分析的重点放在第(2)问,首先提炼其解题步骤(整体 分解) ,有这样一个逻辑结构图(图 3-1)和信息流程图(图 3-2) :

图 3-1

图 3-2

可见,求解过程可分为3大步6小步(用 L1 ~ L6 来表示6个步骤) .第 1 大步是必要 性,由 m ? Z , xi ? Z ,推出 m ? 2 ;第 2 大步是充分性,验证 m ? 2 时方程有整数根;第 3 大步是由上述两步得出 m ? 2 为所求,6 小步分述于下:

L1 :由已知二次方程中分别给出了根、系数的约束条件想到,应找出根与系数的关系, 选择了求根公式

图 3-3 L2 :因为根与系数均为整数,由求根公式看出方程的判别式应为完全平方数

图 3-4 文中“当 (m ? 2) 2 ? 4 为完全平方数时,此抛物线与 x 轴才有可能交于整数点”是说: ? 为平方数是 m ? Z ,x1 , x2 ? Z 的必要条件.这从二次方程求根公式的配方过程或逆向变 形都可以看得很清楚,对 ax2 ? bx ? c ? 0 , 两边乘以 4 a 后配方,有 b 2 ? 4ac ? (2ax ? b) 2 . 2 可见,? ? b ? 4ac 本身是一个完全平方式 (2ax ? b) 2 , 但不一定是完全平方数, 当 a, b, xi 2 为整数时, ? ? (2axi ? b) 为平方数.反之,由 ? 为平方数不能推出 a, b, xi 均为整数,因 而,这是一个必要条件.对本例而言,将原解法中的求根公式作逆向变形便有

m ? (m ? 2) 2 ? 4 2 x? ? ?m ? 2? ? 4 ? (2x ? m) 2 . 2
所以,原解法中的整数 n 正是 2 x ? m . 由这一形式转换立即可以得出关于 m, x 的二元一次方程组(见[新解 1]). L3 :用分解法解二元二次不定方程(再次用到 m 为整数的条件) (m ? 2) 2 ? 4 ? n 2 , 有 ?n ? (m ? 2)? ?n ? (m ? 2)? ? 4 . 而 4 的整数分解式有 4 种情况 4 ? 1? 4 ? (?1) ? (?4) ? 2 ? 2 ? (?2) ? (?2) , 文中用了两个整数的和与差有相同奇偶性的性质,得出只有

4 ? 2 ? 2 ? (?2) ? (?2) 两种情况,解得 m ? 2 . 但 m ? 2 是由必要条件推出的,故还要代入原方程验证充分性.有

图 3-5

L4 :代入原方程,得 x 2 ? 2x ? 0 , L5 :这个方程确有两个整数根 x ? 0,2 . L6 :整数 m ? 2 满足充要条件,故为所求.

图 3-6 从原解法、到图 3-1,再到图 3-6 是解题思维的结构提炼、不断显化的概括过程. 3.1.2.2 逻辑结构的初步分析 1.在这个解法中,用到了二次方程的求根公式(公式法) ,判别式的讨论(为平方数) , 二元二次不定方程 (分解法求整数解),整数 4 的分解(及奇偶分析法) ,二元一次方程的求 解(消元法)等知识,两个整数条件都使用了两次、按先必要后充分的顺序组织为如图 3-6 的 6 步骤结构.这样,我们就弄清楚了,解题中用到了哪些知识、哪些方法(有用捕捉、有 关提取) ,它们又是怎样组成一个和谐的逻辑结构的(有效组合) . (参见第二章第四节) 2 .这 6 个步骤一环扣一环,看上去是哪一步都不能省;两个已知条件 m ? Z 与 x1 , x2 ? Z 又全都用到了,看上去也是哪一个都不能少.但这只是表面现象,作为引发认知 冲突的例子,请思考,用同样的步骤如何求解形式稍有变化的下面两题. 例 2 若二次函数 y ? x 2 ? mx ? m ? 2 与 x 轴交于整数点,求 m 的值. 这里没有 m 为整数的条件,对不定方程 (m ? 2) 2 ? 4 ? n 2 , 用整数分解的方法已无能为力,但问题有解 m ? 2 , x ? 0,2(参见下文[新解 3]、[新解 4]) , 这是为什么? 例3 若二次函数 y ?

x2 ? m x ? m ? 1 与 x 轴交于整数点,求 m 的值. 2
1 x ? 0,2 , 已不是整数, 但问题仍有解 m ? 1 , 2

此处不仅没有 m 为整数的条件, 而且 a ? 这是为什么?

3.由图 3-1 或图 3-6 可见,⑥式与⑦式虽然都是 m ? 2 ,但在逻辑性质上是有区别的, 若进行到第 3 小步 ( L3 ) 得出 m ? 2(⑥式) 就下结论, 那条件只是必要的 (缺 L4 , L5 , L6 ) ; 若由观察得原方程 m ? 2 时有两个整数根(⑦式逆向箭头到①、②、③式)就下结论,则条 件只是充分的(缺 L1 , L2 , L3 ) ,都叫做“对而不全” ,犯有逻辑性错误(存在思维的肤浅性) .

3.1.3

解题过程的自觉反思

对 6 小步的每一步,既可以正面思考知识的关联、转换、合并等,也可以反向思考(称 为否定假设法) :如果这一步不是这样的,那它会是什么样的?为了节省篇幅,我们主要反 思问题表征、资源配置与策略调控,在这些分析中已经含有信息交合的成分. 3.1.3.1 反思问题表征 这涉及问题在头脑中的呈现. 1.从上面的结构分析可以看到,原解法对方程的两个约束条件:m ? Z 与 x1 , x2 ? Z 的重视倾向是不一样的,即更强调“ m ? Z ”的使用优先权,更突出 m ? Z 在解题全程中 的地位, xi ? Z 成了第 2 位的,虽然必要性也用到了,但“好像”主要用于验证充分性.这

实质上是将问题表征为: 2 表征 1 求整数 m ,使方程 x ? mx ? m ? 2 ? 0 的根为整数. 这是可以理解的,其合理成分首先表现为原题的叙述本身先出现 m ? Z , 后出 现 xi ? Z ,并且条件、结论共两次出现 m ,问题的这种呈现方式,给解题者造成一个潜在的 心理暗示,强化了 m ? Z 的地位;其次,问题的目标是求 m 的值,这又给解题者一个心理 牵引,促使其紧紧抓住 m 来展开思考.由此可见,问题的呈现方式(甚至条件出现的先后 顺序)对解题主体的解题活动常常产生直接影响.然而,具体到本例,这种认识并不反映问 题的深层结构(由例 2、例 3 即可看到条件 m ? Z 是多余的) ,因而这种表征方式,更多地 表现为思维定势的负迁移(参见下文[新解 3]、[新解 4]) .反思如果不是 m ? Z 优先,便立 即可以得出 xi ? Z 优先或两个条件并列,有如下的表征 2 表征 2 已知方程 x ? mx ? m ? 2 ? 0 的根全为整数,求整数 m 的值. 2 表征 3 已知方程 x ? mx ? m ? 2 ? 0 的根及 m 均为整数,求 m 的值. 这两个表征与表征 1 的区别是, m ? Z 的条件已经放到 xi ? Z 的下位(表征 2)或并 列地位(表征 3) .这些不同表征的差异,会表现为或用 m 来表示 x i ,并消去 x i ,优先处理 ;或用 x i 来表示 m ,并消去 m ,优先处理 x i (见[新解 3]、[新解 4]) ;或同 m (见原解法) 时表示 m 与 x i ,整体、并列处理 m , x i (见[新解 1]、[新解 2]) .事实上,对本例而言, x 是二次的、 m 是一次的,由 m 表示 x

m ? (m ? 2) 2 ? 4 , x? 2
六种代数运算全有,并呈现为多值对应,较难看出 x 为整数.因为 m 取整数, x i 可以是整 数、分数,或无理数.相反,由 x 表示 m ,将原式变为

m?

2 ? x2 1 ? 1? x ? , 1? x 1? x

只有三种算术运算,并呈现为单值对应,情况就简单了.首先 x 为整数时, m 不会出现无 理数的情况,其次只需 1 ? x 为 1 的约数(即 1 ? x ? ?1 )便可保证 m 为整数,心算即可得 出

x1 ? 0, x2 ? 2, m ? 2.(x1 ? x2 )
用到的知识少了,用到的原理浅了,书写的过程短了. 同样,将 x i , m 并列使用,整体处理时,可由原解法的 L2 用 2 x ? m 替代 n ,有 分解 即 原方程中的这一结构,也许我们一开始并没有看透,但洞察能力不强也可以从 L2 作形 式转换而推出来, 这是解题分析的一个积极成果 (拉开黑房间的电灯, 诱发思维的深刻性) . 此 时不用再讨论整数 4 的分解式而由整数 1 的分解(心算即可)得出

(2 x ? m) 2 ? (m ? 2) 2 ? 4 , ?(2x ? m) ? (m ? 2)? ?(2x ? m) ? (m ? 2)? ? 4 , ( x ? 1)(x ? m ? 1) ? 1 .

? x ? 1 ? ?1, ? ? x ? m ? 1 ? ?1,




? x ? 1 ? 1, ? ? x ? m ? 1 ? 1.

x1 ? 0, x2 ? 2, m ? 2.(x1 ? x2 )
由表征 2,表征 3 带来的资源配置、策略选择上的影响,下文还会谈到. 2.把含参数的方程表征为函数(函数观点)

m ? 1? x ?

1 , 1? x

反映了认知框架的转移(启发思维的灵活性) .而将其移项、相乘便得出

1 , x ?1 ( x ? 1)(x ? m ? 1) ? 1 , ( x ? m ? 1) ?
所以,上述谈到的两个思路又有很简单的统一性,不同的解题主体完全有机会经由“时 间差” 、 “路径差”而达到问题解决的同样水平. 进一步,还可以将初中的问题,从高中的角度作出表征.比如 3.再作认知框架的转移,将问题表征为求二次曲线

x 2 ? xy ? y ? 2 ? 0
上的整点,则结论恰有两个整点(0,2) , (2,2) . 4.解析几何上的二次曲线方程,就是代数上的二元二次不定方程,所以,问题又可以 表征为求不定方程(方程观点)

x 2 ? xy ? y ? 2 ? 0 的整数解.这可以直接分解为 ( x ? 1)(x ? y ? 1) ? 1来求解,而无需像原解法那样再转化为 求解不定方程 (m ? 2) 2 ? 4 ? n 2 .
这里,多种表征方式的出现,体现了知识结构的连通性,也开辟了解题途经的多样性. 3.1.3.2 反思资源配置 资源的配置涉及到解题的全过程和每一步.我们重点分析第 1 步. L1 的实质是用求根公式表出二次方程根与系数的关系,反思促使我们思考:二次方程 的根与系数有哪些关系?其中哪个关系对处理本例更加方便?也就是说, 在二次方程根与系 数的关系上,我们有哪些知识资源?应该作出怎样的选择与安排(配置)? 从知识结构入手,对根与系数的关系作回顾检索有(启发思维的广阔性)

axi ? bxi ? c ? 0, (i ? 1,2) (2axi ? b) 2 ? b 2 ? 4ac, (i ? 1,2) x? ? b ? b 2 ? 4ac , 2a

2

b ? x1 ? x 2 ? ? , ? ? a ? ?x x ? c , 1 2 ? a ? x1 ? x 2 ? b 2 ? 4ac , a

ax 2 ? bx ? c ? a ( x ? x1 )(x ? x 2 ). ??
具体到本例,则是

xi ? m xi ? m ? 2 ? 0, (i ? 1,2) (2 xi ? m) 2 ? (m ? 2) 2 ? 4, (i ? 1,2) x? m ? (m ? 2) 2 ? 4 ,. 2

2

? x1 ? x 2 ? m, ? ? x1 x 2 ? m ? 2, x1 ? x 2 ? (m ? 2) 2 ? 4 , x 2 ? m x ? m ? 2 ? ( x ? x1 )(x ? x 2 ), 2 ? x2 1 ? 1? x ? . 1? x 1? x ?? m?
可见,仅对第 1 步作解题分析,抓住知识链作发散联想(正面思考) ,解题思路已十分 宽广;或者想一想(否定假设法) ,不用求根公式还能用什么知识?不用 m 表示 xi ,还能有 什么途径来反映 m 与 xi 的关系?也立即就可以找出新解法.比如,由韦达定理

? x1 ? x 2 ? m, ? ? x1 x 2 ? m ? 2,
相减,得 整理为 设 x1 ? x 2 ,有

x1 x2 ? x1 ? x2 ? ?2, ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? ?1,

? x1 ? 1 ? ?1, ? ? x 2 ? 1 ? 1,


x1 ? 0, x2 ? 2.
把 x ? 0,2 代入原方程即得

值得注意的是,这个解法没有用到 m 为整数的条件,说明整数根能自动决定系数 m 为 整数(这是本例的特殊性,下面例 4 就不是这样了) ,被原解法如许看重的条件 m ? Z 原来 是多余的(启发思维的批判性) ,这是我们从解题分析中获得的又一个深层认识(启发思维 的深刻性) . 这个处理反映了问题表征中 xi ? Z 的优先使用,是先确定 x ? 0,2 ,后求 m ? 2 .同时, 也说明原解法存在多余的思维回路,二次方程求根公式,判别式为平方数,引进 m, n 的二 元二次不定方程,整数 4 的分解等知识都成了资源的奢侈消费. 3.1.3.3 反思策略选择 由上面的分析我们已经看到: 1.对二次方程的两个约束条件中,优先选择 m ? Z 是不策略的,实际上这是一个多余 的条件.它反映了对问题的深层结构缺少探究,更缺少洞察(体现思维的呆板性) .相反, 处理此类问题的策略做法是先消 m ,这就可以顺利求解例 2、例 3 并处理下题了. 2 2 2 2 例 4 设关于 x 的二次方程 (k ? 6k ? 8) x ? (2k ? 6k ? 4) x ? k ? 4 的两个根都是 整数,求满足条件的所有 k 的值. [2000 年初中数学联赛] 2 在这个问题中,没有 k 为整数的条件,而 ? ? (2k ? 12) 本身就是一个完全平方式,若 用 k 表示 x

x1 ? 0, x2 ? 2, m ? 2 .

k ?2 2?k x2 ? 或 , 4?k 2?k 就很难求出非整数 k ,或糊里糊涂地产生增根(可通过检验而舍去) 、减根(无法补偿) .相 x1 ?

反,消去 k ,有

x1 ( x2 ? 3) ? ?2 ,
可先求出整数根,进而求得 k 为 6,3,

10 . (注意,此处是由求根公式而非韦达定理消去 k , 3

求根公式给了 x1 , x 2 更大的独立性与自由度) 2.由二次方程对根及系数都有要求而考虑根与系数的关系,说明“问题识别”有合理 性,但选择了求根公式却不策略,只要有反思的念头,就立即能看出来.因此,问题恐怕不 在知识上,更大的可能是:解法初步得出就产生心理满足,从而自我封闭.这说明解题反思 应作为解题学习的一个必要步骤而固定下来,从程序上突破心理封闭. 3.问题的呈现方式对策略选择有直接的影响,原解法受到字母呈现顺序和呈现次数等 方面的诱导,虽然解答无误,但人为加大了解题长度,亦未揭示出问题的深层结构.如上所 说,原解法中用到的“二次方程求根公式,判别式为平方数,引进 m, n 的二元二次不定方 程,整数 4 的分解”等知识都是资源的奢侈消费,只要策略地改变解题顺序,就可以缩短解 题长度,节省解题力量.这说明解题顺序影响解题长度(参见文[3]) ,解题教学应揭示问题 的深层结构. 4.原解法先必要性、再充分性,看上去很完整,其实对本例是不策略的,并列实现两 个条件,既节省知识资源,又缩短解题长度(参见[新解 1]) .这说明解题中能用“充要条 件”时应尽量避免先必要,后充分,既节省书写,又减少犯错误的机会(在考试中人为加大 长度既有“潜在丢分”又有“隐含失分” ) . 5.问题解决的策略是多种多样的,上面已经打通了好几个异于原解法的思路,这些思 路的获得,既源于反思,又源于根与系数的知识链.这说明问题解决的策略既取决于对问题 的内容与结构的认识,又取决于解题主体的知识与经验.

3.1.4

信息交合

信息交合, 主要是抓住整体分解中提炼出来的本质步骤, 将信息单元转换或重组为更接 近问题深层结构的新解法 .下面提供的 4 个解法,只不过是分析过程的一个成果整理,虽 然不算是主要成果,但对一线教师“直接面对学生”很有帮助. 新解 1 对方程作变形,有 ( x ? 1)(x ? m ? 1) ? 1 . 当 m ? Z , x ? Z 时,由 1 的约数只有±1,有

? x ? 1 ? 1, ? ? x ? m ? 1 ? 1,



? x ? 1 ? ?1, ? ? x ? m ? 1 ? ?1.

x ? 2, m ? 2 ,或 x ? 0, m ? 2 . 解得 所以,方程有整数根时, x ? 0,2 ,这时 m ? 2 . 评析 这个解法只用到整式的变形,1 的分解和二元一次方程的求解,两个条件(或沿 用上面的说法,必要性与充分性)同时实现,比原解法过程简洁多了,但解法本身依赖于 m 为整数的条件,因而多余而不矛盾的条件常可降低题目的难度. 新解 2 将方程变为

2 ? x2 1 m? ? 1? x ? . 1? x 1? x
因为 m ? Z , x ? Z ,故 1 ? x 是 1 的约数,有

1 ? x ? 1 ? x1 ? 0 ? m ? 2, 1 ? x ? ?1 ? x2 ? 2 ? m ? 2.
所以,方程有整数根时, x ? 0,2 ,这时 m ? 2 . 评析 如上所说,将 m ? 1 ? x ?

1 移项、相乘可得 ( x ? 1)(x ? m ? 1) ? 1 ,所以, 1? x

这个解法虽然(与新解 1 相比)形式变得面目全非了,但与[新解 1]没有本质的区别,也都 用到了代数式的变形,1 的分解、和解方程等类似步骤与知识. (形异而质同) 新解 3 设方程的整数根为 x1 , x2 , x1 ? x2 ,由韦达定理,有

? x1 ? x 2 ? m, ? ? x1 x 2 ? m ? 2,
相减,消去 m ,得 即 得 有

x1 x2 ? x1 ? x2 ? ?2 , ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? ?1,

? x1 ? 1 ? ?1, ? ? x 2 ? 1 ? 1,
x1 ? 0, x2 ? 2 , 代入原方程,得 m ? 2 .

所以,方程有整数根时,仅有 x ? 0,2 ,这时 m ? 2 . 评析 这个解法没有用到 m ? Z 的条件,更反映本题的特殊结构.并且对学生来说, 比上述各解法都更容易想到. 新解 4 设方程的整数根为 x1 , x2 , x1 ? x2 ,有恒等式 x 2 ? mx ? m ? 2 ? ( x ? x1 )(x ? x2 ) , 把 x ? 1 代入,消去 m ,得 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? ?1, 得 有

?1 ? x1 ? 1, ? ?1 ? x2 ? ?1.
x ? 0, x2 ? 2 .

把 x ? 0,2 分别代入原方程,得 m ? 2 . 所以,方程有整数根时, x ? 0,2 ,这时 m ? 2 . 评析 这个解法与[新解 3]形式上很相似, 只是消去 m 的具体途径略有差异, 但这个解 法使用的恒等式 比韦达定理的内涵更丰富.首先它含有可任意取值的 x ,能为我们用于各种场合提供方便; 其次,取特殊的 x 值可得出许多重要的公式.我们已经知道,展开、比较同类项的系数可得 韦达定理,今取 x ? i ,有 (c ? a) ? bi ? a[?1 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 )i] , 比较实部、虚部亦可得韦达定理. 若将 ?

ax2 ? bx ? c ? a( x ? x1 )(x ? x2 )

x ? x2 b ? 1 分别代入恒等式的两边,有 2a 2

a(?

x ? x2 x ? x2 b 2 b ) ? b( ? ) ? c ? a ( 1 ? x1 )( 1 ? x2 ) , 2a 2a 2 2



4ac ? b 2 a ? ? ( x1 ? x 2 ) 2 , 4a 4

得两根之差的公式

b 2 ? 4ac ( x1 ? x2 ) ? . a2
2

以上,是我们对案例的初步分析,和分析步骤的具体呈现,当中的许多看法主要是一种 解释性的理解.数学解题是一种创造性活动.谁也无法教会我们所有的题目,重要的是,通 过有限道题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.

3.1.5 简要小结
根据上面的分析,我们可以对如何进行“解题案例的专业分析”作出简要的概括,弄 清做了什么,怎样做,获得哪些收获. 3.1.5.1 分析的框架 1.选取一个感兴趣的案例. 我们的好奇心选取了例 1,它涉及中学代数中的核心内容,有价值,又是刚出现的中考 综合题,有一定的典型性和新鲜感;从最后结果来看,其研究性也超过我们一开始接触时的 预期. 2.确定一个分析的视角. 分析的角度可以有多种选择,此处选取了“问题解决”的一个心理模式作为分析的基本

视角(思维品质的注释只是附带的说明) . 3.选择一个分析的方法. 这是一个解题案例研究的方法问题,我们采用了长期倡导的“解题分析” ,它包括两个 步骤:整体分解与信息交流. (参见文[4]、[5]) (1)在整体分解中,首先把原解法分拆为信息单元(3 大步 6 小步) ,具体表现为逻辑 结构分析(图 3-1) 和信息流程分析(图 3-2) ,这使我们清楚看到, 解题中用到了哪些知识、 哪些方法,先用哪个、后用哪个,它们是怎样组合在一起的.然后,重点对第一步(比较本 质的步骤)作反思,是循两个方向进行的: 正面思考:二次方程根与系数还有哪些关系,当中哪些可以用来转换、替代原解法中的 求根公式. 反面考虑:如果不用求根公式还能用什么知识,如果不优先使用条件 m ? Z 还能有什么 途径. (2)在信息交合中,主要是抓住整体分解中提炼出来的本质步骤,将信息单元转换或重 组为更接近问题深层结构的新解法,并概括“问题解决”的理论价值. 这两个步骤既是收集证据、解释证据,又是随时报告结果的过程. 3.1.5.2 主要的成果 1.提高了对问题解决的认识. 我们的分析表明,原解法存在可改进的地方.

?问题识别基本合理,而在识别中受到条件呈现方式或呈现顺序的诱导,影响了问题表 征的深刻性. ?问题表征 (指信息在大脑中的呈现) 虽有合理成份, 但更表现为对题型的一般性认识, 从而带来对具体问题特殊性上、知识和方法使用(策略选择、资源配置)的曲折与浪费,背 后有“监控评估”不力或缺失的流行弊端.看上去“很标准” 、 “结论也正确” ,但对本题的 特殊结构没有揭示,人为加大了解题难度和解题长度. ?策略选择是一个重要步骤,它的依据首先是“问题的性质和内容” ,其次是“主体的 知识和经验” . 情况表明, 原解法对问题的深层结构没有看透,对多余条件 m ? Z 过分依赖, 对“二次方程根与系数关系”的知识和经验、缺少知识链上的开放性思考. ?资源配置是问题解决能力高低的一个重要标志.情况表明(特别是对照新解 1)大部 分知识资源的消费都是可节省的. ?监控评估表现为对问题解决全过程的把握与关注,对进程和结果的质量作出评定.情 况表明, 这一步没有得到高度的重视, 关注的重点放在了是否得出结论和确保结论无知识错 误、无逻辑错误上.这就存在心理上的封闭和策略上的呆板. 值得指出的是,这些认识是基于本案例的经验性体验,是否有一般性应该有更大范围的 实证,但它至少已为我们进行数学解题的理论研究提出了有实际背景支撑的课题. (参见第 1 章第 4 节) ⒉提高了对本例的认识. ?找出更接近问题深层结构的表达式.如

(2 x ? m) 2 ? (m ? 2) 2 ? 4, ( x ? 1)( x ? m ? 1) ? 1, 1 , 1? x (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? ?1. m ? 1? x ?
?指出 m ? Z 是一个可删除的条件,本例的特殊性在于,根为整数自动决定 m 为整数. ?提出了 4 个新解法,每一个都比原解法简洁(有的解法只是交换了解题顺序而已) , 从而开发出解题智慧来. ?细节上指出原式中 x 为二次方、 m 为一次方的差异,提出用“充要条件” 、并列使用 两个条件较为策略. 3.初步体现了解题分析的作用. 我们对解题分析的成果有三个层面的预期, (1)在微观层面上,将有助于理解具体问题的深层结构,不仅能修正错误、简化过程、 完善解题,而且常常产生陈题新解、难题简解、佳题巧解、名题多解、悬题获解等效果. (2)在中观层面上,将有助于数学问题解决能力的提高,具体表现为问题的迅速识别 和适宜表征, 解题思路的主动设计和知识资源的理性配置, 解题方法的灵活运用和解题策略 的自觉调控. (3)在宏观层面上,将有助于理解数学的精神、思想、方法和价值,开发智力,促进 人的发展. 对这个具体案例来说, 更直接、 更具体的作用主要在微观层面上, 中观层面有一些体现, 而宏观层面需要长期的积累和身体力行,并且不能用我们的体会代替读者的体会. 参考文献 1 罗增儒,罗新兵.作为数学教育任务的数学解题 ? J ? .数学教育学报,2005,14(1). 2 罗增儒.学会学解题 ? J ? .中学数学教学参考,2004,9~11.

3 罗增儒.解题长度的分析与解题智慧的开发 ? J ? .中学数学,1996,10. 4 罗增儒.解题分析——分析解题过程的两个步骤 ? J ? .中学数学教学参考,1998,4. 5 罗增儒.中学数学课例分析 ? M ? .西安:陕西师范大学出版社,2001.7. 6 罗增儒, 罗新兵. 题案分析:一个标准答案的问题解决视角 ? J ? . 中学数学教学参考, 2005, 11~12.

第2节

数学解题的思维过程

案例 2:数学解题的思维过程. 在数学教学中暴露思维过程早就引起了人们的关注.暴露概念的形成过程,暴露命题的 发现过程,暴露证明的探究过程等,包括暴露这些过程中犯错误的真实活动. 但是,这种暴露大 多停留在可见事实的陈述上,内在思维性质的细致揭示不多,也常常进行到思路初步打通、结 论初步得出时就停了下来.本案例想从解题分析的角度提供一个简单例子,展示内在的思维 过程,并在证明得出之后仍继续进行下去.先给出题目: 例 1 两直线被第三条直线所截,有外错角相等,则两直线平行.

3.2.1

浮现数学表象

通过认真阅读 ,我们接收到题目所提供的信息,首先在脑子里出现了一个图形(几何型表 象),与这个图形相伴随的是一个问题(代数型表象):由数量关系去确定位置关系. (图 3-7)

图 3-7 在问题的牵引下,思维的齿轮开始启动,有 3 个展开的起点. 1.由图形表象,我们回想起“三线八角”基本图形,回想起与此图形有关的命题,如两直 线被第三条直线所截,有: (1)同位角相等两直线平行; (2)内错角相等两直线平行. ?? 这些命题的附图,在我们脑海里逐幅浮现出来. 2.由条件∠1=∠2(数量关系)所唤起的问题有: (1)由角的相等关系能得出什么?进而问 (2)图 3-7 中有与∠1 相等的角吗? (3)图 3-7 中有与∠2 相等的角吗? ?? 一开始,“由条件能推出什么”是一道开放性问题, 我们不知道该往哪些地方推进,但随 着对结论思考的深化,会慢慢明朗起来. 3. 由结论 AB // CD (位置关系)所唤起的问题有:得出直线平行需要什么条件?题目提供 了这样的条件没有?如果不是直接提供,那么间接提供没有???由此激活了记忆储存中的相 关知识,并又激活更多的记忆储存(扩散): (1)同位角(内错角)相等,则两直线平行;进而问 (2)什么是同位角(内错角)?图 3-7 中有同位角(内错角)吗?有相等的同位角(内错角)吗? (3)已知条件的相等角能导出“同位角(内错角)相等”吗? ?? 这是表象的一个有序深化过程.

3.2.2

产生数学直感

上述三方面的思考,促使我们更专注于图形,图中有 3 条直线,8 个角,8 条射线,1 条线段, 其中哪些信息对于我们解题是有用的,哪些是多余的呢?(这相当于一道条件过剩、 结论发散的 开放题)当然,一开始我们并不清楚,但是目标意识驱使我们去考虑角的关系,因为课本中两条 直线平行的判定均与角有关,而已知条件又给出了等角. 所以,我们的思考逐渐集中到:从图形 中找同位角(或内错角),找相等的角,找相等的同位角(或内错角). 这时,伴随着问题的需要,图 3-7 被分解出一系列的部分图形(图 3-8 中实线图),并凸现在 我们的眼前:

图 3-8 (1)有与∠1 成同位角的角吗?图 3-8-(1)出现,进而问,∠1 与∠3 会相等吗? (2)有与∠2 成同位角的角吗?图 3-8-(2)出现,进而问,∠2 与∠4 会相等吗? (3)与∠1(或∠2)成内错角关系的角,图 3-7 找不到. (4)与∠1 相等的角除∠2 外,还有它的对顶角∠4(图 3-8-(3));与∠2 相等的角除∠1 外, 还有它的对顶角∠3(图 3-8-(4)). ?? 于是,对图 3-7 的感知,出现了图 3-9 的右方图形.

图 3-9 我们认为,从图 3-7 的 8 个角中找出∠2 的对顶角∠3(或∠1 的对顶角∠4),是解题的重大 进展,它能为图形各部分数学关系的沟通起桥梁作用.

3.2.3

展开数学想象

对具体形象的感知和判别,使我们看到∠3 与∠2 成对顶角(图 3-8-(4))是相等的,而∠3 又 与∠1 成同位角(图 3-8-(1)),这促使我们思考∠1 与∠3 会不会相等,也促使我们将已有的表象 ∠1=∠2 与∠2=∠3(或∠1=∠4), 产生新的联结(有逻辑思维的推动),得 ∠1=∠3(或∠2=∠4,或∠3=∠4), 从而产生新的表象 AB // CD . 于是,在数量关系∠1=∠2 与位置关系 AB // CD 之间,在空旷而缺少联系的画面上(见图 3-7),添上了两个数量关系∠2=∠3,∠1=∠3:将它们组成和谐的逻辑结构,便得出证明.

3.2.4

给出逻辑证明

证明 1

?2 ? ?3? ? ? ?1 ? ?3 ? AB // CD . ?1 ? ?2 ? ?1 ? ?2? ? ? ?2 ? ?4 ? AB // CD . ?1 ? ?4?

证明 2

?1 ? ?2 ? ? 证明 3 ?1 ? ?4 ? ? ?3 ? ?4 ? AB // CD . ?2 ? ?3? ?
这些证明是抽象思维的过程,表达得干净、简洁而严密.而获得这些结果的过程却是历 经“表象——直感——想象”的形象思维过程,在得出 AB // CD 之前,四个角∠1、∠2、∠3、 ∠4 之间的关系是一个条件与结论都发散的开放题. 为了与简捷的逻辑证明相对照,我们将思 考过程(证明 1)图示如下:

图 3-10

3.2.5

反思解题过程

上述解题的过程,把“题”作为考察的对象,把“解”作为研究的目标.我们推崇“解题 分析”,是希望解题研究不要仅仅停留在这一阶段上,继续把上述解题活动(包括问题和解)作 为研究对象,探究解题规律,学会怎样解题(基本任务),具体研究的方法是分析解题过程. 事实上,给出的证明也是一个思维过程,也需要我们去暴露,并且这种暴露比前一阶段的

暴露有更高的层次、需要更强的自觉性,是培养思维深刻性与批判性的极好途径.我们一再 说过,解题教学缺少这一阶段是进宝山而空还.而把这一阶段停留在检验、回顾、寻找一题 多解、作出若干推广的常识层面上,则是一种损失与浪费.让我们对证明 1 的书写作出具体 结构的分析. 1.首先,我们将证明 1 分解为三个步骤. 第 1 步:从图形中看出∠3 与∠2 成对顶角,并得出∠3=∠2.这是由位置关系推出数量 关系的过程. 第 2 步:把另一已知条件用上,将两个等式∠1=∠2、∠2=∠3 结合起来,得出∠1=∠3.这 是由数量关系推出新数量关系的过程. 第 3 步:从图形中看出∠1 与∠3 为同位角,其相等可得出 AB // CD .这是由数量关系推 出位置关系的过程.示意为:

图 3-11 2.其次,根据上面的整体分解,可将证明 1 的书写加以充实:

图 3-12 3. 由于这个图形已经显示出,解题中用到了哪些知识(或方法),先用哪些后用哪些,哪个与 哪个作了配合.所以,只须将其再作充实(图 3-13),便可更自觉、也更直观地看到,解题过程是 这样一个“三位一体”的工作:有用捕捉、有关提取、有效组合:

图 3-13 (1)从理解题意中捕捉有用的信息.

包括从题目的叙述及题目的附图两方面去充分理解题意.从图 3-13 可见,这共有 3 条信 息. 1)从题目的文字叙述中获取“符号信息” . ∠1=∠2. ① 2)从题目的图形中获取“形象信息” . ∠1 与∠3 为同位角, ② ∠2 与∠3 为对顶角, ③ (2)从记忆储存中提取有关的信息. 这是一批被解题需要所激活的知识,并随着解题的进展而扩散,从图 3-13 可见,这有 3 条 信息. 1)对顶角相等. ④ 2)等于第三个量的两个量相等(传递性). ⑤ 3)同位角相等,则两直线平行. ⑥ (3)把这两方面的信息(共 6 条)进行有效的组合,使之成为一个和谐的逻辑结构(共有 3 步推理). 这样,通过分析解题过程我们看清了 ,这个题目在解决过程中的知识结构与逻辑关系 ,进 一步还归纳出“什么叫解题”的一个可操作回答:从理解题意中捕捉有用的信息,从记忆储存 中提取有关的信息,并将这两组信息组成一个和谐的逻辑结构.

3.2.6

展开动态想象

也许我们一开始就直感到图形表象有一种对称结构(对称美的召唤),它朦朦胧胧只是因 为对称中心没有显化.也许是在解题分析中,由于已证明了 AB // CD ,所以居中平行线 MN CD 的对称中心,而直线 EF 上每一点都是直线本身的对称中心, 上每一点都是两平行线 AB , 因而图 3-7 本身是中心对称图形.

图 3-14 于是,我们有这样的直感,图 3-14 中若 AB 与 CD 不平行,必然破坏对称性. 这是一种不充 分的推理,体现了形象思维的特征,同时也揭示了证明的一个新方向. 证明 4 设 EF 上的截点为 P, Q ,而 O 为线段 PQ 的中心(图 3-14).想象会使我们看到, 当图形绕点 O 旋转 180°时,射线 PE 会与射线 QF 重合,又由∠1=∠2 知,射线 PB 会与射线

QC 重合,从而直线 AB 与直线 CD 换位,且射线 OE 与射线 OF 换位.这一想象实际上已经
完成了旧表象到新表象的改造,数量关系∠1=∠2(保证了旋转 180°后图形重合)已经转化为 位置关系 AB // CD . 否则 AB 与 CD 在左(右)边有一个交点,则右(左)边也有一个对称的交点, 造成 AB 和 CD 重合,与已知矛盾. 以上例示,经历了“表象——直感——想象——论证——反思”的思维过程,前半部分主 要是形象思维,后半部分主要是逻辑思维,在叙述中强调了把解题活动作为对象的再认识.不 妥之处,盼批评指正.

参考文献 1 罗增儒.例说数学解题的思维过程 ? J ? ,中学数学教学参考,2002,5

第3节

特殊与一般的双向沟通

案例 3:特殊与一般的双向沟通. 我们将要谈到一道高考选择题 (参见例 1-22) , 它的难度系数为 0.65, 属于中档常规题. 我 们的工作是把这道普普通通的题目作为一个典型的案例, 分析它的种种求解思路, 并努力弄 清麻烦的思路到底麻烦在什么地方, 能不能变简单些?特殊的思路到底特殊在什么地方, 能 不能推进到一般?其中由思路 1、2 到思路 4 的心路历程,主要反映了特殊与一般的双向沟 通,而在这个自觉的探究中,我们将有机会积累起基本数学活动经验.首先看题目: 例 1 各项均为正数的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 2 ,S3n ? 14 ,则 S 4 n 等 于( ) . (A)16 (B)26 (C )30 (D)80 (2007 年数学高考陕西卷理科第 5 题) 显然,本例与下述高考题、联赛题属于同一类型( n ? 10 的特例) ,条件的数据也有 1: 5 的关系. 例 2-1 等差数列 ?a n ? 的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( ) (A)130 (B)170 (1996 年高考理工类第 12 题) (C)210 (D)260.

例 2-2 各项均为实数的等比数列 ?an ? 前 n 项之和记为 Sn ,若 S10 ? 10, S30 ? 70 ,则 S40 等于 ( ). (A)150 (B) ? 200 (C)150 或 ? 200 (1998 年高中数学联赛第一(3)题,参见文[1]) (D)400 或 ? 50

3.3.1 数学活动的开展——解题思路的常规探求
下面两个求解例 1 的思路来自中学师生,是多数人的基本选择. 3.3.1.1 思路 1:更体现一般性的思考 如所周知,等比数列有关量 n, an , Sn 等的计算,都可以通过 a1 , q 来确定,由求和公式

S4 n ?

a1 ?1 ? q 4 n ? 1? q

可知,只需求 a1 , q 两个未知数,而确定两个未知数只需两个独立的条件,现在题目给了两 个等量关系 Sn ? 2, S3n ? 14 ,因而两个未知数 a1 , q 应是可以求出来的,思路打通了. 在这里,思考的基本出发点是用 a1 , q 表示的求和公式. 解法 1 设等比数列的公比为 q ,由已知有

Sn ? S3 n ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

? 2,

①-1

a1 ?1 ? q 3n ? 1? q

? 14 .

②-1

相除,得方程

q2n ? qn ? 1 ? 7 ,
即 变形

q2n ? qn ? 6 ? 0 ,

③-1 ④-1

?q

n

? 3?? q n ? 2 ? ? 0 .

又由数列各项均为正数知 q ?

ak ?1 ? 0 ,进而 qn ? 3 ? 0 ,由④-1 得 ak
⑤-1

qn ? 2 ? q ? n 2 .
代入①-1 可求得
n Sn ?1 ? q ? 2 1 ? 2 a1 ? ? ?2 1 ? qn 1? 2

?

?

?

n

2 ?1 .

?

⑥-1



S4 n ?
2

a1 ?1 ? q 4 n ? 1? q
2 ? 1 ?1 ? 24 ? 1? 2
n

⑦-1

?

?

n

?

? 2 ?15 ? 30 .

对照四个选项,应选(C) . 这个思路,分析是有道理的,求出 S4 n ? 30 也是正确的,但对题型特征关注不够,直 至答案完成之后才去对照四个选项,相当于比做一道解答题还多写了一步.因此,中学界还 有另一个常见的思路,即从一开始就紧紧抓住选择题的两个题型特点. (1)答案在四个选项中. (2)四个选项有且只有一个是正确的. 这可以避免“小题大做” ,力争“小题小做”或“小题巧做” . 3.3.1.2 思路 2:更体现特殊性的思考 由于选择题比一般解答题多了题干前面的说明词和题干后面的四个选项, 这就给我们思 路的寻找提供了更多的机会.我们首先注意到本例的四个选项都是具体的数值,所以 S 4 n 的 值应是一个与 n 无关的定值(想一想, S 4 n 为什么不是 n 的非定值函数) ,特别地,取 n ? 1 时, S4 也应取这个值(全称命题正确,其特称命题必然正确) .这就给了我们一个必要条件 去排除诱误项. 一旦必要条件排出了 3 个诱误项,由“四个选项有且只有一项正确”可知,剩下的那个 选项必为所求. 这就是特殊值解选择题的基本思路, 它常常降低题目的难度, 并使命题者的考查意图失

落(黑箱方法,参见例 2-17) .比如,对例 2 可以这样求解 解 由实数列知 q10 ? 0 ,又 S10 ? 10 ? 0, S30 ? 70 ? 0 ,故必有

S40 ? S10 ? q10 S30 ? 0 .
这就一举否定了含有负值的(B)、(C)、(D),选(A). 再如,在例 1 中取 n ? 2 ,得 例3 于 (A)16 (B)26 (C)30 (D)80 各项均为正数的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 2 , S6 ? 14 ,则 S8 等

如果不是选择题,例 1 求 S 4 n ,例 3 求 S8 ,当然是例 1 更具一般性,也有更高的要求, 但作为选择题,在例 1 中取 n ? 1 来求解,就反而比例 2 更方便了. 解法 2 设等比数列的公比为 q ,由数列各项均为正数知 q ?

ak ?1 ? 0 .在已知条件 ak

Sn ? 2, S3n ? 14 中,取 n ? 1 ,有 S1 ? a1 ? 2,
①-2 ②-2

S3 =a1 +a1q ? a1q2 ? 14,
相除或代入,消去 a1 ,得二次方程

q2 ? q ? 1 ? 7 , q2 ? q ? 6 ? 0 ,
变形 ③-2 . ④-2

? q ? 3?? q ? 2? ? 0

但 q ? 0 ,更有 q ? 3 ? 0 ,得,

q ? 2,
进而

⑤-2 ⑥-2

S4 ? a1 ? a1q ? a1q2 ? a1q3 ? a1 ? qS3 ? 2 ? 2 ?14 ? 30.

这就否定了不满足必要条件的 ? A? , ? B ? , ? D? , 又由选择题的选项有且只有一个正确知, 选 ?C ? . 一般的解题教学都能进行到这两个思路, 也常常进行到这两个思路就宣告结束了. 我们 的看法是(参见文[2]),这只不过是提供了继续暴露数学思维过程的优质素材,沟通知识更 广泛联系、积累数学基本活动更丰富经验的工作还有待开始.

3.3.2

数学活动的深入——探求结果的反思分析

上述两个思路给我们最突出的印象是,一个具有一般性,一个具有特殊性.而具有一般 性的思路书写麻烦些, 具有特殊性的思路书写简单些, 我们的兴趣不满足于只看到这些事实, 而是致力于弄清: (1)麻烦的思路到底麻烦在什么地方?能不能变简单些? (2)特殊的思路到底特殊在什么地方?能不能推进到一般? 3.3.2.1 两个思路的对比分析 我们的基本想法是,将解题思路分解为一个个步骤,弄清每一步用到什么知识、用到什 么方法?这些知识与方法是怎样被提取和组织起来的?思考这些问题可以帮助我们找到麻 烦(或简单)的地方,而针对这些地方进行知识的转换,又有可能化麻烦为简单、推特殊到 一般.为此,我们对两个思路作结构分析.列表对比如下: 思 步 骤
第1步 由已知 Sn , 由已知条件,有 由已知条件令 n



思路 1

思路 2

区 别

? 1 ,有

(1 )使用的求和公式不同, 思路 1 中有 q

S3 n 推 出 关 于 q 的方程

Sn ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

? 2,

S1 ? a1 ? 2 ,
S3 ? a1 ?1 ? q ? q 2 ? ? 14 ,

? 1 的要求,思

路 2 中无此限制. (2)思路 2 中 a1 成为已知, 思路 1 要在第 2 步中才求出 来.

S3 n ?

a1 ?1 ? q 3n ? 1? q

? 14 ,

相除得方程

q2 ? q ? 6 ? 0 .

相除得方程

q2n ? qn ? 6 ? 0 .
第2步 解方程求出 解方程求出 解方程求出 (1)解方程时,思路 2 直接 得出 q , 思路 1 还要开方才能 求出 q . (2)思路 1 还要再求 a1 ,思 路 2 不用了. 求出 (1)使用的求和公式不一样, 思路 2 只需求出 q . (2) 虽然两种计算都得出 30, 但思路 1 是直接得出(C) ,而 思路 2 是否定(A) 、 (B) 、 (D ) 后间接得出(C) .

q , a1

qn ? 2 ? q ? n 2 ,
进而得

q ? 2.

a1 ? 2
第3步 代入公式,求 出答案 求出

?

n

2 ?1

?.
S4 ? S1 ? qS3 =30.
=30

?或S4 ?

S4n


S4 n ?

a1 ?1 ? q 4 n ? 1? q



由这个三步骤的简单对比可以看到,两个思路的基本步骤是类似的,都是 由已知推出 q 的方程——解方程——算答案 但几乎每一步都有区别.主要表现在 第 1, 使用的求和公式不一样

思路 1 以 S4 n ? 式

a1 ?1 ? q 4 n ? 1? q

为逻辑起点,将问题归结为 a1 , q 的求解.三次使用求和公

Sn ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q



这个表达式还有 q ? 1 的要求,这在思路 1 的求解过程中没有明确证实. 思路 2 取 n ? 1 后, a1 ? S1 成为已知条件,其作为目标使用的求和公式

S4 ? S1 ? qS3 ,
是一种递推关系,归结为:只需求出 q . 第 2,计算 S4n ? S4 ? 的途径不一样. 首 先 ,思路 1 比 思路 2 既 多了 由 q n ? 2 开 方得 q ?
n

2 的 过程 , 又多 了代 入求
a1 ? ?2 ,因而求 1? q

a1 ? 2

?

n

2 ? 1 的过程;其次,在求 S 4 n 时, q, a1 均被还原为 q n ? 2,

?

出 q, a1 成了多余的思维回路,有 q n ? 2,

S a1 ? n n ? ?2 就够了. 1? q 1? q

第 3,虽然两种计算都得出 30,但选择(C)的逻辑途径却有区别,思路 1 是直接得出 (C) ,而思路 2 是否定(A) 、 (B) 、 (D)后间接得出(C) . 由上面的初步分析,可以有意识改进思路 1,我们称为思路 3. 3.3.2.2 思路 3 及其反思 解法 3 设等 比数列的公比为 q , 由数列的各 项均为正 数知 q ?

ak ?1 ? 0 ,且 由 ak

S3n ? 14 ? 3? 2 ? 3Sn ,知 q ? 1 ,有
Sn ? a1 1 ? qn ? ? 2 , ? 1? q a1 1 ? q3n ? ? 14 , ? 1? q

S3 n ?
两式相除,得

q2n ? qn ? 1 ? 7 ,
变形

?q

n

? 3 ?? q n ? 2 ? ? 0 ,

但 qn ? 3 ? 0 ,只有

qn ? 2 .
代入 Sn 的表达式,可求得

S a1 2 ? nn ? ? ?2 , 1 ? q 1? q 1 ? 2


S4 n ?

a1 ?1 ? q4n ? ? ? ?2? ?1 ? 24 ? ? 30 . 1? q

表面上看,这个解法填补了思路 1 的逻辑漏洞,也删除了思路 1 中的思维回路,是一 个进步,然而,这个进步是十分有限的. 第 1,为了解决 1 ? q 做分母不为零的问题,至少有两个途径,其一,证明 q ? 1 ,思路 3 是通过验证 S3n ? 3Sn 来实现的; 其二, 压根就不让它做分母, 思路 2 就没让1 ? q 做分母. 两 相对比,我们能从中获得什么启示呢? 第 2,虽然思路 3 消除了先求 q, a1 ,再消去的两个思维回路,却又产生了先求

a1 再 1? q

消去的新回路,而类似的回路在思路 2 中是没有的,那么这个回路会不会也是多余的呢? 第 3,思路 3 虽然改进了思路 1,但并没有改变它比思路 2 麻烦的基本面貌,也没有提 供特殊与一般之间的清晰联系. 我们的反思继续进行,并且越来越感到不要让 1 ? q 做分母. 3.3.2.3 由特殊推进到一般 具体的做法是根据思路 1、思路 2 的差异,从思路 2 出发,逐个步骤一般化. 第 1 步,我们首先注意到①-1、②-1 式与①-2、②-2 式有结构上的区别(即上文说的 使用求和公式不一样)而①-2、②-2 式没有让 1 ? q 做分母,更便于本例的计算,因此,我 们想让①-2、②-2 式一般化代替①-1、②-1 式,具体说是使 S3n 具有

S3 ? a1 ? a1q ? a1q2
那样的类似结构,这时②-1 除以①-1 得③-1 的运算给了我们一个提示,由

S3 n ? 1 ? qn ? q2n , Sn


S3n ? S n ?1 ? q n ? q 2 n ? .



于是,⑧的特殊化是②-2,而②-2 的一般化是⑧,两者之间实现了特殊化与一般化的 双向沟通,沟通的互译公式是

S1 ? Sn , q ? qn .
(A)中的 q ? q n 互译,便可实现特殊化与一般化之间的双向沟通.

(A)

第 2 步,我们看到③-1、④-1、⑤-1 式与③-2、④-2、⑤-2 式之间很类似,只需按照

第 3 步,在最后计算答案时,两个思路有区别(即上文说的计算途径不一样) ,⑦-1 式 用 a1 , q 来计算 S 4 n ,而⑥-2 却用递推关系,

S4 ? S1 ? qS3 .
现在的问题是循着(A)的互译公式,我们能够找到 S 4 n 与 Sn , S3n , q 的递推关系吗?找“递 推关系”愿望向我们提供了一个类比猜想的方向,向我们提供了一个“由特殊推进到一般” 的目标.让我们从⑦-1 式出发作有意出现 Sn 的变形.

S4 n ? ? ?

a1 ?1 ? q 4 n ? 1? q 1? q

n n 3n ? a1 ? ??1 ? q ? ? q ?1 ? q ? ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?q

n

a1 ?1 ? q 3n ? 1? q


? S n ? q n S3 n

.

这个关系也可以不借助于拆项技巧而直接得出,并加以推广,即

? Sn ? q n ? a1 ? a1q ? ? S n ? q n S3 n .
一般地,有

S4 n ? a1 ? a1q ?

? a1q n ?1 ? a1q n ? a1q n ?1 ? a1q3n?1 ?

? a1q 4 n ?1

Sm?n ? Sn ? qn Sm ? Sm ? qmSn .



于是⑨的特殊化是⑥-2,而⑥-2 的一般化是⑨,两者之间实现了特殊化与一般化的双 向沟通.沟通的互译公式还是(A) . 这样,一般化的思路就打通了,我们记为思路 4. 3.3.2.4 思路 4:一般化的简单解法 由解题目标

S4n ? Sn ? qn S3n
知,计算 S 4 n 只须求出 q .又由已知
n

S3n ? Sn ? q n S2 n ? Sn ? q n ? Sn ? q n Sn ? ? Sn ?1 ? q n ? q 2 n ?

知, q n 是可以解出的,思路已经打通. 解法 4 设等比数列的公比为 q ,由数列的各项均为正数有 q ?

ak ?1 ? 0 .又由等比数 ak

列求和公式有

? Sn ? q n Sn ? q 2 n Sn ? Sn ?1 ? q n ? q 2 n ? .
把 Sn ? 2 , S3n ? 14 代入,得

S3n ? ? a1 ?

? an ? ? ? an ?1 ?

? a2 n ? ? ? a2 n ?1 ?

? a3n ?

q2n ? qn ? 1 ? 7 ,


?q

n

? 3?? q n ? 2 ? ? 0 ,

但 qn ? 3 ? 0 ,得

qn ? 2 .

S4 n ? ? a1 ?


? an ? ? ? an ?1 ?

? a4 n ?

? S n ? q n S3 n ? 2 ? 2 ?14 ? 30.
对照四个选项,应选(C) . 从一般性与特殊性的角度看来,思路 4 有 3 个特点: 第 1,保持了思路 1 的一般性,但已消除了当初的“麻烦”因素与思维回路. (1)消除了让 1 ? q 做分母(要讨论) ,然后再消去的回路; (2)消除了由 q ? 2 开方求出 q ,然后再消去 q 的回路;
n

(3)消除了先求出 a1 ,然后再消去的回路. 第 2,保持了思路 1 的简单性,但已丰富了一般性的内涵,即把思路 2 的本质属性抽象 概括出来了.思路 4 无论是问题的解答题形式还是问题的选择题形式,都能从容应对,而只 有思路 2 的人就未必能从容应对问题的解答题形式了. 第 3,提供了特殊性与一般性的清晰联系,思路 4 是思路 2 的一般化,思路 2 是思路 4 的特殊化,两者有很明晰的对应步骤.

3.3.3

基本活动经验——解题经验的自觉积累

确实,思路 4 与思路 2 相比,无论是在逻辑关系上还是在书写长度上,都不再比思路 2 麻烦,相反,思路 4 有一种高屋建瓴之势,对解题思路看得更透彻了,对知识联系看得更清 楚了.因此,思路 4 可以认为是解题分析的一个有益成果.但是,我们倡导的解题分析并不 满足于多找出几个解法,而是希望通过解题过程的分析,去领悟:

(1)怎样解题; (2)怎样学会解题. 本着这样的理念,我们来自觉总结在本案例活动中的基本收获.简述于下. 3.3.3.1 通过解题分析学会解题 聪明的学生也许一开始就能找到思路 4,但是,如果我不算聪明、甚至还有点笨呢,那 么上述历程告诉我们,我也可以通过解题过程的分析,自己学会聪明,自己学会解题,使数 学解题与智力发展同行.我们的解题教学应该有“学会聪明”这个环节. 3.3.3.2 解题分析包括认知与元认知两个阶段 上述过程表明,解题分析包括解题思路的探求分析与探求结果的反思分析. (1)解题思路的探求分析主要是在还没有思路时,努力找出思路的认知过程,人们已 经有了很多共识.在本例中表现为思路 1、思路 2 的探求. (2)探求结果的反思分析主要是在获得初步思路后,对初步思路进行反思的元认知过 程,这方面有大量的事情可做.在本例中表现为思路 3、思路 4 的探求. 3.3.3.3 数学解题具有沟通知识更广泛联系的功能 解题要沟通知识的逻辑联系或转化关系, 这是比较清楚的, 而这本身还是在挖掘知识的 更广泛联系,也是在发生数学,也是在深入理解数学.在本案例中,我们对等比数列的求和 公式有了更多的了解,如

Sm? n ? Sn ? q n Sm ? Sm ? q n Sn , S S S a1 ? n n ? 3n3n ? 4 n4 n , 1? q 1? q 1? q 1? q
等等, 都是在本题求解中呈现出来的更广泛联系, 在解题中沟通知识更广泛联系的功能有待 开发. 3.3.3.4 黑箱方法的感悟 如果把数学题比作黑箱,把解题比作认识黑箱,那么一般性解法(如思路 4)是通过破 译黑箱(变为白箱)去直接认识黑箱,而思路 2 的独特之处在于不破译黑箱(还是黑箱)而 间接认识黑箱,这就是所说的黑箱方法.用“特值排除法”解选择题是黑箱方法在数学解题 中的重要应用.由于选择题既多给了“有且只有一项正确”的前提、又多给了四个结论供参 考,因而必然比它的解答题形式难度降低,也为“特值排除法”提供了应用的空间. (参见 例 2-17) 换位思考“黑箱方法” ,则是向命题工作提出了一个忠告:在编拟选择题时,如果使用 了全称判断,要谨防考查意图的失落;另外,在选项的搭配上,也要注意独立性、平行性、 典型性,保证考查意图的落实.有人非议学生巧解选择题是“投机取巧” ,实际上,更应该 思考的是“如何提高选择题的编拟质量” ! 3.3.3.5 目标选择影响解题难度与解题长度 为了求 S 4 n ,可以将目标设定为

S4 n ?
也可以设定为

a1 ?1 ? q 4 n ? 1? q

,或S4 n ?

a1 ? a4 n ?1 , 1? q

S4n ? Sn ? qn S3n,或S4n ? S3n ? q3n Sn ,
等等,它们与已知条件之关有不同的路径,因而目标选择直接影响解题难度与解题长度,通

俗说,选择 S4 n ?

a1 ?1 ? q 4 n ? 1? q

式的思路 1 比选择 S4n ? S3n ? q3n Sn 式的思路 4 麻烦.

3.3.3.6 一般化的几个技术 一般化意味着从具体的、 特殊的现象中抽象概括出本质性的规律来. 在我们的上述活动 中,实现“一般化”主要采用了这样一些做法: (1)把一个大问题分解为一个个小步骤,然后逐个步骤一般化. (化大为小) (2)在每步一般化时,抓住关键运算作类比猜想,然后再验证调整. (类比猜想) (3)在类比猜想时,记下特殊与一般之间的双向对应关系,并在各个步骤中检验与调 整. (双译密码) 3.3.3.7 找回解题过程中被浪费了的重要信息 在将思路 2 一般化的过程中我们遇到如何将 S3 =a1 +a1q ? a1q2 一般化为 S3n 的问题,还
n 2n 老老实实想了一阵子,其实,一般化的式子 S3n =S n 1+q ? q 既包含在①-1、②-1 式中,

?

?

更明明白白写在得出③-1 式的运算中,这是一个被浪费了的信息,其功能在思路 1 中没有 被充分发挥出来,后来,这个式子不仅消除了 1 ? q 做分母的麻烦,而且显化了特殊与一般 的互译密码:把 S1 看成 Sn ,把 q 看成 q . 以上, 我们在个别具体案例中获得的体会, 还需要得到同行们更广泛的实证支持, 并且, 思路 4 也不要看作是最后、最好的解法,任何时候,我们都不要把局部的经验当作普遍的真 理,任何时候,我们都应该将现有的思路作为获得更多、更好思路的一个中间过程.
n

参考文献 1 罗增儒.解题分析—— 98 高中联赛与数学思维品质的发展 ? J ? .中学数学教学参考,
/

1999,1~2. 2 罗增儒.学会学解题 ? J ? .中学数学教学参考.2004,9~12.

第4节

高考数列题的解题反思

案例 4:高考数列题的解题反思 2007年高考数学陕西卷文、理科各有一道数列解答题,我们对这两道题的解题过程分 析希望能够体现解题反思的两个要点:解题方法的评价与数学命题的认识(参见第 2 章第 6 节) .其中文科试题的分析重在解题方法的评价,深化方法的认识,追求解法的优化;理科 试题的分析重在数学命题的认识,经历“冗余条件”发现与处理的过程. 我们以典型试题为载体研究解题,不仅仅是为了考试多得分、得高分,在我们看来,包 括解题反思在内的数学解题, 是数学学习中不可或缺的核心内容, 数学解题的思维实质是发 生数学,而不仅仅是“规则的简单重复”或“操作的生硬执行” ,是数学学习中不可替代的 实质活动,解题活动的核心价值是掌握数学,解题是一种最贴近数学思维的实质性活动,是 掌握数学、学会“数学地思维”的关键途径. 3.4.1 文科数列题的解题反思——怎样进行解法的改进 这是一道很普通的题目,解法也是常规的,然而,即使是在平凡而简单的解题活动中, 依然有解题分析的空间. 3.4.1.1 题目与答案 例 1 已知实数列 {a n }是 等比数列,其中 a7 ? 1, 且a4 , a5 ?1, a6 成等差数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn ,证明: Sn ? 128 (n ? 1, 2,3, [2007年高考数学陕西卷文科第 20 题(12 分)] 答案 (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的公比为 q (q ? R ) ,由 a7 ? a1q6 ? 1,得 a1 ? q?6 ,从而

).

a4 ? a1q3 ? q?3 , a5 ? a1q4 ? q?2 , a6 ? a1q5 ? q?1 .
因为 a4,a5 ? 1 ,a6 成等差数列,所以

a4 ? a6 ? 2(a5 ? 1) ,


q?3 ? q?1 ? 2(q?2 ? 1) ,
q?1 (q?2 ? 1) ? 2(q?2 ? 1) ,

所以

q?

1 , 2
n ?1



an ? a1q

?q q

?6

n ?1

?1? ? 64 ? ? ?2?

n ?1



? ? 1 ?n ? 64 ?1 ? ? ? ? n a (1 ? q n ) ? ?2? ? ? ? 128 ?1 ? ? 1 ? ? ? 128 . (Ⅱ) Sn ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 1? q ? ? ?2? ? ? 1? 2
3.4.1.2 解题过程的分析 1.解题思路的理解 对于这个答案,我们首先作这样的宏观理解:第(Ⅱ)问倚赖于第(Ⅰ)问,所以, 关键是求等比数列的通项,又由通项公式

an ? a1q n?1



知, 只需求 a1 , q 两个未知数. 而已知条件恰好提供了两个等量关系 “ a7 ? 1 , 且 a4 , a5 ? 1 , a6 成等差数列” ,可以表示为关于未知数 a1 , q 的两条方程

a7 ? a1q6 ? 1, a1q3 ? a1q5 ? 2(a1q4 ?1) ,

② ③

因而两个未知数 a1 , q 应是可以求出来的.上述答案无非是由②代入③用消元法解出

1 ? ?q ? , 2 ? ?a ? q ?6 ? 26 , ? 1
再代入①得

?1? an ? a1q n ?1 ? q ?6 q n ?1 ? 64 ? ? ?2?

n ?1

n ? ?1? ? 或 128 . ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ?

在第 (Ⅰ) 问完成的基础上, 代入等比数列的求和公式, 作放大, 得第 (Ⅱ) 问 Sn ? 128 . 这个过程可以详细分解为三大步 5 小步(解题过程的结构分析) . 第一大步,用代入消元法解出 a1 , q .这又可以分为 3 小步. 第 1 小步,把②变为 (用 q 表示 a1 ) . a1 ? q?6 . 第 2 小步,把④代入③消去 a1 ,得关于 q 的方程 ④

q?3 ? q?1 ? 2(q?2 ? 1) .
第 3 小步,解方程,得 q ?



1 . 2

第二大步,由 a1 , q 求出数列的通项公式.这只有一小步运算:

第 4 小步,代入①,得通项公式

?1? an ? a1q n?1 ? q ?6q n?1 ? 64 ? ? ?2?

n ?1

.

第三大步,把等比数列的通项代入求和公式,作放大得 Sn ? 128 .这只有一小步运算: 第 5 小步,由等比数列的求和公式,得

? ? 1 ?n ? S n ? 128 ?1 ? ? ? ? ? 128 . ? ? ?2? ? ?
由上面的结构分析可以看到,最关键的是第一大步“用代入消元法解出 q ” ,而在第一 大步中最有价值的解题进展是“建立关于 q 的方程” .抓住这个实质步骤,如何去获得解题 的新进展与新认识呢?我们建议用“否定假设法” (请参见文[2]) ,即对上面的每一步骤都 作“假如不是这样、将会是怎么样”的提问,产生问题,促进思考. 2.否定假设法的应用 (1)否定第 1 小步,假如不是用 q 表示 a1 ,将会是怎么样呢? 重新审视②式 a7 ? a1q6 ? 1可以看到,如果不是消去 a1 那就应该消去 q 、或消去数字 “1” . 情况 1-1 如果消去 q ,那就由②解出 q ? a1 6 (用 a1 表示 q ) ,代入③消去 q ,得关于
? 1

a1 的方程

a12 ? a16 ? 2(a13 ? 1) ,
即 解得

1

1

1



a1 (a1 ? 1) ? 2(a1 ? 1) .

1 6

1 3

1 3

a1 ? 26 ,
?6

进而 q ? a1

?

1 ,有 2
n ?1

?1? an ? a1q n?1 ? 64 ? ? ?2?



这个否定假设把“ q 的负指数”方程⑤改成了“ a1 的分数指数”方程⑥,思路是可行 的,但与原解法基本上是平行的,难以体现认知质量的提高. 情况 1-2 如果消去数字“1” , 那就由②得 1 ? a7 ? a1q (用 a7 表示 1) ,代入③得关
6

于 a1 , q 的方程

a1q3 ? a1q5 ? 2(a1q4 ? a1q6 ) ,



约去 a1q3 ? a1q5 (即 a4 ? a6 )得

1 ? 2q .



此处,⑦式比③式显得和谐,⑧式比⑤、⑥式显得简洁,虽然⑦、⑧式也都是由“代入 消元法”得出来的,但代入与消元的过程都稍微简便(用 1 ? a1q 6 整体代入) ,结果也好看 了点——没有负指数或分指数了,并且由⑦到⑧的过程还告诉我们: a7 ? 1 是非实质的,只 要 ak , ak ?1 ? ak ?3 , ak ?2 成等差数列,就恒有 q ?

1 (不变性) .应该说,消去③式的数字“1” 2

能给我们带来一些方便,并提供了新的认识,既有认知数量的增加,又有认知质量的提高. (参见解法 2) (2)否定第 2 小步,假如不是把②式变形后代入③(再代入①) ,将会是怎么样呢?若 ②式不代入③式,那就可把②代入①,或进行更多形式的综合搭配. 情况 2-1 如果把②代入①,则

an ? a1qn?1 ? a7 qn?7 ? qn?7 ,
这说明问题归结为求 q 就够了,可节约对 a1 的关注.并且整个数列都可列举出来:



q?6 , q?5 , q?4 , q?3 , q?2 , q?1 ,1, q, q2 ,
就是说,如果等比数列中有一个项 ak ? 1 ,那么 an ? q n?k ,从 ak 开始后面各项为:

1, q, q2 ,

,前面各项为: q

1?k

,

,只要有 4 , q?3 , q?2 , q?1,1 .并且能清晰看到(如上所说)

个相邻项满足“ ak , ak ?1 ? ak ?3 , ak ?2 成等差数列” ,就恒有

qk ?7 ? qk ?5 ? 2q(qk ?7 ? qk ?5 ) ? q ?

1 . 2

可以说,先得出⑨对于我们整体把握解题的全局是有好处的. (参见解法 1) 情况 2-2 如果不拘泥于②→③→①的线性顺序,那么我们就会对①、②、③式进行整 体的观察

?an ? a1q n?1 , ? 6 ?a7 ? a1q ? 1, ? 3 5 4 ?a1q ? a1q ? 2(a1q ? 1),
从而,⑦式与⑨式就有更多的机会早早暴露出来.数学解题本来就是寻找条件与结论 之间的联系,尽管答案的陈述是顺时线性的,但思路的寻找总是共时立体的. (3)否定第 3 小步,不求出 q 、或不解方程,将会是怎么样呢? 原以为这不会获得什么结果, 不解方程 q ? q
?3 ?1

? 2(q?2 ? 1) 怎能求出 q 呢?不求出 q

怎能求出通项呢?充其量只能导致一些联想, 比如, 若不限于实数的范围, 则还可以 q ? ?i , 产生出周期数列,结论加上绝对值后依然成立 Sn ? 128 ;又如,若把“ a4 , a5 ? 1, a6 成等差

数列”作一点小变动: “ a7 ? 1 ,且 a4 ,a5 ? 2, a6 成等差数列” ,则涉及一般三次方程的求解, 难度骤然提高. 后来,我们看到,方程两边约去 q ?2 ? 1 相当于全式除以 a5 ? a7 ,方程就变为

a4 ? a6 ?2, a5 ? a7
计及 q 的原始形态

q?

a7 a6 a5 ? ? , a6 a5 a4

立即想到由等比定理,有

q?

a7 a5 a5 ? a7 1 ? ? ? . a6 a4 a4 ? a6 2

这就直接由等比数列的定义求出了 q ,突破了“列方程、解方程、求 q ”的思维定势, 确实可以不列方程、不解方程. (参见解法 3,这也是找回被浪费了的重要信息.) (4)否定第 4 小步,不用 q 去表示 an ,将会是怎么样呢? 这没有获得什么积极的结果.曾经设想若不由 q ?

1 去确定 an ,可对⑤式 2

q?3 ? q?1 ? 2(q?2 ? 1)
两边乘以 q
n ?7

,得递推关系

, an?3 ? an?1 ?2 ( an?2 ? an) 但是,解这个函数方程并没有表现出什么优越性.又曾设想由等比数列的定义

an a ? n?1 ? an?1 an?2


?

a7 a6 a5 ? ? ? a6 a5 a4

?

a2 a5 ? a7 1 ? ? , a1 a4 ? a6 2

a a an ? n ? n?1 ? an?1 an?2

a ?1? ? 8 ? a7 ? ? ? a7 ?2?

n ?7



虽然表面上没有出现 q ,但实质上还是求出 q ? 改写为

1 .不过,对通项公式的思考倒发现,将其 2

?1 1 ?1? an ? 128 ? ? ? Sn ? 128 ? ? 2 ? ?2 2 ?2?
有利于第(Ⅱ)问将 Sn 放大为 128.

n

?

1? ?, 2n ?

(5) 否定第 5 小步,假如不用等比数列的求和公式来作放大,将会是怎么样呢?

这一下子就把空间开放了, 甚至没有学过等比数列的初中生都有机会完成 (参见文[3]) . 情况 5-1 由图 3-15 有恒等式

1 1 ? ? 2 22


?

1 1 ? 1? n , n 2 2

?1 1 Sn ? 128 ? ? 2 ? ?2 2
情况 5-2

?

1? 1? ? ? 128 ?1 ? n ? ? 128 . n ? 2 ? ? 2 ? ?
?

?1 1 Sn ? 128 ? ? 2 ? ?2 2
? ?1 1 ? 128 ? 2 ? ? 2 ? ? ?2 2 ?? 1 ? 128 ??1 ? ? ?? 2 ?

1? ? 2n ?
1 ? ?1 1 ??? ? ? 2n ? ? 2 22 ? ? 1 ?? ? 2n ? ? ?

图 3-15

1 ? ?1 1 ??? ? ? 2n ?1 ? ? 2 22

1 ?? ? 2n ? ? ?

1 ? ? ? 128 ?1 ? n ? ? 128. ? 2 ?
情况 5-3

?1 1 Sn ? 128 ? ? 2 ? ?2 2
? 2 ?1 2 ?1 ? 128 ? ? 2 ? 2 ? 2

?

1? ? 2n ?
2 ?1 ? ? 2n ? 1 ? 1 ? ? n ?1 ? n 2 ?2 ?? ?? ??

?

?? 1 ? ? 1 1 ? ? 128 ??1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ?? 2 ? ? 2 2 ? 1 ? ? ? 128 ?1 ? n ? ? 128. ? 2 ?
情况 5-4

?1 1 Sn ? 128 ? ? 2 ? ?2 2
?? 1 1 ? 128 ?? ? 2 ? ?? 2 2 ?? 1 1 ? 128 ?? ? 2 ? ?? 2 2 ? ? 128.

?
? ?

1? ? 2n ?
? 1? ?? n ? ? 2 ?

1 1 ? n n ?1 2 2

1 ? 1 ? ?? 2n ?1 ? 2n ?1 ? ?

还有数学归纳法等多种途径,不赘述. 3.4.1.3 改进解法 为了节省篇幅,仅给出第(Ⅰ)问的 4 个解法,安排为一种逐步简化的顺序. 解法 1 设等比数列 ?an ? 的公比为 q (q ? R ) .由已知 a7 ? 1 ,得

an ? a1qn?1 ? a7 qn?7 ? qn?7 .

取 n ? 4,5,6 ,得 a4 ? q?3 , a5 ? q?2 , a6 ? q?1 .又由 a4 , a5 ? 1, a6 成等差数列,知

q?3 ? q?1 ? 2(q?2 ? 1) ,
即 得

q?1 (q?2 ? 1) ? 2(q?2 ? 1) ,
q?


1 , 2
n ?1

an ? a1q

? a7 q

n ?7

?1? ?? ? ?2?

n ?7



解法 2 设等比数列 ?an ? 的公比为 q (q ? R ) .由已知 a 7 ? 1, 且a4 , a5 ? 1, a6 成等差数 列知 a4 , a5 ? a 7 , a6 成等差数列,有

a4 ? a6 ? 2(a5 ? a7 ) ,


a4 ?1 ? q 2 ? ? 2q ? a4 (1 ? q 2 ) .

2 2 由 a4 ? 0, 1 ? q ? 0 ,可约去 a4 1 ? q ? 0 ,得 q ?

?

?

?

?

1 ,故 2


?1? an ? a1q n?1 ? a7 q n?7 ? ? ? ?2?

n ?7

?1? ? 64 ? ? ? 2?

n ?1

解法 3 设等比数列 ?an ? 的公比为 q (q ? R ) . 由已知 a7 ? 1, 且a4 , a5 ? 1, a6 成等差数列 知, a4 , a5 ? a 7 , a6 成等差数列,有

a5 ? a7 1 ? ,进而 a4 ? a6 2 ? a2 a5 ? a7 1 ? ? , a1 a4 ? a6 2

an a ? n?1 ? an?1 an?2


?

a7 a6 a5 ? ? ? a6 a5 a4

a a an ? n ? n?1 ? an?1 an?2

a ?1? ? 8 ? a7 ? ? ? a7 ?2?

n ?7

.

解法 4 设等比数列 ?an ? 的公比为 q (q ? R ) . 由已知 a7 ? 1, 且a4 , a5 ? 1, a6 成等差数列 知, a4 , a5 ? a 7 , a6 成等差数列,有

q?

a7 a6 a5 a5 ? a7 1 ? ? ? ? a6 a5 a4 a4 ? a6 2
n ?7



?1? an ? a1q n?1 ? a7 q n?7 ? ? ? ?2?

?1? ? 128 ? ? . ? 2?

n

3.4.1.4 收获 1.改进了解法. 这是一个首先被关注到的、结果性的收获,三个解法都比原答案简单了,当中把两个条 件“ a7 ? 1, 且a4 , a5 ?1, a6 ”中的“1”沟通,还应是带实质性的简化.尤其是解法 3、解法 4 直接用等比数列的基本概念求解,一步到位,把代入、消元、解方程的步骤与框架都突破 了. 2.提高了对本例的认识. 新解法的出现,根源于对题目结构认识的提高,应该说,下面的 3 点认识更接近问题的 深层结构: ?第 1 个新认识是, 由两个条件 “ a7 ? 1 , 且 a4 ,a5 ? 合起来, 说明 a4 , a5 ? a 7 , a6 1 , a6 ” 成等差数列.值得反思的是,在 1 与 a7 之间,我们是不是受到了“形异而值同”的干扰? 习惯于把 a7 写成 1,不习惯把 1 写成 a7 . ?第 2 个新认识是,只要 ak , ak ?2 ? ak ?3 , ak ?2 成等差数列,就恒有 q ? 是非实质的,改为“ a7 ? 2, 且a4 , a5 ? 2, a6 成等差数列” ,仍有 q ? 解法不变. ? 第 3 个 新 认 识 是 , 对 于 等 比 数 列 ?an ? , 把 等 差 中 项 a5 ? a7 ?

1 ,因而,a7 ? 1 2

1 (但影响 an , S n ) ,且 2

a4 ? a6 表示为 2

a5 ? a 7 1 ? 更利于与公比沟通,从而获得数学活动经验:问题表征影响解题的长度与深度. a4 ? a6 2
⒊深化了代入消元法的理解. ?对 a7 ? a1q6 ? 1与 a1q3 ? a1q5 ? 2(a1q4 ? 1) 之间的消元, 可以消去 a1 , 也可以消去 q , 还可以消去数字 “ 1” . 如上所说, 此处容易产生的认识封闭是: 只知道消去 a1 , 不会消去 “1” ; 只知道把 a7 写成 1,不知道把 1 写成 a7 . ?对条件与结论之间的沟通,着眼于整体

?an ? a1q n?1 , ? 6 ?a7 ? a1q ? 1, ? 3 5 4 ?a1q ? a1q ? 2(a1q ? 1),
不必拘泥于第②式代入第③式,也可以第②式代入第①式.甚至还可以颠覆代入消元法. ⒋实践了怎样进行解题过程的分析. 特别突出而细致的有两个做法: ?结构分析法 ?否定假设法

这些收获实质上是对概念、定理、公式的继续学习,是对方法的继续熟练,而不仅仅是 “规则的简单重复”或“操作的生硬执行” ,所以说数学解题的思维实质是发生数学,解题 活动的核心价值是掌握数学. 3.4.2 理科数列题的解题反思——“冗余条件”的发现与处理 2007年数学高考陕西卷理科第22题,是一道数列与组合计数相结合的压轴题.来自考 场的基本信息是(参见文[4]) : ?考生也就能动手做第(Ⅰ)问,并且还不完整.很多人得到递推关系 ak ?1 ? ak ?1 ? 2 后, 没有对数列 ?ak ? 中的奇、偶项进行讨论,直接就得出 ak ? k (k ? N* ) ,逻辑推理不够严 谨. (想一想,若 a1 ? 2 时,数列通项是什么?) ?第(Ⅱ)问得零分的人数很多. 多数考生都选择放弃, 有的则是杂乱无章的写了几个无 关的式子. ?全题的难度系数为0.23,无论是位置难度、相对难度还是绝对难度,都是一道高难 题,思维的陷阱或转折有好几个坎.首先,由递推关系 ak ?1 ? ak ?1 ? 2 找数列 ?ak ? 的通项公 式是一个坎;其次,恰当表示通项公式 bk ? (?1)
k ?1

(n ? 1)

(n ? k ? 2)(n ? k ? 1) (用组合 k (k ? 1) 21

式表示为 bk ?

(?1)k ?1 k ?1 (?1)k ?1 k Cn ?1 , 或 bk ? Cn )并求和,有思维的转折,是连续的两个坎; k n

又由于这些坎有不可逾越的线性关系 (前面过不去后面就出不来) , 所以, 难点更显集中. 本 来,可以期望那些参加过竞赛培训的考生“杀出重围” (第(Ⅱ)问的组合式求和
k ?1 n (? 1) (?1)k ?1 k k ?1 或 ,但考试剩下的时间不够了.所以题目 C , Cn 可见于竞赛资料) ? ? n ?1 k n k ?1 k ?1 n

的难度既有综合能力要求较高的因素,又有时间和位置等因素. 我们对本例的反思重在题目的第(Ⅰ)问,供教学参考. ⒊⒋⒉1 题目与答案——用完了所有条件 例 2 已知各项全不为零的数列 ?ak ? 的前 k 项和为 Sk ,且 S k ?

1 ak ak ?1 ? k ? N ? ? ,其中 2

a1 ? 1 .
(Ⅰ)求数列 ?ak ? 的通项公式;

(Ⅱ)对任意给定的正整数 n ? n ? 2? ,数列 ?bn ? 满足

bk ?1 k ? n ? ? k ? 1, 2, bk ak ?1

, n ?1? ,

b1 ? 1 .求 b1 ? b2 ?

? bn .
1 a1a2 及 a1 ? 1 ,得 a2 ? 2 . 2

[2007年高考数学陕西卷理科第 22 题(12 分)] 答案 (Ⅰ)当 k ? 1 时,由 a1 ? S1 ? 当 k ≥ 2 时,由

1 1 1 ? ?ak ? Sk ? Sk ?1 ? ak ak ?1 ? ak ?1ak ? ak (ak ?1 ? ak ?1 ), 2 2 2 ? ? ?ak ? 0,


ak ?1 ? ak ?1 ? 2 ,
m ? a ? a ? ? 2 m?1 1 ? ? a2i ?1 ? a2i ?3 ? ? 1 ? 2(m ? 1) ? 2m ? 1, ? i ?2 m ? N* , ? m ?a ? a ? ? a ? a ? ? 2 ? 2(m ? 1) ? 2m, ? 2m 2 2i 2i ? 2 ? i ?2 ?

从而

奇偶项合并得 ak ? k (k ? N* ) . (Ⅱ)把 ak ? k 代入已知,有

bk ?1 n?k n?k ,得 ?? ?? bk ak ?1 k ?1

bk ?

bk bk ?1 bk ?1 bk ? 2

b2 b1 b1

? (?1)k ?1
?

(n ? k ? 1)(n ? k ? 2) k (k ? 1)

? n ? 2 ? (n ? 1) 1
21

(?1)k ?1 n(n ? 1) (n ? k ? 2)(n ? k ? 1) n k (k ? 1) 21
(?1)k ?1 k Cn (k ? 1, 2, ,n) . n

?
从而

b1 ? b2 ? b3 ?
?

? bn ?

1 1 2 3 ? Cn ? Cn ? Cn ? ? n

n ? ? (?1) n ?1 Cn ?

1 0 1 2 1? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? n 1 1 n ? ?1 ? ?1 ? 1? ? ? . ? n n?
3.4.2.2 答案第(1)问的认识

?

? (?1) n Cnn ? ?

?

观察 S k ?

k ? k ? 1? ak ak ?1 aa ,联想 ak ? k时, S k ? 满足 S k ? k k ?1 ,故猜想 ak ? k .上 2 2 2

述答案相当于分 4 步证实这个猜想. 第1步,面对 Sk 与 ak 的递推关系,为了找数列 ?ak ? 的通项,故想到消去 Sk ,用公式

1 ak ? Sk ? Sk ?1, ? k ? 1? , 得 出 数 列 ?ak ? 的 递 推 关 系 ak ? ak ? ak ?1 ? ak ?1 ? , 即 2

ak ? ak ?1 ? ak ?1 ? 2? ? 0 .
第 2 步,由数列的“各项全不为零”知,可以约去 ak ? 0 ,得数列 ?ak ? 的更简单递推 关系 ak ?1 ? ak ?1 ? 2 .这个结果更坚定了 ak ? k (k ? N* ) 的预想,但是如何地实现预想有技 术上的困难,毕竟 ak ?1 ? ak ?1 ? 2 与 ak ?1 ? ak ? 1 还有形式上的差异. 第 3 步, “答案”采取的技术措施是,分别对奇数项和偶数项求通项

a2m?1 ? 2m ?1, a2m ? 2m.
第 4 步,合并奇、偶数项得 ak ? k (k ? N* ) .其一般性的合并公式是:

m ? 1, 1? ?? 1 ? ? ? ?1 ? xn , n? 2 ? x ? 1 yn . an ? ? ? an ? n m , 2 2 ? yn , n ? 2
n n

这个解法用完了所有的条件,给我们的印象是条件既不多又不少,其实不然.当我们用 第二数学归纳法来证明时,并没有用到“各项全不为零”的条件. 3.4.2.3 题目的反思——冗余条件的揭示 逐一取 k ? 1, 2,3 可得 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 3, 因而猜想 ak ? k ; 又因为这是一个与自

然数有关的命题,因而想到用数学归纳法. 另解 1 用第二数学归纳法证明 ak ? k (k ? N* ) . (1)当 n ? 1 时,由 a1 ? 1 知,命题成立. (2)假设 a1 ? 1, a2 ? 2,

, ak ?1 ? k ?1 ? k ? 2? ,则
a 1 1 ak ?1ak ? ak ? 2 ak ?1 ? k ?1 ? ak ? ak ?2 ? , 2 2 2

ak ?1 ? Sk ?1 ? S k ? 2 ?
约去 ak ?1 ? k ? 1 ? 0 ,得

ak ? ak ?2 ? 2 ? ? k ? 2 ?k , ?? 2
命题当 n ? k 时成立
? 由第二数学归纳法得 ak ? k k ? N

?

?



说明 这个解法, 确实没有用到 “各项全不为零” 的条件, 说明其在数学上不是必要的, 但在考试中确有降低难度的作用. 既然条件“各项全不为零”可以不用,从试题编制上考虑,就是一个“冗余条件”了, 怎样处理“冗余条件”呢?这是一个很好的锻炼机会,我们提出三个办法. 3.4.2.4 冗余条件的处理 1.修改条件的呈现方式 比如,让条件逐步出现,不要一齐出现. 例 3 已知各项全不为零的数列 ?ak ? 的前 k 项和为 Sk ,且 S k ? (I)求证 ak ?1 ? ak ?1 ? 2 ; (II)当 a1 ? 1 时,求 ak 的通项公式; (III)对任意给定的正整数 n ? n ? 2? 及(II)中的 ak 作数列 bk , 满足

1 ak ak ?1 ? k ? N ? ? . 2

bk ?1 k ? n ? bk ak ?1

? k ? 1, 2,
说明

, n ?1? ,b1=1.求 b1 ? b2 ?

? bn .

由于 a1 ? 1 推迟出现,对第(1)问推出“ ak ?1 ? ak ?1 ? 2 ”而言, “各项全不为

零”已不是“冗余条件” .但是此时显化了递推关系 ak ?1 ? ak ?1 ? 2 ,题目的难度会下降. 2.修改递推关系 如将递推关系改为:

Sk ?

kak ?1 ; 2

Sk ?

k ? k ? 1? ? ak ; 2

Sk ? Si ? Sk ?i ? i ? k ? i ??i ? 1,2,
??

, k ?1? .
1 kak ?1 ? k ? N ? ? ,其中 a1 ? 1 . 2

例 4 已知数列 ?ak ? 的前 k 项和为 Sk ,且 S k ?
? (I)求证 ak ? 0 k ? N ;

?

?

(II)求 ak 的通项公式; (III)对任意给定的正整数 n ? n ? 2? ,数列 ?bn ? 满足 b1=1.求 b1 ? b2 ?

bk ?1 k ? n ? ? k ? 1, 2, bk ak ?1

, n ?1? ,

? bn .

证明 (Ⅰ)当 k ? 1 时,由 ak ? S k ? S k ?1 ?

1 1 kak ?1 ? ? k ? 1? ak ,得 2 2

? k ?1? ak ? kak ?1 .
若存在 am ? 0 ( m ? 1 ) ,由 mam?1 ? ? m ?1? am , m ? 0 ,得 am?1 ? 0 .如此类推,得

am ? 0, am?1 ? 0,
与 a1 ? 1 矛盾,所以 ak ? 0 . (II)由上证有

, a2 ? 0, a1 ? 0 ,

ak ?1 k ? 1 , ? ak k a2 a1 ? k . a1



ak ?
(III) (略) 说明

ak ak ?1 ak ?1 ak ?2

这个方案的一个不足是,求 ak 的通项与求 bk 的通项有考查知识点的重复.

例 5 已知数列 ?ak ? 的前 k 项和为 Sk ,且 Sk ? (I)求 ak 的通项公式;

k ? k ? 1? ? ak ? k ? N ? ? ,其中 a1 ? 1 . 2

(II)对任意给定的正整数 n ? n ? 2? ,数列 ?bn ? 满足 b1=1.求 b1 ? b2 ?

bk ?1 k ? n ? ? k ? 1, 2, bk ab ?1

, n ?1? ,

? bn .

证明 (I)当 k ? 1 时,由

? k ? k ? 1? ? ? ? k ? 1? k ? ak ?1 ? S k ?1 ? S k ? ? ? ak ?1 ? ? ? ? ak ? , ? 2 ? ? 2 ?


ak ? k , ? k ? 1? .
? 又 a1 ? 1 ,故 ak ? k k ? N .

?

?

(II) (略) 说明 这个方案降低了第(I)问的难度. 例 6 已知数列 ?ak ? 的前 k 项和为 Sk ,且 Sk ? Si ? Sk ?i ? i ? k ? i ??i ? 1,2, 其中 a1=1. (I)求 ak 的通项公式;

, k ?1? ,

(II)对任意给定的正整数 n ? n ? 2? ,数列 ?bn ? 满足 b1=1.求 b1 ? b2 ?

bk ?1 k ? n ? ? k ? 1, 2, bk ak ?1

, n ?1? ,

? bn .

证明 (Ⅰ)令 i ? 1 (或 i ? k ? 1 ) ,由已知得

Sk ? S1 ? Sk ?1 ? 1? ? k ?1? ,
对 k ? 1有

ak ? Sk ? Sk ?1 ? S1 ? ? k ?1? ? a1 ? ? k ?1? ? k.

? 又 a1 ? 1 ,故 ak ? k k ? N .

?

?

(II) (略) . 3.修改解法 修改解法可以删除冗余条件,但提高了题目的难度. 例 7 已知数列 ?ak ? 的前 k 项和为 Sk ,且 S k ?

1 ak ak ?1 ? k ? N ? ? ,其中 a1=1. 2

? (I)求证 ak ? 0 k ? N ,且求 ak 的通项公式.

?

?

(II)对任意给定的正整数 n ? n ? 2? ,数列 ?bn ? 满足 b1=1.求 b1 ? b2 ? 分析

bk ?1 k ? n ? ? k ? 1, 2, bk ab ?1

, n ?1? ,

? bn .

? 第二数学归纳法中学不讲,直接用第一数学归纳法又要用到 ak ? 0 k ? N ,

?

?

解决这个问题可从“答案”的剖析中找到启示:由于“答案”是分奇、偶项进行递推的,所 以我们用数学归纳法也分奇、偶项来证明. 解法 1 (I)把第(I)问改为用数学归纳法证

?a2 k ?1 ? 2k ? 1, k ? N ?. ? ?a2 k ? 2k ,
(1)当 k ? 1 时,由 a1 ? 1, S1 ?



1 a1a2 ,得 a2 ? 2. 命题①成立. 2

(2)假设 k ? m 时,命题①成立,即

?a2 m?1 ? 2m ? 1, ? ?a2 m ? 2m,
?a2 m?1 ? 2m ? 1, a2 m ? 2m, ? ? 1 a2 m ? S2 m ? S2 m ?1 ? a2 m ? a2 m ?1 ? a2 m ?1 ? , ? ? 2 ? a2 m?1 ? a2 m?1 ? 2 ? ? 2m ? 1? ? 2 ? 2m ? 1.



进而

?a2 m ? 2m, a2 m?1 ? 2m ? 1, ? ? 1 a2 m?1 ? S2 m?1 ? S2 m ? a2 m?1 ? a2 m? 2 ? a2 m ? , ? ? 2 ? a2 m? 2 ? a2 m ? 2 ? 2m ? 2.
这表明, k ? m ? 1 时,命题①成立. 由数学归纳法得证 ?

?a2 k ?1 ? 2k ? 1, k ? N ? ,合并得 ak ? k (k ? N* ) . ?a2 k ? 2k ,

? 这就证明了 ak ? 0 k ? N ,且求出了通项 ak ? k (k ? N* ) .

?

?

(II) (略) 说明 1 把 ak ? k 变形为 ?

?a2 k ?1 ? 2k ? 1 之后,数学归纳法的第二步可以分成两小步来 ?a2 k ? 2k

完成,每小步都是“由前两项推后一项” ,与“由前项推后项”相比,都多了个可使用的条 件——这是有效增设的策略. 说明 2 因为数学归纳法与自然数的良序性是可以互推的, 所以我们又可以把这个解法 改写为反证法. 解法 2 (I)由 a1 ? 1, S1 ?

1 1 a1a2 ,得 a2 ? 2. 由 a1 ? 1, a2 ? 2, S 2 ? a2 a3 ? a3 ? 3 . 2 2

? 下面证明 ak ? k k ? N ,用反证法.假设在数列中存在 ak 不等于 k,我们从左到右,

?

?

找出第 1 个这样的项,记为 am ,即

?ai ? i, i ? 1, 2, , m ? 1, ? ?am ? m, m ? 3.
由已知,有

1 ? ? S m ?1 ? 2 am ?1am ? 1 ? ? S m ? 2 ? am ? 2 am ?1 2 ? 1 ? ? S m ? 3 ? 2 am ? 3 a m ? 2 ?

1 ? am?1 ? am?1 ? am ? am ? 2 ? ? ? 2 ?? ?a ? 1 a ? a ? a ? m?2 m?2 m ?1 m ?3 ? ? 2

?am ? am?2 ? 2 ?? ?am?1 ? am?3 ? 2

? am ? am?2 ? am?1 ? am?3
? am ? am?1 ? am?2 ? am?3 ?
可见, a1 , a2 ,

? ?a2 ? a1 ? 1? m为偶数 ? , ?? ? ?a3 ? a2 ? 1? m为奇数 ? ,

, am 是公差为 1 的等差数列, am ? m ,这与 am ? m 矛盾,故得

ak ? k ? k ? N ? ? .
(II) (略) . 说明 凡是能用数学归纳法来证明的命题,都可以改写为反证法. 这个例子让我们经历了冗余条件的发现与处理的全过程, 对如何解题、 如何命题或可 提供一些积极的启示.

参考文献

1 罗增儒.数学解题学引论 ? M ? .西安:陕西师范大学出版社,2001,7. 2 丁芳、罗增儒.提出问题的实用建议 ? J ? .数学教学,2005,11. 3 罗增儒.数式与图形沟通、直觉与逻辑互动 ? J ? .中学数学教学参考,2004,6. 4 周接夏、施中涓.2007 年陕西省高考数学答卷中主要问题评析 ? J ? .中学数学教学参考 (上半月) ,2007,9. 5 罗增儒.2007 年高考数学陕西卷数列题的解题分析 ? J ? .中学数学教学参考(上半月) , 2008,3~4.

第5节

一道高考题的完整求解与思维测试

案例 5:一道高考题的完整求解与思维测试 2007 年全国高考数学广东省文、理科卷都有一道这样的选择题,并引起了舆论的关注 (参见文[1]、[2]、[3]、[4]、[5]) : 例 1 如图 3-16, 是某汽车维修公司的维修点环形分布图. 公司在年初分配给 A, B, C , D 四个维修点某种配件各 50 件.在使用前发现需将 A, B, C , D 四个维修点的这批配件分别调 整为 40 , 45 , 54 , 61 件,但调整只能在相邻维修点之间进行,那 么要完成上述调整,最少的调动件次( n 件配件从一个维修点调整到 相邻维修点的调动件次为 n )为( ). 图 3-16

开始接触这道题目时, 感觉接受义务教育的学生都有可能通过尝试而作出选择: ? B ? 16, 一点也没有想到学生中会普遍“未排除 15、就选择 16” ,一点也没有想到完整求解还会有多 个层次的思维障碍. (其实,本质相同的题目在 2006 年全国卷中考过,参见练习第 2 题) 下面,是我们对问题、问题处理和题目解答的叙述,特此就教于同行. 3.5.1 “会而不对,对而不全”的纠正 3.5.1.1 关于求解的对话:一个学习的案例 2007 年 7 月,笔者将这道最新高考题给一个高二升高三的学生做时,他很快就得出了 答案:由 A 调 10 件到 D ,由 B 调 5 件到 C ,由 C 调 1 件到 D .选 ? B ? .这也正是好些资 料给出的答案. (参见文[2]~[5]) 选 ? B ? 是正确的,高考可以得满分.但这算不算一次成功的解题呢?我们认为是典型 的“会而不对,对而不全” .于是提出了一些问题与学生对话. 教师:能说说调运方案产生的由来吗? 学生: 因为 A ,B 的配件都要减少,C ,D 的配件都要增加, 所以从 A 调配 10 件到 D , 从 B 调配 5 件到 C ,这时 A , B 已调配到位,而 C 多了 1 件, D 还少 1 件,故再从 C 调 配 1 件到 D . 教师:说得很好,确实把你调运方案的由来说清楚了.但是,为什么 16 是最少的呢? 为什么要“从 A 调配 10 件到 D ”呢? 学生: (意外,为难,笑一笑)我感到由 A 给 D 少了不行,由 B 给 C 少了也不行,由 C 给 D 恰好 1 件、多了少了都不行.所以,16 应是最少的. 教师:这是否意味着这个“最少的调运方案”是“不能更改”的,惟一的? 学生:可能是吧, “最少的”应该是惟一的吧.不过, “最少值惟一” ,取“最少值”的 途径倒是可以不惟一,问题是本例的方案很可能是惟一的.让我想想. ??(思考良许,没有进展,教师作启发) 教师:让我们还回到“为什么要从 A 调配 10 件到 D ”的问题上来,你刚才说“ A 给 D

? A? 15 ? C ? 17

? B ? 16 ? D? 18

不能少于 10 件”是吗?对的,因为那样一来, A 多于 40 件,就还得给 B 调配,而 B 是要 减少的, B 就还得给 C 调配,由于 D 还没够 61 件, C 就还得给 D 调配,相当于 A 的配件 经过 B 、 C 到 D ,增加了“重复调配” (或说“中转量” )的件次,所以“ A 给 D 不能少于 10 件” .那么, A 给 D 多于 10 件行不行? 学生:多于 10 件的话?那 A 就不够 40 件了,若拿 B 再补上,这会不会增加“重复调 配”的件次,从而不是“最少的”调运方案. 教师:试试看,当初你的调运方案中 C 也是不够的,补充了 B 的 5 件之后,才有多出 的 1 件运到 D . 如果不 “重复调配” 的话, 由 A 调 10 件到 D , 由 B 调 4 件到 C 并直接由 B 调 1 件到 D ,共计 10+4+1=15 件次就够了,问题是,这与“调整只能在相邻维修点之间进 行”不符. 学生: (高兴)对了,由 A 调 11 件到 D ,由 B 调 1 件到 A 且调 4 件到 C ,这也是 16 件次. (很快晴转阴)不过,这样一来, 还真成问题了,会不会还有第三个方案也是 16 件次, 会不会还有一个我没有想到的方案、15 件次就能完成?老师,15 到底行不行? ?? 对话环绕着 y 取最少值 16 的两个要求展开: (1)任意情况下 y ? 16 , (2)存在一个方 案使 y ? 16 .其中遗漏“任意情况下 y ? 16 ”是“会而不对,对而不全”的根源,现在, 通过启发,学生已经自己找出问题、自觉提出问题了,这正是对话的目的.接下来,我们得 出问题的一般性解法(见下文) ,作为这个讨论的初步结束. 在这个寻找错漏根源的对话中自然涉及到 5 个问题: (1)调运方案“由 A 调 10 件到 D ,由 B 调 5 件到 C ,由 C 调 1 件到 D ”是怎样得 来的? (2)有了一个调运“16 件次”的方案,为什么 16 就是最小值? (3)实现 16 件次的调运方案是惟一的吗?能说明没有第三个方案吗? (4)会不会还有一个我们没有想到的方案“15 件次”就能完成?能证明调动件次不会 少于 16 吗? (5)除了尝试,问题有一般性解法吗? 3.5.1.2 完整的解法 纠正“会而不对,对而不全”必须提供正确的解法,本例完整的求解可以分为两类,一 类是更贴近题目具体情景、具体数据的解法(如解法 1,解法 2) ,一类是更贴近题目深层结 构、便于推广的解法(如解法 3) . 解法 1 依题意,发生在 4 个维修点 A,B,C,D 处的配件调整数 nA , nB , nC , nD 满足

nA ? 50 ? 40 ? 10, nB ? 50 ? 45 ? 5, nC ? 50 ? 54 ? 4, nD ? 50 ? 61 ? 11.
由于“调整只能在相邻维修点之间进行” ,所以,互不相邻的两个维修点配件调配件次 不会出现计算重复, 得 A, B, C , D 四个维修点配件调动件次之和不小于互不相邻的两个维修

点 B, D 配件调动件次之和 nB ? nD ? 5+11=16. (排除选项( A ) 15 ,必要性实现) 又因为 A , B 的配件都要减少, C , D 的配件都要增加,所以从 A 调整 10 件到 D , 从 B 调整 5 件到 C ,这时 A , B 已调整到位,而 C 多了 1 件, D 还少 1 件,故再从 C 调 整 1 件到 D .共调整了 10+5+1=16 件次. (达到 16,充分性实现) 综上得最少的调动件次为 16 件次. 解法 2 考察互不相邻的两点 B, D ,因为 B 由 50 调为 45,所以发生在 B 处的调整至 少 5 件次;同样,因为 D 由 50 调为 61,所以发生在 D 处的调整至少 11 件次,两处之和至

15 , 少 5+11=16 件次, 因而 A,B,C,D 四个维修点调动件次不会少于 16. (排除选项 (A)
必要性实现) 又因为 A , B 的配件都要减少, C , D 的配件都要增加,所以从 A 调整 11 件到 D , 从 B 调整 1 件到 A ,这时 A , D 已调整到位,而 B 多了 4 件, C 还少 4 件,故再从 B 调 4 件到 C .共调整了 11+1+4=16 件次. (达到 16,充分性实现) 综上得最少的调动件次为 16 件次. 说明 这两个解法分别给出了达到“16 件次”的两个方案,但还没说明到底一共有多 少个方案.这可由下面的解法来回答. 解法 3 设维修站 A 向维修站 B 调动的配件数为 xB ,当 xB ? 0 时,表示调配按逆时针 方向进行;当 xB ? 0 时,表示调配按顺时针方向进行;当 xB ? 0 时,表示 A , B 之间无调 入调出. xC , xD , xA 含义相同.有

? A处 : 50 ? x A ? xB ? 40 ? xA ? xB ? 10, ? ? B处 : 50 ? xB ? xC ? 45 ? ? ? xC ? xB ? 5, ? ?C处 : 50 ? xC ? xD ? 54 ? x ? x ? 4 ? x ? 1, C B ? D ? ? D处 : 50 ? xD ? x A ? 61
调配的总件次为

y ? x A ? xB ? xC ? xD ? xB ? 10 ? xB ? xB ? 5 ? xB ? 1 ? ? xB ? 10 ? ? ? xB ? 5 ? ? xB ? ? xB ? 1? ? 15 ? 1 ? 16.
当?

??5 ? xB ? 10, 时,不等式取等号,得 y 取到最少值 16 有两个方案: ??1 ? xB ? 0

? xB ? 0, ? x ? ?10, ? A (1) ? 即由 A 调 10 件到 D ,由 B 调 5 件到 C ,由 C 调 1 件到 D ; x ? 5, C ? ? ? xD ? 1,

? xB ?x ? A (2) ? ? xC ? ? xD
说明

? ?1, ? ?11, ? 4, ? 0,
即由 A 调 11 件到 D ,由 B 调 1 件到 A ,由 B 调 4 件到 C .

也可以把目标函数 y 表示为 xA 或 xC 或 xD 的函数,这类函数最小值的一般性求

解§3.5.2 会谈到.
3.5.1.3 启示

由这个过程可以看到: 1.如果满足于考试得分, 那么一开始的解法就可以实现, 但是, 那个解法是典型的“会 而不对,对而不全” .有了调运“16 件次”的方案,只能排除 17,18 件次为最小值,还不 能排除 15 件次,解法存在明显的逻辑性错误. 解法 1、解法 2 主要是针对这一逻辑漏洞, 补充必要性的证明. 2 问题的一般性求解,是一个建立数学模型(函数模型)的“问题解决”过程,学生在 这个过程中体验了“怎样解题” 、 “怎样学会解题” ,怎样“数学地思维” . 3 求解中用到了“用字母表示数”的基本数学思想.有趣的是,设 xB , xC , xD , xA 时负数 进入到应用题,为列出约束条件(方程组)提供了方便. 4.求解中用到了“函数与方程”的基本数学思想.对约束条件(方程组)又用到了“消 元法” ,并且消元途径是不惟一的(有开放性) ;对目标函数则用到了“放缩法” (放缩有技 巧,细节决定成败) . 3.5.2 思维层次的测试 在上述对话和求解中, 我们感到题目本身有很好的层次性, 为了具体探讨问题求解的思 维层次,我们组织了一次测试. 新学期开学(2007,9) ,在《数学解题论》课上我们布置了一道作业,把高考选择题改 为解答题,以呈现学生解题的思维过程. 例2 如图 3-16, 是某汽车维修公司的维修点环形分布图. 公司在年初分配给 A, B, C , D 四个维修点某种配件各 50 件.在使用前发现需将 A, B, C , D 四个维修点的这批配件分别调 整为 40 , 45 , 54 , 61 件,但调整只能在相邻维修点之间进行,那么要完成上述调整,最 少的调动件次( n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 n )为多少? 在收回的 185 份答卷中,虽然基本上都找到了“16 件次” ,但大都是“会而不对,对而 不全” ,并明显分成 6 个层次.列表表示如下: 层次 1 表 现 人数 14 百分比 7.6% 评析 误解题意,整数加法不 准确等,均属心理性错 误. 得出的“16 件次” 也有逻辑漏洞

错误回答. (1)得 3 次:指由 A 调 1 次 10 件到 D,由 B 调 1 次 5 件到 C,由 C 调 1 次 1 件到 D,把“件次”与 A,B,C 三处 地方调整混为一谈; (2)计算错误,如相 加得 15 等.

2 3

观察尝试得“16 件次”的 1 个方案,缺不 能“小于 16 件次”的说明. 观察尝试得“16 件次”的 2 个方案,缺不 能“小于 16 件次”的说明.

122 16

65.9% 8.6%

“会而不对,对而不 全” ,属逻辑性错误. 比第 2 层次多了一个方 案,但仍“会而不对, 对而不全” ,属逻辑性 错误.

4

摆脱尝试,会建立数学模型来解决问题, 20 但不会把负数引进应用题,所设的 xA ,

10.8%

思路基本正确,但定义 域选择不策略,得出 “16 件次”有“对而不 全”的地方,或是知识 性错误,或是策略性错 误,或是逻辑性错误.

xB , xC , xD 仅代表相邻维修点之间的单
向调整, 得出 “16 件次” 的细节需要完善.

5

能建立数学模型,已转化为求函数

4

2.2%

思路正确,定义域与函 数关系都对,但求最小 值仍有“对而不全”的 地方.

f ? x ? ? x ?10 ? x ? x ?1 ? x ? 5 的最
少值,但求最少值有障碍. 6 能建立数学模型,转化为求函数 9 4.9%

思路正确,过程完整.

f ? x ? ? x ?10 ? x ? x ?1 ? x ? 5 的最
少值,会用分段讨论的方法求出最少值 16. 可见,真正完整求解的只有 4.9%,并且没有一人与上述“完整的解法”相同: (1)用观察尝试法时,不会观察 B, D 维修点的配件变化,得出“ A,B,C,D 四个 维修点调动件次不小于 16 件次” . (2) 求函数 f ? x ? ? x ?10 ? x ? x ?1 ? x ? 5 的最少值时, 基本上都是化为分段函数

?4 x ? 4, ?2 x ? 16, ? ? f ? x ? ? ?16, ??2 x ? 14, ? ? ? 4 ? 4 x,
不会首尾项结合

x ? 10 0 ? x ? 10 ?1 ? x ? 0 ? 5 ? x ? ?1 x ? ?5

x ? x ? 1 ? x ? ? x ? 1? ? 1
等号当且仅当

x ? 10 ? x ? 5 ? ? x ? 10 ? ? ? x ? 5 ? ? 15 ,

? x ?10?? x ? 5? ? 0 , x ? x ?1? ? 0 .
(3)其中第 5 层次的同学中还出现

f ? x ? ? x ? 10 ? x ? x ? 1 ? x ? 5 ? ? x ? 10 ? ? x ? ? x ? 5 ? ? ? x ? 1? ? 4x ? 4 ,
非常可惜,正所谓“细节决定成败” . 后记 四周之后,我们以后面的练习题(1)作为后侧,结果表明,学生基本上都能找 到答案 11,有 85%的学生到达第 5 层次,有 38%的学生结论正确、条理清晰、书写规范. 3.5.3 3.5.3.1 例3 更一般性的思考 由特殊到一般 由形象到抽象 对 a1 ? a2 ?

对函数 f ? x ? ? x ?10 ? x ? x ?1 ? x ? 5 的最小值作一般化推广,有

? an ,求函数 y ? x ? a1 ? x ? a2 ? ? x ? an

的最小值. 考虑到学生普遍有疏漏,我们给出一个有针对性的解题设计(参见文[1]) . 第 1 步,特殊化,取 n ? 2 ,并从生活直观开始引导解题. (1)生活直观.设想一条笔直街道上的 a1 , a2 处分别住着一个小朋友,他们要到何处集 中,两人走的路程之和最短?当然,要使路程之和最短,两人应避免出现“走重复路段” , 而要不出现“走重复路段” ,集中处应选在 a1 , a2 之间,最小值应为 a2 ? a1 ? a2 ? a1 . ( 2 )中度抽象.在数轴上有两个定点 a1 , a2 和一个动点 x ,动点到两定点的距离为

x ? a1 , x ? a2 ,要使两距离之和 x ? a1 ? x ? a2 为最小,动点 x 应在 a1 , a2 之间,最小值 应为 a2 ? a1 . (3)由形象到抽象.把直观看到的事实,转换为严格的数学运算.首先“ x 在 a1 , a2 之 间”转换为不等式 ? x ? a1 ?? x ? a2 ? ? 0 ;其次,距离之和 x ? a1 ? x ? a2 不会小于最小值 a2 ? a1 转换为不等式 x ? a1 ? x ? a2 ? ? x ? a1 ? ? ? x ? a2 ? ? a2 ? a1 , 等号成立当且仅当 x ?? a1 , a2 ? .
第 2 步,取 n ? 3 ,也从生活直观开始引导解题. (1)生活直观.设想一条笔直街道上的 a1 , a2 , a3 处分别住着一个小朋友,他们要到何处 集中,三人走的路程之和最短?首先为使 a1 , a3 两人不出现“走重复路段” ,集中处应选在 ,集中应选在 a2 处,最小值应 a1 , a3 之间,其次为使 a2 与 a1 , a3 两人不出现“走重复路段” 为 a3 ? a1 ? a3 ? a1 . (2)中度抽象.在数轴上有三个定点 a1 , a2 , a3 和一个动点 x ,动点到三定点的距离为 要使距离之和 x ? a1 ? x ? a2 ? x ? a3 为最小, 首先, 动点 x 应 x ? a1 , x ? a2 , x ? a3 , 在 a1 , a3 之间,其次为使 x ? a2 与 x ? a1 或 x ? a3 均不出现重复线段, x ? a2 应等于零, 即 x ? a2 ,这时最小值为 a3 ? a1 ? a3 ? a1 . (3)由形象到抽象.把直观看到的事实,转换我严格的数学运算,首先“ x 在 a1 , a3 之 间”转换为不等式 ? x ? a1 ?? x ? a3 ? ? 0 ,其次,距离之和 x ? a1 ? x ? a2 ? x ? a3 不会小 于最小值 a3 ? a1 转换为不等式

x ? a1 ? x ? a2 ? x ? a3 ? ? x ? a1 ? ? ? x ? a3 ? ? x ? a2 ? a3 ? a1 ? x ? a2 ? a3 ? a1 ,
等号成立当且仅当 x ? a2 . 第 3 步 由特殊到一般,即由 n ? 2 推广到 n 为偶数,由 n ? 3 推广到 n 为奇数. 解 同理 (1)当 n 为奇数时,有

x ? a1 ? x ? an ? ? x ? a1 ? ? ? x ? an ? ? an ? a1 ,

x ? a2 ? x ? an?1 ? an?1 ? a2 ,
??

x ? a n ?1 ? x ? a n ?3 ? a n ?3 ? a n ?1 ,
2 2 2 2

相加得

y ? x ? a1 ? x ? a2 ?
? ? ? an ? ? ? ? ? an ? ?

? x ? an
? ? a1 ? ? x ? a n ?1 ? 2 ? ? a1 ? , ?

? ? ? a n ?3 ? ? ? a n ?1 ? 2 ? ? 2 ? ? ? a n ?3 ? ? ? a n ?1 ? 2 ? ? 2

等号成立当且仅当

? ? ? x ? ?a , a ? 1 n ? ? x ? ? a2 , an ?1 ? ? ? ? ? x ? ?a , a ? ? n ?1 n ?3 ? ? ? 2 2 ? ? ? x ? a n ?1 ? ? 2
2

? x ? a n ?1 ,
2

得 x ? an?1 时, y ? x ? a1 ? x ? a2 ?

? x ? an 有最小值
? ?a 1 ?. ?

? ymin ? ? an ? ?

? ? ? a n ?3 ? ? ? a n ? 1 ? 2 ? ? 2

(2)当 n 为偶数时,有

x ? a1 ? x ? an ? ? x ? a1 ? ? ? x ? an ? ? an ? a1 ,
同理

x ? a2 ? x ? an?1 ? an?1 ? a2 ,
??

x ? an ? x ? an?2 ? an?2 ? an ,
2 2 2 2

相加得

y ? x ? a1 ? x ? a2 ?
? ? ? an ? ?

? x ? an
? ? a1 ? , ?

? ? ? an?2 ? ? ? an ? 2 ? ? 2

等号成立当且仅当

? x ? ? a1 , an ? ? ? x ? ? a2 , an ?1 ? ? ? ? ? x ? ?an , an?2 ? , ? ? 2 2 ? ? ? ? ?x ? a , a ? n n?2 ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 得 x ? ? a n , a n ? 2 ? 时, y ? x ? a1 ? x ? a2 ? ? x ? an 有最小值 ? 2 2 ? ? ? ? ? ymin ? ? an ? ? an? 2 ? ? ? an ? ? a1 ? . ? 2 ? ? 2 ?
说明 可见, n 为奇数时,取到最小值的 x 是唯一的, n 为偶数时,取到最小值的 x 是 不唯一的. 3.5.3.2 可供练习的问题 在此,提出一些问题供练习,既是对上文的巩固,又是对上文的扩展. 1.有环形排列的 A, B, C , D, E 五个房间,住的人数分别为 17,9,14,16,4 人.现欲 使各房间住的人数都相同, 但调整时, 只能向相邻的左右房间搬动, 并使搬动的总人数最少, 求其各房间向各房间左右搬动的人数. 2.函数 f ? x ? ?

? x ? n 的最小值为
n ?1

10

(A)190 (B)171 [2006 年高考数学全国卷第 12 题]

(C)90

(D)45

3. (车站选址问题)下面是一个工厂区的地图,一条公路(粗线)通过这个地区,7 个 工厂 A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6, A 7 分布在这公路两侧,由一些小路(细线)与公路相连.现在要 在公路上设一个长途汽车站,车站到各工厂(沿公路、小路走)的距 离总和越小越好. ( a )这个车站设在什么地方最好? ( b )如果在 P 点的地方又建立一个工厂,并且沿着图上的虚线 修了一条小路,那么这时车站设在什么地方最好? [1978 年北京市数学竞赛试题] 4.对 ki ? 0, a1 ? a2 ?

? an ,求函数 y ? k1 x ? a1 ? k2 x ? a2 ? ? kn x ? an

图 3-17

的最小值. (可参见文[2]) 说明 小? 6.正方形 A 1A 2A 3A 4 的顶点处分别住着 1 个小朋友,他们在何处集中,4 人所走的路程 之和最小? 7.已知复数 a1 , a2 , 取最小值. 这个问题也可以认为是例 3 中出现 ai ? a j 的情况. 5. A1 A2 A3 的顶点处分别住着 1 个小朋友,他们在何处集中,3 人所走的路程之和最

, an ,求复数 z 使 y ? z ? a1 ? z ? a2 ? ? z ? an

参考文献 1 柳柏濂.新高考 新在哪里?——2007 年高考数学广东卷试题与答案分析 ? J ? .中学数 学研究(广州) .2007,6. 2 万尔遐.关于数学“先猜后证”的对话 ? J ? .数学通讯. ,2007,17. 3 高慧明.涵盖丰富 和谐稳定 平而不俗 淡中见奇——2007 年全国高考数学试题综评暨 4 高慧明.全国高考数学试题(广东卷)选评 ? J ? .中学数学杂志,2007,9. 2. 6 罗增儒.形象化——需要,但不要停留 ? J ? .中学数学教学参考.2002,4. 7 胡如松.也谈函数 f ? x ? ? 备考展望 ? J ? .数学教学通讯,2007,9.

5 母建军、丁 勇.解读 2007 年数学高考客观题的若干题型 ? J ? .上海中学数学,2008,

? a x ?b
i ?1 i

n

i

的最小值 ? J ? .中学数学.2006,12.

8 罗增儒.解题案例——一道 2007 年高考题的完整求解与思维测试[ ? J ? .中学数学教学 参考(上半月) .2007,11.

第6节

数学教育的结论也是要证实的

案例 6:数学教育的结论也是要证实的 数学的结论要经过逻辑论证,这是人所共知的,任何数学工作者都不会承认一条未加 证明的“定理” .但是,对于数学教育,人们似乎宽容得多,没有提供理论依据或实证支持, 也形成结论,并且还常常“没有受到质疑” .本文想通过一个小案例说明,这种“习以为常” 的空气需要改变,数学教育的结论也是要证实的,否则,会“误假成真” .

3.6.1

案例的呈现—— 可疑的观点

3.6.1.1 题目和它的两个解法 《数学通报》 2006 年第 10 期文[1]对下面一道题目引述了两个熟知的解法, 并进行对比 评述. 例 1 已知 a, b, c 为正数, 解法 1 由已知条件可得

2b ? 2c ? 1 ,求证 b2 ? 4ac . a

2b ? a ? 2c ,
而 于是 从而得

a ? 2c ? 2 2ac , 2b ? 2 2ac ,
b 2 ? 4ac .
2

① ②

解法 2 从 b ? 4ac 想到一元二次方程

ax2 ? bx ? c ? 0
的判别式,而由已知条件, x ? ?

2 恰好是该方程的根,于是证得. 2

对解法 2,文[1]认为“这显然是一种巧合,缺乏普遍性” ,比如把题目改为 例 2 已知

2b ? 3c ? 1 ,求证 b2 ? 4ac . a

“这种方法就失效了. ” 3.6.1.2 可疑的观点 如果没有理解错的话,解法 1 主要是“用基本不等式”进行演算操作;解法 2 主要是 “构造二次方程”进行内容转化.对这两个做法,文[1]表达了两个数学教育的命题(观点) . 命题 1:解法 2“显然是一种巧合,缺乏普遍性” . 什么理由?文章用了“显然”两个字,没有多说,我们理解“巧合”是指“ c 的系数 2 恰好为 b 的系数 2 的平方” ,所以,在例 2 中把 c 的系数“2”改为“3” ,使“ x ? ?

2 恰 2

好是该方程的根”不成立. (提出一个破坏“巧合”的反例) 命题 2:解法 2 对例 2 “失效了” . 有什么根据呢?文[1]没有说.我们估计,会不会是稍为试做了一下没试出来,于是就 认为:构造方程的解法 2 只能解个别的题目(如例 1) ,变一下数字(如例 2)就解不了. 这两个看法有逻辑关系:由于例 2“失效了” ,所以解法 2“缺乏普遍性” 、 “显然是一 种巧合” .在这里,作为一个反例的命题 2,是命题 1 的重要论据. 我们认为,这两个看法都存在逻辑上的可靠性问题. 1.文[1]没有提出任何理由就说解法 2 对例 2“失效了” ,存在“把不会做当不能做”的 现实危险.例 2 真的不能用“构造方程的方法”来求解吗? x ? ?
2

2 不是这一方程 2

2 ( ax ? bx ? c ? 0 )的根,会不会是另一方程(如 ? a ? c ? x ? bx ? c ? 0 )的根呢?我们

对学生的测试表明,答案是肯定的,读者不妨动笔试一试. 2.即使例 2 真的被证实“失效”了,也不足以说明对例 1 的解法 2 处理就是“缺乏普 遍性” ,任何方法都不是万能的,构造方程(解法 2)有适用范围(当 a, b, c 为复数时,方 程有实数根也得不出判别式非负) ,基本不等式(解法 1)也有适用范围.比如,用解法 1 来处理例 2,当 ac ? 0 时,把

2b ? 3c ? 1 变为 2b ? a ? 3c 后,还能用基本不等式得出 a

a ? 3c ? 2 3ac 吗?我们能由此说解法 1 对例 2“失效了”吗?能由此说解法 1“缺乏普遍
性”吗? 3.再退一步说,即使是一种“巧合”的、 “缺乏普遍性”的解法,那么,它还可不可 以有自己的存在价值与存在空间?既然, “病题”与“错解”都能是很好的课程资源,那么, “奇思异想”至少还不是“病” 、也没有“错”吧.再说了,作为数学的解题与作为教育的 解题本来就是“既有联系又有区别”的,作为数学的解题没有禁区! 4.更重要的是,数学解题除了“演算操作”之外,还有没有“内容转化”?是沟通它 们的联系、吸收双重优势好,还是互为对立、水火不相容好? 下面,我们就这些相关问题摆事实、讲道理.

3.6.2

案例的分析——失效的论据

3.6.2.1 构造方程真的失效了吗? 大家都知道,根据基本概念“方程根的定义” , a ? b ? c ? 0 可以看成方程

ax2 ? bx ? c ? 0 ,
或 或

bx2 ? cx ? a ? 0 , cx 2 ? ax ? b ? 0

等,有实根 x ? 1 .因而把

2b ? 2c ? 1 变为 a


2c ? 2b ? a ? 0
后,就可以看成是方程

cx 2 ? bx ? a ? 0
有实根 x ? ? 2 .为了让分母不为零( a ? 0 )的隐含条件直接保证方程必定为二次方程, 可以把③变为

? ? ax 2 ? 2bx ? 2c ? 0, ? ? ? x ? 1,


? x2 ? 2 b x ? 2 a? c 0, ? ? ? ? x ? a,



? ax 2 ? bx ? c ? 0, ? ? 2 , ?x ? ? ? 2

这应该就是例 1 解法 2 的由来.这种想法无非是 (1)由等式看到了方程; (2)由已知数看到了未知数的取值; (3)由不等式看到二次方程的判别式非负. 然后,用“二次方程有实数根则判别式非负”的现成结论去说明题目的内容实质(也揭 示题目的编拟由来) .这些想法迁移到例 2 没有知识上的困难,无非是方程的系数作点微 调.在《数学解题论》课堂上,我们曾(在讲解完下述例 4 之后,见例 2-23)作为思考题, 提出能否也用构造方程的方法求解例 2,下课时学生提交了 3 个解法,即下面的证明 1(有 默认 c ? 0 的小漏洞) 、证明 2(讨论了 a ? c ? 0 ) 、证明 3(讨论了 ac ? 0 ) ,学生的表现说 明“这种方法失效了” 与事实不符. 证明 1 由

2b ? 3c ? 1 ,有 a


2c ? 2b ? ? a ? c ? ? 0 .
当 c ? 0 时, b ?

a ? 0 ,有 b2 ? 0 ? 4ac ,结论已成立. 2

当 c ? 0 时,由④知二次方程

cx2 ? bx ? ? a ? c ? ? 0 有实根 x ? ? 2 ,从而判别式非负,有 b2 ? 4c ? a ? c ? ? 0 b2 ? 4ac ? 4c2 ? 4ac . 得 2 综上得 b ? 4ac . b 2 ? 4ac 中的等号是不能取到的, 说明 1 由上面的证明可以看到, 等号是 “结论虚设” . 说明 2 由上面的证明没有用到“ a, b, c 为正数”还可以反思:例 1 中“ a, b, c 为正数” 是“条件多余” . (解法 2 证例 1 时本来就不需要“ a, b, c 为正数” ) 说明 3 如果让例 2 还保留“ a, b, c 为正数” ,则 c ? 0 的讨论自动取消.
证明 2 由

2b ? 3c ? 1 ,有 a

2

a?c 2 ? b ?c ? 0. 2 2
当 a ? c ? 0 时,由⑤知二次方程

当 a ? c ? 0 时,有 ac ? 0 且 b ? 2c ? ? 2a ? 0 ,得 b ? 0 ? 4ac ,结论已成立.

? a ? c ? x2 ? bx ? c ? 0
有实数根 x ? ?

2 ,从而判别式非负,有 2

2

得 说明 1 说明 2

b2 ? 4 ? a ? c ? c ? 0 , b2 ? 4ac ? 4c2 ? 4ac .
对⑥式讨论 c ? 0 与 c ? 0 ,仍可得出 b ? 4ac .

如果例 2 还保留“ a, b, c 为正数” ,那与例 1 的解法 2 书写就更加一致了.
2

证明 3 当 ac ? 0 时,显然有 b ? 0 ? 4ac . 当 ac ? 0 时,由

2b ? 3c ? 1 ,有 a

a ? 2b ? 3c ? 0 ,
这表明,二次方程

ax2 ? 2bx ? 3c ? 0
有实根 x ? 1 ,得判别式非负 得

2b ? 4a ? 3c ? ? 0 , 2 b ? 4ac ? 2ac ? 4ac .
证明 4 由

? ?

2

2b ? 3c ? 1 ,有 a

a2 ? 2ab ? 3ac ? 0 ,

这表明,二次方程

x2 ? 2bx ? 3ac ? 0 2 有实根 x ? a .当 ac ? 0 时,显然有 b ? 0 ? 4ac ;当 ac ? 0 时,由判别式非负有

?



2b ? 4 ?1? ? 3ac ? ? 0 , 2 b ? 4ac ? 2ac ? 4ac .
2

?

2

如果不拘泥于构造二次方程,那么就还可以构造二次函数或二次不等式.如 证明 5 当 ac ? 0 时,显然有 b ? 0 ? 4ac . 当 ac ? 0 时,由

2b ? 3c ? 1 ,有 a

2c 2b c ? ?1 ? ? ? 0 , a a a
这表明,开口向上的抛物线

y?

c 2 b x ? x ?1 a a

经过 x 轴下方的点 ? ? 2, ?
2

? ?

c? ? ,因而图像与 x 轴相交,有判别式大于 0 a?

?b? ?c? 2 ? ? ? 4 ? ? ? 0 ? b ? 4ac . ?a? ?a?
还可以写出一些构造性的证法,不赘述.如果认为这些解法仍有“巧合”成分的话,那 么, 我们说这些证法还可以推出更一般性的结论, 在处理此类题目上都比解法 1 有较强的功 能. 例 3 已知 n ? m ? o , 证明 当 c ? 0 时, b ?

mb ? nc ? 1 ,求证 b 2 ? 4ac . a

a ? 0 ,有 b2 ? 0 ? 4ac ,结论已成立. m

当 c ? 0 时,由已知有 即

nc ? mb ? a ? 0 , 2 ? m2c ? mb ? ? ?a ? n ? m c ? ? 0

?

?

这表明,二次方程

有实数根 x ? ?m ,从而判别式非负,有 得

2 ? cx 2 ? bx ? ? ?a ? ? n ? m ? c ? ? 0

2 ? b 2 ? 4c ? ?a ? ? n ? m ? c ? ? 0

b 2 ? 4ac ? 4 ? n ? m 2 ? c 2 ? 4ac .

等号成立当且仅当 n ? m . 更多的证法不赘述. 说明 由上面的事实可以看到,构造方程的想法不仅有多种途径来证明例 2,而且还可 以作出推广(例 3) ,认为解法 2 对例 2“失效了” 、对例 1 是“一种巧合” 、 “缺乏普遍性”

值得商榷,其作为命题 1 的论据是“失效”的. 3.6.2.2 两种解法的对比分析 去掉了“解法 2 失效”的不实之词后,我们就可以用较为客观的态度来分析两种解法 及其在两道题目中的表现了. 1.例 1 的两种解法有相通的知识背景. 解法 1 的关键步骤是用基本不等式

a ? 2c ? 2 2ac ?

?

a ? 2c

?

2

?0,

可见其知识背景是“配方”及“实数的平方非负” . 解法 2 的关键步骤是用二次方程的判别式,表面上两者没有什么共同的地方,其实不 然,因为判别式就是对二次方程配方的结果.对方程

ax2 ? bx ? c ? 0, ? a ? 0?
两边乘以 4 a ,有



4a 2 x 2 ? 4abx ? 4ac ? 0 ,
两边加上 b 后,配方,有
2

b 2 ? 4ac ? ? 2ax ? b ? .
2



这个结果也可以由求根公式

x?

?b ? b 2 ? 4ac 2a
2

变形后平方得出.可见,判别式就是一个完全平方式 ? 2ax ? b ? ,在实数范围内能产生非负 数 (参见文[2]P.267 及文[3] ) . 因而, “二次方程有实根则判别式非负” 的知识背景也是 “配 方”及“实数的平方非负” ,解法 2 无非是在⑦中取 x ? ?
[1]

2 ,并直接由⑧得出 2

b2 ? 4ac ? 0 .若把二次方程配方的过程呈现出来(两边乘以 4 a ,两边加上 b2 等) ,则解
法 2 可以改写为: 解法 3

2b ? 2c ? 1 ? b2 ? 4 a c? a

?

. 2 a? b ?0

?

2



这就仅仅表现为演算操作了,再把⑨作改写

b 2 ? 4ac ?

?

2a ? b
2

?

2

a ? 2c ? ? a ? ? ? ? 2a ? ? 2c ? ? 0, ? ?? 2 ? ? 2 ? ?
又可得 解法 4 由已知有 b ?

2

2a ?

c ,平方,得 2

? a ? ? a ? b ?? ? 2c ? ? ? ? 2c ? ? 4ac ? 4ac . ? 2 ? ? 2 ?
2

2

2

[1]为了强调这一点,笔者编拟了 1992 年初中联赛选择题第 2 小题:若 x0 是一元二次方程 ax

2

?

bx ? c ? 0 ( a ≠ 0 )的根,则判别式 ? = b ? 4ac 与平方式 M ? (2ax0 ? b) 2 的关系是( (A) ? ? M (B) ? ? M (C) ? ? M (D)不确定
2



说明

由于 ?

a2 ? a ? ? 2c ? ? 0 ? ? 2c 2 ? 2 ac ,因而,解法 4 与解法 1 已经很接近 2 ? 2 ?

2

了,这再次说明两种解法确实有相同的知识背景,是可以沟通、而非天然对立的. (将解法 4 的配方替换为“基本不等式”就是下面的解法 5) 2.解法 2 比解法 1 用到较少的条件. 解法 2(包括解法 3、解法 4 及例 2 的多个证法)没有用到“ a, b, c 为正数” ,说明这是 一个多余的条件. 而解法 1 则紧紧依赖于 “ a, b, c 为正数” 的多余条件: 解法 1 中若没有 a , c 为正数,其第①式 a ? 2c ? 2 2ac 就不成立,特别地,当 ac ? 0 时,右边开方没有意义; 当 a ? 0, c ? 0 时, 右边开方虽有意义, 但左边小于右边. 又当 b ? 0 时, 第②式 2b ? 2 2ac 也不成立. 正是因为解法 1 依赖于多余条件“ a, b, c 为正数” ,所以,对去掉这个条件的例 2,就

立即出现障碍了,当 ac ? 0 时,把

2b ? 3c ? 1 变为 2b ? a ? 3c 后,无法用基本不等式 a

得出 a ? 3c ? 2 3ac ,如果这也算“失效”的话,那对例 2 首先“失效”的就应是解法 1 而非解法 2 了. 其实,把解法 1 的解题顺序交换一下,也能看出“ a, b, c 为正数”是多余条件,就是说: 先平方,后用基本不等式: 解法 5 由已知有

b?

a ? 2c , 2

平方

a2 b ? ? 2c 2 ? 2ac 2
2

? 2?

a ? 2c ? 2ac ? 4ac. 2

可见,用基本不等式照样可以去掉“ a, b, c 为正数” ,从而可将例 1 精简为

例 4 已知

2b ? 2c ? 1 ,求证 b2 ? 4ac . a

这时,解法 2、解法 3、解法 4、解法 5 都直接有效,惟独解法 1“暂时失效” (可以变 通) ;对例 3 情况也是这样. 3.解法 2 比解法 1 有更大的变化余地. 解法 1 用到两正数的基本不等式( x ? y ? 2 xy ) ,将 a, b, c 局限为正数,而解法 2 不 仅没有这样的限制,而且将数字一般化为字母,这就提供了更宽广的舞台,可以写出不同的 方程、和方程解的不同取值,如
2 ? ?cx ? bc ? a ? 0, ? ? ? x ? ? 2, 2 ? ?cx ? bx ? a ? 0, ? ? ? x ? 2,

? ? 2cx 2 ? 2bx ? a ? 0, ? ? ? x ? 1.

? bx ? a ? 0 , ? 2cx 2 ? 2 ? ? ? x ? ?1.

? ax 2 ? bx ? c ? 0, ? ? 2 , ?x ? ? ? 2

? ax 2 ? bx ? c ? 0, ? ? 2 , ?x ? ? 2

?a 2 2 bx ? c ? 0, ? x ? ?2 2 ? x ? ?1, ?
? ? ax 2 ? 2bx ? 2c ? 0, ? ? ? x ? 1,

?a 2 2 bx ? c ? 0, ? x ? ?2 2 ? x ? 1. ?
? c? 0, ? ax 2 ? 2bx ? 2 ? ? ? x ? ?1,

? x 2 ? 2bx ? 2ac ? 0, ? ? ? x 2 ? 2bx ? 2ac ? 0, ? ? ? ? ? x ? a, ? x ? ? a,
等等,写法很多. 这样一来, 对于解法 1 的每个变形就都有机会根据其运算背景, 选择适当方程的判别式 来代替相应的基本不等式,从而表现出更大的变化余地.比如,根据解法 1 的运算可以有相 应的方程与判别式解法: 解法 6 由

2b ? 2c ? 1 ,有 a

a ? 2b ? 2c ? 0 ,
这表明二次方程

ax2 ? 2bx ? 2c ? 0

有实根 x ? 1 ,从而判别式非负

? 2b?


2

? 4 ? a ? ? 2c ? ? 0 ,



b 2 ? 4ac .

说明 此处的最后两行,正是用“判别式”替代解法 1 中的“基本不等式” ,⑩式的运 算与①、②的运算类似. 还要指出,这里体现了构造的思想和方程的观点,文[4](P.81)说: “构造思想和转化 思想是数学中的两大基本思想, 这是由数学和数学方法的本质所决定的. ” 我们不是常说 “数 学思想方法的教学”吗?现在,有一个构造与转化的机会我们为什么要“叶公好龙” 、反被 “龙”给吓坏了呢? 3.6.3 事实与启示 由上面的分析我们可以得到一些基本的事实,从而获得一些有益的启示. 1.细节决定成败,态度影响解题. 除非文[1]提供论证,否则还不能承认文[1]提出的命题 1、命题 2 为真命题.事实正好 相反,构造方程的想法不仅有多种途径证明例 2,而且还可以作出推广(例 3) .那么,文[1] 为什么会得出命题 2 呢?我们有下面的 4 步分析: (1)把一个方法从例 1 用到例 2 的知识基础没有障碍,因而障碍只能在非智力因素上. (2)我们看到,文[1]对解法 2 在例 1 中的评价是比较消极的( “巧合”而已) ,用解法 2 处理例 2 时也就难免带有消极情绪的预期, 稍为试做了一下没试出来 (我们估计试做没有超 过 25 分钟,因为在《数学解题论》课堂上,学生想出解法没有超过 25 分钟) ,于是就认为 “失效了” ,这时,心理上的情绪就转化为逻辑上的疏忽——把“不会”当作“不能”了(参 见例 1-15,例 1-25 等) .其实,从例 1 到例 2 的迁移,只不过是方程系数上的调整,没有技 术上的多大困难,倒是“细节决定成败” . (3)“心理上的情绪”还使得文[1]对解法 1、解法 2 采取了双重标准.本来,两正数的 基本不等式 x ? y ? 2 xy 依赖于 x , y 为正数(至少非负) ,去掉这个条件结论不成立,这是 “显然”的,但在文[1]中变得“不显然”了,只字不提解法 1 对例 2(去掉“ a, b, c 为正数” ) 失不失效;相反,解法 2 对例 2“失效”是“不显然”的,但在文[1]中却变得“显然”了.这 种“显然”与“不显然”的颠倒说明:态度影响解题. 波利亚说: “认为解题纯粹是一种智 能活动是错误的;决心与情绪所起的作用很重要. ”他强调说: “教学生解题是意志的教 育. ??如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐, 那么他的数学教育就在 最重要的地方失败了. ” (见文[5]P.92,P.93) (4)命题 2 的得出应与没看清“两种解法有相通的知识背景”有关,因而评述中将两种 解法人为对立起来了. 2.例 1 的两种解法各有自己的存在价值与存在空间. 例 1 的两种解法有相同的“配方”及“实数的平方非负”等知识背景,但却又表现出不 同的走向.为了得出 b ? 4ac ,解法 1 更注重形式上的一致,把条件中字母的指数从一次
2

上升成二次,把条件中的等式放缩成不等式,表现为思维比较具体的演算操作;解法 2 更注 重内容上的转化,由条件中的等式看到了方程,由条件中的已知数看到了未知数的取值,由 结论中的不等式看到了二次方程的判别式非负, 表现为思维比较跳跃的推理, 从系统论的角

度看来,这是使系统开放, 并为静止、 孤立的状态设计一个更为生动,更为广阔的过程. (参 见文[2]P.185) 如同大家所看到的,在方程观点之下,用“二次方程有实数根则判别式非负”的现成 结论代替恒等变形与放缩技巧, 两句话就完成了解题, 直接由条件到达结论. 在这里, 乘方、 配方以及放大缩小等操作的节省,使得思维链被简约,解法显得干净,解题长度也稍为短一 些.假若不是解法 2 比解法 1 有更短的解题长度,相信也没有人会说解法 2“巧合” . 如果把解法 2 对解题长度的节省,比作中间没有停站的直通车的话,那么解法 1 就是 站站皆停的市内公交车了,当然,直通车省时,但不便于中途上下的群众,文 [1]的态度是 非议直通车,我们的看法是两种方式都应有自己的存在价值与存在空间,就是说,在解题中 应把形式与内容结合起来思考、把演算操作与内容转化配合起来推进,沟通它们的联系,吸 收双重优势.反之,用一种解法去非议另一种解法,制造人为的对立,恰好说明不知道它们 之间有内在联系,也是在问题解决所固有的多样化面前“作茧自缚” . 当然,不同解法的教育价值可以有大有小、存在空间也可以有宽有窄,不过,这可是 因题而异的,对于 A 类题,可能这种方法比那种方法价值更大、空间更宽,而对于 B 类题 又可能情况恰好相反.我们说解法 2 比解法 1“有更短的长度” 、 “更强的功能” 、 “用到较少 的条件” 、 “有更大的变化余地”等都是对本文的题目而言的,换一类题目“基本不等式”完 全可以比“构造二次方程”更方便. 3.解题研究无禁区,解题教学有范围. 解题研究与解题教学是密切相关而又有不同价值取向的两个问题,对教师自己的解题 而言,没有什么不可以研究的,面越宽越好,度越深越好,常规的解法与特殊的解法,简单 的解法与麻烦的解法,初等的解法与高等的解法,正确的解法与错误的解法等等,教师都可 以去做,去体验,各个解法也都有其存在的价值.但解题教学却是有范围限制的,哪些解法 可以用于课堂、用到什么程度等等,都必须根据《数学课程标准》的要求和学生实际作出选 择; 我们不要因为课堂只能容纳一二个解法而非议教师找出了一二十种解法, 教师也不要把 一二十种解法全都搬到课堂上来、反让学生连一种解法都掌握不了;有时候,一道例题的特 殊数据(或特殊结构)会导致一个特别简单的解法,教师可以把自己的新发现拿到刊物上去 发表,而是否进入课堂则要具体分析. (这个看法我们在文[6]中表达过) 就本文而言,题目及其各种解法都有独立存在的价值.但是,题目本身是否进入课堂、 哪些解法更适合你的课堂等等,却要根据学校与课堂的实际区别对待.值得注意的是,在倡 导课堂开放、课堂民主的今天,如果我们放开让同学们去探索本文的有关题目,那学生不仅 会提出类似的解法,而且有可能提出更多的解法,当然,还可能有学生指出例 1 中“ a, b, c 为正数”是“条件多余” ,例 2 中 “ b ? 4ac ”中的等号是“结论虚设” .这就不是教师的
2

研究进不进课堂,而是平常的知识积累够不够用的问题了(书到用时方恨少) . 我们既不要以“教学要求”来限制教师的研究,也不要把教师的研究照搬到课堂. 4.加强数学观对数学解题指导的研究. 数学观对数学解题有指导作用,静态数学观对数学解题的指导更多的表现为“记忆事 实——运用算法——执行记忆与经验得来的操作——得出答案” ,而动态数学观对数学解题 的指导更多的表现为“解题是数学内容(概念、公式、定理、法则等)与数学方法的相互作 用,和关系的重新建构,是人类的一种创造性活动” . 本案例启示我们,应该研究:数学观 对解题观有哪些影响?数学观又是如何影响解题观的、其心理机制如何?等等. 5.加强数学解题的实证研究. 不仅文[1]提出的两个命题值得商榷,就目前的实际情况而言,解题研究所获得的认识

大都是“经验之谈” ,很少经过实证,近年的学位论文作了一些实证,但也是有适用范围的, 所以,不管是谁说的话,都只有相对意义上的合理性,都应该接受理论的拷问与实证的检 验.麻雀会不会数数要由事实说话. 同样,笔者个人对数学解题的认识与实践(包括本文在内) ,虽然不无个案的支持,但 还缺少广泛的实证,虽然能找到相关理论的一些说明,但主要还是有待提升的经验.我们更 愿意将其看成实验假设,并期待广大教师去实证相关的分析(包括纠正当中的解题愚蠢) . 总之, 我们千万不要把数学教育的结论看成是童年时任从摆弄的玩具娃娃, 千万不要把 连自己都尚未说服的看法作为能被大家接受的结论. 数学教育的结论要提供理论依据和实证 支撑,要能说服自己、说服朋友、说服论敌.

参考文献 1 李祎.数学解题应力求简单、自然——读“解题研究”一书有感 ? J ? .数学通报,2006, 10. 2 罗增儒.数学解题学引论 ? M ? .西安:陕西师范大学出版社,1997.
2 3 罗增儒.判别式的整体结构: b ? 4ac ? ? 2ax ? b ? 2

? J ? .中等数学,2004,6;2005,1

4 欧阳维诚.张垚.肖果能.初中数学思想方法选讲 ? M ? .长沙 湖南教育出版社.2000. 5 波利亚.怎样解题(阎育苏译) (M) .科学出版社.1982. 6 罗增儒.教育叙事:数三角形的认识封闭及其突破 ? J ? .中学数学教学参考(下半月) , 2007,4.

第7节

明确知识的认识封闭现象

案例 7:明确知识的认识封闭现象 在掌握了相关知识的前提下,却出现了该知识缺失的解题失误,这是我们新近关注的 一个现象,姑且称为“明确知识的认识封闭” .后来一回想,这还有一定的普遍性,因为很 多学生在恍然大悟后都常说: “不是不知道,而是没想到. ”因而,也可以说,这一认识封闭 现象早就向我们提出学术挑战,而我们却“视而不见”——这又是一种认识封闭现象. 本文仅就一个方程问题所表现出来的认识封闭进行揭示与剖析.

3.7.1 认识封闭现象的呈现
由于我们在解题实践中一再体会到, 分析典型例题的解题过程是学会解题的一个有效途 径,因而,我们经常进行解题过程的专业分析,经常进行“怎样学会解题”的自觉积累,正 是在这个分析活动中,我们遇到了一个认识封闭现象.让我们从头说起. 3.7.1.1 解题案例的分析 2006 年 11 月,在与本科高年级学生一起学习《数学解题论》选修课程时,我们分析了 下面一个解题案例. 1.题目及其解法: 例 1 解方程 解

1 ? 3? x ? 3. (取自 1992 年高考填空题) 1 ? 3x
① ② ③

?x 1? 3 ? 3 ? ?3 x 3 ? 3 ? 3 x ? 2 ? 3? x ? 0 . x x 两边乘以 3 ,得关于 3 的二次方程 3 ? (3x ) 2 ? 2 ? (3x ) ? 1 ? 0 ? (3 ? 3 x ? 1)(3 x ? 1) ? 0, x 两边除以 3 ? 1 ? 0, 得 3 ? 3 x ? 1 ? 0 ? x ? ?1 .

两边乘以 1 ? 3x ? 0, 得

2.分析解题过程. 是的,这是一个很常规的解法,检验知答案也是对的,然而,在得出这个答案之后,我 们还收获了什么新的认识呢?如果我们只是收获“ x ? ?1 ” ,那就是“进宝山而空还” . 下面, 让我们通过解题过程的分析来获得题目结构及其解法的更多理解, 分析从解法的 “整体分解”开始,可以得到3个步骤: (1)运用同解原理处理分母(化整) ,将原方程化为①式; (2)运用同解原理处理负指数(消元) ,将原方程继续化为二次方程②式; (3)分解降次,归结为解简单指数方程③式,得 x ? ?1 . 这就显化了原解法的思维过程,其中特别值得注意的是,第( 1 )步方程两边乘以

3x ? 1 ? 0 与第(3)步方程两边除以 3x ? 1 ? 0 会不会是多余的思维回路?由于第(1) 、 (2)

两步的运算没有依赖关系,完全是独立的,因而,交换解题顺序(搁置第(1)步) 、先进行 第(2)步应该不违反逻辑规则,让我们尝试对方程两边乘以 3 ,有
x

3 x (1 ? 3? x ) ? 3 ? 3 x ? 1 ? 3 x ?1 , x 1? 3
用同底比较或两边取对数都可以立即得出方程的解.



可见,第(1) 、 (3)两步的思维回路是可以消除的,解题顺序的调整还真影响解题长度 (见文[1]) .并且,尝试的结果向我们展示了原方程左边结构上的一个特点,即分子、分母 x ?x 有相同的非零因式,可以相约;而导致相约的一个关键运算是 3 ? 3 ? 1 ,据此,原解法的 第(2)步也可以通过相反的运算替换为方程的左边自行化简,有 左边=

1 ? 3 ? x 3 ? x (3 x ? 1) ? ? 3? x , (分子提取后约分) 1 ? 3x 1 ? 3x





左边=

1 ? 3? x 1 ? 3? x 1 (分母提取后约分) ? ? x. x x ?x 1? 3 3 (3 ? 1) 3
x



再一想,设 y ? 3 ? x (或 z ? 3 ) ,代入原式消除指数上的差异(亦即消元) ,也有同样 的效果(参见新解法 2) . 于是,上面的简单分析已经颠覆了原解法的全部 3 个步骤,并可获得诸多收获,我们称 为开发出“解题智慧” (其反面是存在“解题愚蠢” ). 3.主要收获. (1)通过解题思维过程的结构分析,弄清了题目是怎样解的,化简是怎样进行的,运 用了什么原理,使用了哪些方法,哪些地方体现了消元降次的基本数学思想. (2)通过解题分析,找出了一个多余的思维回路.即第(1)步方程两边乘以 3 ? 1 ? 0
x x 与第(3)步方程两边除以 3 ? 1 ? 0 是可以删除的,由④直接解出 x ? ?1 ,解题长度将大

幅度缩短. (3)通过交换解题顺序,揭示了这个具体方程的特殊结构.从试题编制的角度,可以 将④、⑤、⑥理解为:由已知方程 3
?x

? 3 出发,让左右两边分别乘以

1 ? 3x ? 1 ,得 1 ? 3x

3? x

1 ? 3x 1 ? 3? x ? 3 ? ? 3. 1 ? 3x 1 ? 3x
?x

1 ? 3x ? 32 x ? 更一般地,让 3 ? 3 左右两边分别乘以 1 ? 3x ? 32 x ?
广)

? 3nx ? 1 ,则得方程(个数推 ? 3nx

1 ? 3x ? 32 x ? 1 ? 3x ? 32 x ?

? 3? n?1? x ? 3? x ? 3. n ?1 x ? 3? ? ? 3nx

这样,我们对方程的内在结构就看得更透了. (4)通过删除多余的思维回路、或作运算关系的转换,可以得出更接近问题深层结构

的新解法.就是说,不仅第(1) 、 (3)两步的回路可以删除,而且第(2)步本身也可以替 换,先化为二次方程再降次亦是多余的,一步到位就能化成简单指数方程.如(途径很多, 只写两个) 新解法 1 分子提取 3 ,原方程即
?x

3 ? x (3 x ? 1) ? 3 ? 3 ? x ? 3 ? x ? ?1 . 1 ? 3x
新解法 2 消除负指数,原方程即

1?
评析

1 3 x ? 3 ? 1 ? 3 ? x ? ?1 . 3x 1 ? 3x

这些新解法隐去了原解法的全部三个步骤, 简单得心算就可以完成, 但是新解法

确实是源于原解法的专业分析.可以说,原解法更反映问题的一般性,而新解法则更体现题 目的特殊性,它们各有自己的价值取向,都有自己的存在空间.解题教学应该经历从原解法 到新解法的全过程,把“怎样解题”与“怎样学会解题”结合起来,过程与结果并重. 还要指出,如果说新解法 1 还有点技巧成分的话,那么新解法 2 已经具有一般性了.面
?x x 对方程问题,消元降次是一种通理通法的思考,对原方程统一未知数: F 3 ,3 ? 0 ?
x

G ? 3 ? ? 0 ,标准化为 3 或 3 的一元方程,正是消元思想的运用.一般情况下,本来还应
?x x

?

?

该有后续的去分母步骤,但本例的特殊地方是恰好分子分母约分了,也就是“降次”的过程 被自动完成了(原解法是分为第(1) 、 (3)两步骤来完成的) ,因此,新解法 2 可以认为是 一般性与特殊性的自然结合.这个事实告诉我们,消元降次的不同途径与不同顺序,将导致 解题的不同长度. 这个简单例子能帮助我们树立学数学的信心, 即使我看不出分子分母能约分, 我也有机 会通过解题过程的分析而更接近问题的深层结构; 即使我很笨, 我也有机会通过解题过程的 分析而学会聪明,并且聪明是由自己习得的. 让我们继续扩大解题分析的成果. 3.7.1.2 认识封闭现象的出现 当我们继续把解题分析引向深入时, 注意到题目对数字 3 的依赖是非实质的, 把 3 改为 4,5,?,都有 x ? ?1 ,解题方法也完全一样,于是可得推广方程 例2

1 ? a? x ? a, (a ? 0) . 1? ax



然后,我们让学生解这个方程,原意也就是练习练习,估计大学生不会有什么问题.始 料未及的是(见表 1) ,交来的 50 份卷中,虽有 46 份都能由⑦正确得出

a ? x ? a 或 a x ?1 ? 1 ( a ? 0 ) ,



但只有 1 人完整讨论了“ a ? 1 时 x 为全体实数; a ? 0 且 a ? 1 时 x ? ?1 ” ,其余的人都基 本上只得出 x ? ?1 ,少数人还有书写或运算上的笔误. 表1 大学生求解推广方程

1 ? a? x ? a(a ? 0) 统计表 (50 人) 1? ax

没有讨论 a ? 1 (96%) 项 目 数据 得出 a ? 0 时 x ? ?1 人 数 42 百 分 比 84% 其 人数 6 它 百分比 12%

讨论 a ? 1 (4%) 得出 a ? 1 时 x ? R ; a ? 0 且 a ? 1 时 x ? ?1 人 1 数 百 分 比 2% 1 其 人数 它 百分比 2%

求解方程⑧,对于大学生没有任何知识障碍,同底比较或两边取对数都是掌握的,方程 含参变数时要分类讨论也是知道的, 1
?x

? 1 更是平凡的.因而,我们认定这是一个“明确

知识的认识封闭”现象,同义反复, “明确知识的认识封闭现象”是存在的. 这一认识封闭现象引起了我们的注意, 为什么 “准教师” 们会对方程⑧ “几乎全军覆没” 呢? 3.7.2 封闭认识成因的探析 3.7.2.1 现场的原因——心理暗示 为了探究这个认识封闭现象的成因, 我们在课堂上公布 “只有 1 人完整讨论了 a ” 之后, 现场提问学生为什么没有讨论 a ? 1 ?学生回答说,主要是受例 1 现成结论的诱导,没有多 想,就由 a ? 3 ,4,5,?时 x ? ?1 ,得方程⑦亦是 x ? ?1 . 这应该是心理因素在作祟, 即讨论例 1 的过程形成了一个心理暗示, 在这个心理暗示之 下: (1)将 a ? 3 ,4,5,?的特例推广到 a ? 0 时, “没有多想”一般化后会不会带来新的 情况,把明明白白要讨论 a

? a ( a ? 0 )的事情给覆盖了. (2)把“ x ? ?1 是方程⑦的解”当成“方程⑦的解是 x ? ?1 ” ,以充分条件代替充要条
?x

?x

件. 事实上,当 x ? ?1 时有 a 当a
?x

? a ;反之,

a ? 1, ??1, ? a 时,却 x ? ? ?任意实数, a ? 1,

而不仅仅是 x ? ?1 . 这些数学知识或逻辑知识对大学生也并不构成障碍,只要能想到,就一定能做对,因而 只能是:对明确的知识出现认识的封闭. 为了检验“脱离例 1 的诱导”是否仍规律性得出 x ? ?1 ,2007 年 1 月我们在中学生中 单独测试方程⑧,测试在两所中学(分属我省上、中等水平)的高三学生中进行.题目是: 例3 解关于 x 的方程 a
?x

? a(a ? 0) .

结果(见表 2)与我们课堂上“几乎全军覆没”的情况不同,有 64~78%(平均 71%) 的中学生都讨论了 a , 有的分为三种情况:0 ? a ? 1, a ? 1, a ? 1; 有的分为两种情况:a ? 0

a ? 1; 且 a ? 1, 当然, 有 20%的学生或者讨论不正确、 或者讨论不完整, 错误比大学生多. 如: a ? 1 时 x 有无穷解 a ? 1 时, x ?1, 0 ? a ? 1时x ? 1 , 或x ? 0; (而不是全体实数) , 或无解;
或 x ? 0;a
?x

? a x 等等.虽然部分学生的讨论有知识性错误,但两所学校的主流都表明,

1

脱离例 1 的心理暗示,讨论有一种倾向性的趋势,讨论是多数学生的自然选择.

表 2 中学生求解方程 a

?x

? a ( a ? 0 )统计表(A 校 101 人,B 校 120 人)
讨论 a ? 1 (71%) 得出 a ? 1 时 x ? R , a ? 0 且 a ? 1 时 x ? ?1 百分比 5% 3% 4% 人数 63 49 112 百分比 62% 41% 51% 16 28 44 其它 人数 百分比 16% 23% 20% 其它 人数 5 4 9

没有讨论 a ? 1 (29%) 项 目 西安 A 校 县城 B 校 合 计 得 出 a?0 时

x ? ?1
人数 17 39 56 百分比 17% 33% 25%

中学生脱离例 1 的心理暗示之后,仍有 29%的人“没有讨论 a ? 1 ” ,说明解方程⑧的 失误,还有“心理暗示”之外的原因. 3.7.2.2 原因再测试——思维定势 为了检查纠错效果,在一个多月后的期末考试中(2007 年 1 月) ,我们专门出了如下考 题: 例4 分析下题的求解过程,删去多余步骤,给出简化解法,作出一个推广.

题目:解方程 解

1 ? 3? x ? 3. 1 ? 3x

1 ? 3? x ? 3 ? 3 ? 3x ? 3 ? 3 x ? 2 ? 3? x ? 0 . x x 两边乘以 3 ,得关于 3 的二次方程 3 ? (3x ) 2 ? 2 ? (3x ) ? 1 ? 0 ? (3 ? 3 x ? 1)(3 x ? 1) ? 0, x 两边除以 3 ? 1 ? 0, 得 3 ? 3 x ? 1 ? 0 ? x ? ?1 .
统计的学生包括两部分,一部分进行过例 2 的纠错,另一部分是平行班、没有进行过 例 2 的纠错学习.结果是: (1)在原测试人中,有 12 人能正确推广并完整求解.多数推广都是(例 2) :

两边乘以 1 ? 3x ? 0, 得

a ? 1, ??1, 1 ? a? x ? a, (a ? 0) ,解得 x ? ? x 1? a ?任意实数, a ? 1.
少数推广还有:

a ? 1, ??1, b ? a? x ? a, ? a ? 0, b ? 0 ? ,解得 x ? ? x 1 ? ba ?任意实数, a ? 1,
? 1 a ? 1, 1 ? a ?bx ?? , ? a, ? a ? 0,b ? 0 ? ,解得 x ? ? b bx 1? a ? ?任意实数, a ? 1,
1 ? a? x ? a, (a ? 0, a ? 1) ,得 x ? ?1 . 等等 1? ax
也就是说,有 12 个人(占 50 人的 24%)已经突破了当初的心理封闭、注意到应作 a 是

否为 1 的讨论.与平行班相比(见表 3) ,这个数字是一个绝对的优势;但与我们的预期相 比,这个比例还是有点小,比中学生的正确讨论率也低得多(见表 2) . (2)除部分不能正确推广、或忘却推广者外(当初正确讨论的那个学生恰好“忘却推 广” ) ,更多的人仍是推广后停留在一个多月前的封闭认识之中,只得出 x ? ?1 : 多数推广为

1 ? a? x ? a, (a ? 0) ,得 x ? ?1 . (遗漏 a ? 1 的讨论) 1? ax

少数推广还有(遗漏更多,当 a ? 0 时,情况很复杂)

1 ? a? x ? a, (a ? 0) ,得 x ? ?1 . 1? ax 1 ? a?x ? a ,得 x ? ?1 等等. 1? ax
为什么这么多的人听过堂上的纠正之后还会“重复昨天的封闭”呢?只能说这种封闭 认识有顽固性. 经过访谈了解到,这种顽固性不是自发的,它受到“指数函数定义” 的影响. 当初讲指数函数 f ? x ? ? a 时,是在 a ? 0, a ? 1 的前提下定义的,久而久之,同学们
x

一见到指数式 a ,就默认 a ? 0, a ? 1 ,当然也就排除了 a ? 1 的情况,这应该是“指数函数
x

定义” 思维定势对方程讨论的影响. 其中有些同学还推广为下述⑨式, 专门限定 a ? 0, a ? 1 , 跟指数函数的定义完全一致. 中学生“没有讨论 a ? 1 ”并未受到心理暗示的影响,除部分学生是由于知识和能力不 足外 (特别是县城 B 校) , 很多学生也是囿于 “指数函数定义” 的思维定势, 认为自动有 a ? 1 , 或 a ? 1 时没有意义,所以有的中学生写上“ a ? 1 时方程无解” . 其实,规定“ a ? 0, a ? 1 ”主要是为了使指数函数 f ? x ? ? a 对 x ? R 有定义且存在反
x

函数,并不是 a ? 1 时不能运算(对部分实数 x ,当 a ? 0 时也能运算) ,而是这一极端情况 (成了常函数 y ? 1 ) ,已不具有指数函数的一般性质,也没有反函数( a ? 1 时 log a x 没有 定义) .函数与方程是既有联系又有区别的两个概念,对指数函数 y ? a x ,应有 a ? 0, a ? 1 的限制,而对方程 a ? a ( a ? 0 ) ,运算允许 a ? 1 . 由于当初(2006 年 11 月)课堂上的纠正没有针对这一原因的说明,一个多月后记忆又 逐渐淡漠,所以面对考题情景时(推广过程能形成心理暗示) , “指数函数定义”的原有认识 就又原封不动地被提取出来,产生“昨天封闭的重复” .这说明,在“认识到”与“消除掉” 之间仍有很多工作需要我们去做,这期间,其实是“正确与封闭并存的” . (3)在另一个 49 人的平行班中(见表 3) ,没有进行过例 2 的纠错学习,除 5 人或是 推广有问题、或是运算有笔误未作统计外,44 个人都只得出 x ? ?1 ,其中有 5 人推广为
?x

1 ? a? x ? a, (a ? 0, a ? 1) ,得 x ? ?1 , 1? ax



算是涉及到 a 的讨论,其余无 1 人讨论“ a ? 1 时 x 为全体实数” .这说明有 30 多人不同程 度的收到了例 1 的心理暗示、受到了“指数函数定义”思维定势的影响 . 表3 大学生求解推广方程

1 ? a? x ? a(a ? 0) 统计表 (44 人) 1? ax

没有讨论 a ? 1 (89%) 项 目 数据 得 出 a?0 时 其它 人数 3 百分比 7%

讨论 a ? 1 (11%) 得出 a ? 1 时 x ? R ; a ? 0 且 a ? 1 时 x ? ?1 人 0 数 百 分 比 0% 其它 人数 5 百分比 11%

x ? ?1
人数 36 百 分 比 82%

3.7.3 简要小结 这个方程问题的叙事与分析说明: 1.明确知识的认识封闭现象是存在的. 这表现在前后两次、两部分大学生都在求解推广题

1 ? a? x ? a, (a ? 0) 时,出现大面积 1? ax

的封闭认识,规律性地忘却讨论“ a ? 1 时 x 为全体实数” ,经过纠正,正确率也只提高到 24%. 这个现象导致了我们的一个思考:应该防止作为认知基础的情境、直观、特例等异化 为认知障碍. 2.心理暗示与思维定势是产生封闭认识的基本原因. 由表 4 可见,大学生虽然并不缺少相关知识,但只有个别人讨论、93%的人都没有讨论 a ? 1 ,而知识和能力都不如大学生的中学生,却有 71%的人能想到讨论 a ? 1(虽有 20%的 人没讨论好) .为什么知识少的能做到,知识多的反而做不到?我们认为,关键在于有没有 例 1 的诱导,对于大学生,例 1 的推广过程产生了心理暗示(原因 1) ,再加上“指数函数 定义”思维定势的推动(原因 2) ,知识明确也产生认识封闭;对于中学生,脱离了例 1 的 诱导,只受到“指数函数定义”思维定势的影响,讨论的比例就提高了(知识性失误也增加 了) . 表4 项 目 大学生与中学生回答问题对照表(大学生 94 人,中学生 221 人) 没有讨论 a ? 1 得 出 a?0 时 其它 人数 9 百分比 10% 讨论 a ? 1 得出 a ? 1 时 x ? R ; a ? 0 且 a ? 1 时 x ? ?1 人数 1 百分比 1% 6 其它 人数 百分比 6%

x ? ?1
人数 百分比 83%

大 学 生 解 78 推广方程:

1 ? a?x ?a 1? ax
( a ? o) 中 学 生 求 56 解方程: 25% 9 4% 112 51% 44 20%

a? x ? a (a ? 0)

3.正确与封闭并存的现象是存在的. 课堂的教学,学生虽然理性接受了,但原有的封闭认识并非就同步消除了,遇到类似 的情境时,封闭认识还会重复表现出来.这可以称为封闭认识的顽固性,其根源在于正确与

封闭可以并存.这听起来有点矛盾,但我们还是应该承认,并努力改变它. 这些事实对我们的传统认识是一种冲击, 至少是我们善良期待的一个挫折, 我们总认为, 知识的明确或正式的纠错可以消除认识的封闭, 而事实上这中间还有大量的工作需要我们去 做. 怎样消除明确知识在应用中的认识封闭值得研究, 怎样消除 “理性已接受、 行动仍依旧” 的矛盾现象值得研究. 以上叙事,虽然不无个案的支持,但还缺少广泛的实证,虽然已有理性的说明,但主要 还是感性的经验.我们更愿意将其看成实验假设,并期望一线教师去实证相关的课题.


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