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Smith 圆图—原理与分析


2-5

Smith 圆图
微波工程, 即传输线工程问题, 主要讨论 (最基本的运算是) 工作参数 ?, Z, ?

之间的数量关系和传输匹配问题――怎样传输得好,没有反射,而没有反射传输 就是匹配。一般是在已知特征参数 Z 0、? 和长度 l 的基础上进行。 Smith 圆图正是把特征参数和工作参数形成一体,用图论的方法解决工程

问 题。它是一种专用 Chart,自三十年代出现以来,已历经六十年而不衰,可见其 简单,方便和直观.

一、Smith 图圆的基本思想
Smith 圆图,亦称阻抗圆图。其基本思想有三条: 1. 归一化思想――特征参数归一化 特征参数归一思想,是形成统一 Smith 圆图的最关键点,它包含了阻抗归一和电 长度归一。
1 ? ?( z ) 1 ? ?( z ) Z (z ) ?1 Z (z ) ?1
l? 360 ? l

阻抗归一

Z (z ) ?

Z (z ) Z0

Z (z ) ? ?( z ) ?
2?

电长度(角度)归一

??

?g

?g

阻抗千变万化,极难统一表述。现在用 Z0归一,统一起来作为一种情况加 以研究。在应用中可以简单地认为 Z0=1。 电长度归一不仅包含了特征参数β ,而且隐含了角频率ω 。 由于上述两种归一使特征参数 Z0不见了;而另一特征参数β 连同长度均转 化为反射系数Γ 的转角。 ――什么阻抗都通用,什么波长都能用。 2. 反射系数Γ 作基底 ①以系统不变量|Γ |作为 Smith 圆图的基底――它是一个有限量,②在无耗 传输线中, |Γ |是系统的不变量,③Γ 是频率的周期量,以 ? 2 为一个周期。所 以由|Γ |从 0 到 1 的同心圆作为 Smith 圆图的基底,使我们可能在一有限空间表
1

示全部工作参数Γ 、Z(Y)和ρ 。
?( z ) ? ?l e ? j 2 ?z ?| ?l | e j (?l ?2? ) ?| ?l | e j?

θ 的周期是 1/2λ g。这种以|Γ |圆为基底的图形称为 Smith 圆图。 3. 套覆上 Z ? r ? jx ――――把阻抗(或导纳),驻波比关系套覆在|Γ |圆上。 这样,Smith 圆图的基本思想可描述为:消去特征参数 Z0,把β 归于Γ 相 位;工作参数Γ 为基底,套覆 Z(Y)和ρ 。

二、Smith 圆图的基本构成
1. 反射系数Γ 图为基底
i

向负载 r

0 0.3 0.6 1.0

向电源
图 7-1 反射系统Γ 图

反射系数图最重要的概念是相角走向。

?( z ) ? ?l e ? j 2 ?z
式中 z 是向电源的。因此,向电源是反射系数的负角方向;反之,向负载是 反射系数的正角方向。 2. 套覆阻抗图 已知
Z ? z? ? ? 1 ? ?? z ? ? 1 ? ?? z ? ?
(7-2)



??? z? ? ? ?r ? j?i ? ? ?Z ? z? ? ? r ? jx ?

且代入式(7-2),有
2

r ? jx ?

1 ? ??r ? j?i ? 1 ? ?r2 ? ?i2 2?i ? ?j 2 2 1 ? ??r ? j?i ? ?1 ? ?r ? ? ?i ?1 ? ?r ?2 ? ?i2

?

?

(7-3)

分开实部和虚部得两个方程

? 1 ? ?r2 ? ?i2 r? ? ?1 ? ?r ?2 ? ?i2 ? ? 2?i ?x ? ? ?1 ? ?r ?2 ? ?i2 ?

?

?

(7-4)

先考虑(7-4)中实部方程

?1 ? r ??r2 ? 2r?r ? ?1 ? r ??i2 ? ?1 ? r ?
?r2 ? 2r 1? r r2 ? r ? ?r ? ? ? ?i2 ? ? ? 1 ? r ?1 ? r ?2 ?1 ? r ?2 ?1? r ?
2

r ? 2r?r ? r?r2 ? r?i2 ? 1 ? ?r2 ? ?i2

得到圆方程
r ? ? ? 1 ? 2 ? ?r ? ? ? ?i ? ? ? 1? r ? ? ?1? r ?
2 2

(7-5)

1 ? r ? 相应的圆心坐标是 ? 。 ,0 ? ,而半径是 1? r ?1? r ?

圆心在实轴上。考虑到
r 1 ? ?1 1? r 1? r

电阻圆始终和直线 ?r ? 1 相切。 圆心坐标 r
?r ? r 1? r
?i ? 0

半径
? 1 ? ? ? ?1? r ?

0 1 2

0 1/2 2/3

0 0 0

1 1/2 1/3

虚部又可得到方程
2 (?r ? 1) 2 ? ?i2 ? ?i ? 0 x

也即

1? ?1? ? (?r ? 1) ? ? ?i ? ? ? ? ? x? ? x? ?
2

2

2

(7-7)

3

式(7-7)表示等电抗圆方程,其圆心是(1,

1 1 ),半径是 x x

x
?r ? 1

圆心坐标
?r ? 1 x

半径
1 x

0 ±0.5 ±1

1 1 1

∞ ±2 ±1

∞ 2 1

i

x1 = 感 抗 x1 = /2

i

1 r=

r=0

1 r=

2 r=
0

x0 = sh rte .c or d 容 抗

0

x = o e .c pn

r

图 7-2 等电阻图

图 7-3 等电抗图

x -1 = /2

x -1 =

3. 标定电压驻波比 ? 实轴表示阻抗纯阻点。因此,可由电阻 r 对应出电压驻波 比 ?。 4. 导纳情况
Y (z ) ? 1 ? ?( z ) 1 ? ?( z )

(7-8)

令 Y ? z? ?? g ? jb ,完全类似可导出电导圆方程
? ? 1 ? g ? ? ?r ? ? ? ?i2 ? ? ? ? ?1? g ? ? 1? g ? ? ? ?
2 2

(7-9)

其中,圆心坐标是(-

g 1 ,0),半径为 ?1 ? g ? 1? g
4



? 1 g ? ??? ? 1? g ? ? 1 ? 1? g ? ?

(7-10)

等电导图与直线 ?r ? ?1 相切。

i

纯电抗线
g

i

纯阻线

匹配点 r
0
(7-11)

g

1.0 1.5 2.0 电压波节 电压波幅
图 7-4 VSWR 的 Smith 园图表示

r

图 7-5

等电导园

也可导出电纳圆方程:

??r ? 1?2 ? ? ?i ? 1 ? ? ?
?

?1? ?? ? b? ?b?

2

2

1? ? 其圆心是 ? ? 1,? ? ,半径是 1/b b? ?

,也可对应画出等电纳曲线。

i b1 =

b0 = .5 容 纳

b = sh rte .c o d

0

b0 = o e .c pn 感 纳 b -0 = .5

r

图 7-6

等电纳圆

b -1 = 在很多实际计算时,我们要用到导纳(特别是对于并联枝节)。对比阻抗和导纳,
在归一化情况下,恰好是反演关系。

5

非归一情况
Y? z ? ? ? Z 02 Z ? z? ?

归一情况
Y? z ? ? ? 1 Z ? z? ?
Z in ? 1 Z ? z? ?

(7-12)

1 对应 ? g 阻抗变换 4

(7-13)

i

Z 0 Y
图 7-7 阻抗 Z 反演——导纳 Y

r

Smith 圆图是阻抗导纳兼用的。在作导纳圆图时,注意上半平面是容纳,下半平 面是感纳。由于 ? 面不变,所以短路和开路点不变。

三、阻抗圆图具有如下几个特点:
(1) 圆图上有三个特殊点:
~ ~ 短路点,其坐标为(-1,0)。此处对应于 R ? 0, X ? 0, ? 1, ? ? ?, ? ? ? ; ~ ~ 开路点,其坐标为(1,0)。此处对应于 R ? ?, X ? ?, ? 1, ? ? ?, ? ? 0 ; ~ ~ 匹配,其坐标为(0,0)。此处对应于 R ? 1, X ? 0, ? 0, ? ? 1

(2) 圆图上有三条特殊线: 圆图上实轴为 X=0 的轨迹,其中正实半轴为电压波腹点的轨迹,线上的值 即为驻波比的读数; 负实半轴为电压波节点的轨迹, 线上的 R 值即为行波系数 K 的读数;最外面的单位圆为 R=0 的纯电抗轨迹,即为 ? ? 1 的全反射系数圆的轨 迹。

6

(3) 圆上有两个特殊面: 圆图实轴以上的上半平面(即)是感性阻抗的轨迹;实轴以下的下半平面(即) 是容性阻抗的轨迹。 (4) 圆图上有两个旋转方向: 在传输线上 A 点向负载方向移动时,则在圆图上由 A 点沿等反射系数圆逆 时针方向旋转;反之,在传输线上 A 点向波源方向移动时,则在圆图上由 A 点 沿等反射系数圆顺时针方向旋转。
~ ~ (5) 圆图上任意一点对应了四个参量: X 、 R 、 ? 和 ? 。知道了前两个参量或后

两个参量均可确定该点在圆图上的位置。注意 R 和均为归一化值,如果要求它 们的实际值分别乘上传输线的特性阻抗。 (6) 若传输线上某一位置对应于圆图上的 A 点, A 点的读数即为该位置的输入 则
~ ~ 阻抗归一化值( R ? jX );若关于 O 点的 A 点对称点为点,则点的读数即为该位 ~ ~ 置的输入导纳归一化值( G ? jB )。

四、Smith 圆图的基本功能
1 2 3 4 已知阻抗 Z ,求导纳 Y (或逆问题) 已知阻抗 Z ,求反射系数Γ和ρ(或逆问题) 已知负载阻抗 Z L 和 ? ,求输入阻抗 Z in 已知驻波比和最小点 dmin ,求 Z in
i

[例 1] 已知阻抗 Z ? 50 ? j50, Z 0 ? 50 , 求导纳 Y

Z

1 2 0 Y 1 -j2
7

Y ?

1 ?1 ? j ? 2
Y ? 0.01?1 ? j ? Z0

r

反归一: Y ?

[例 2]

已知阻抗 Z ? 1 ? j ,求反射系数 ? 和 ?

i
利用等反射系数 ? 对系统处处有效。

0.088 ? 1+j

? ? 2.60
??

? ?1 ? 0.444 ? ?1

0.088 ? 360 0 ? 63.36 0 0.5 Note: 在计及反射系数Γ 相角时, 360°对

??

0

2.60

r

应 0.5λ 。即一个圆周表示二分之一波长。 [例 3]已知 Z l ? 100 ? j 50, Z 0 ? 50 ,点找 l ? 0.24? 求 Z in
i

Z i n

Z 00 = 5

Z00 l 1j =5 0 +

Zl
归一化 Z l ? 2 ? j1

2+j1 0.213
r

Zin
Z in ? 0.24 ? j 0.25
反归一:
Z in ? Z in Z 0 ? 21 ? j12.5?

0

0.453

向电源

[例 4]在 Z 0 为 50? 的无耗线上 ? =5, 电压波节点距负载 ?/3,求负载阻抗

i Zin

j1.48 0.33?

Z min ?

1

?

? 0.2

向 负 载 旋 转 0.33?

Z in ? 0.77 ? j1.48

Zm in 0.2 向负载
8

0.77 0 5.0 r

反归一:

Z in ? Z in Z 0 ? 38.5 ? j 74?

2-6 传输线的阻抗匹配
有人说过:什么叫微波工程,微波工程就是匹配。虽然有些片面,但它说明 匹配对微波工程是非常的重要。为什么?原因很简单:要系统调到最佳状态,要 负载获取最大的功率,唯一的办法就是匹配。它关系到系统的传输效率、功率容 量与工作稳定性, 关系到微波测量的系统误差和测量精度,以及微波元器件的质 量等一系列问题。 一、阻抗匹配概念 传输线与负载不匹配 传输线上有驻波存在 增加传输线的衰减 如果信号源与传输线不匹配,不仅会影响信号源的频率和输出的稳定性, 而且信号源不能给出最大功率。因此,微波传输系统一定要作到阻抗匹配。这里 的匹配概念分为两种:共轭匹配和无反射匹配。 (一) 共轭匹配 匹配的概念来源于低频,在低频中有一个最重要的定理叫最大功率传输定 理。 传输线功率容量降低

Zg

E

Zl

图 8-1

共轭匹配与最大功率输出定理

[定理]:如图系统,为了使负载获取最大(实)功率,只要负载满足
* Zl ? Zq

(负载共轭匹配)

(8-1)

此时,可达到电源最大功率输出,即资用功率 Pa
Pa ? max P ? 1 2 E g / Re ( Z g ) 8

(8-2)
Eg Z g ? Zl

证明: 系统由源和负载组成, 其共性的是电流。 根据 OHM 定律:I ?

9

假定: Z g ? Rg ? jX g

Z l ? Rl ? jX l
2

E g Rl 1 1 则负载上的实功率为: pl ? Re{I ? I * Rl } ? 2 2 ( Rg ? Rl ) 2 ? ( X g ? X l ) 2
要求:max(Pl) ① 希望:分母最小,可得到第一个条件
X g ? Xl ? 0

1 E g Rl ② 在 X g ? X l ? 0 条件下, pl ? 2 ( Rg ? Rl ) 2
希望:
dPl ?0 dRl

2

2 dPl ( R g ? Rl ) ? 2( R g ? Rl ) Rl ? ?0 dRl ( R g ? Rl ) 4

计及 R g ? Rl ? 0 则 R g ? Rl ? 0 综合以上两个条件,就有
* Z l ? Z q --------------------共轭匹配

它代表两个重要概念:①电磁能平衡(即电源如果是感性的,负载要是容性;相 反电源如果是容性的,负载要是感性,这样就能获得能量平衡。更重要的是反映 的系统和谐) 。②系统和谐:匹配了就和谐和,到谐振部分再讲。 本讲,我们要把上述定理推广到传输线问题中,即匹配在低频和高频都是共通 的,其核心是希望负载获取最大功率。 (二) 无反射匹配 无反射匹配是指传输线两端阻抗与传输线的特性阻抗相等, 线上无反射波存 在,即工作于行波状态。 无反射匹配包括传输线始端与信号源内阻匹配和传输线终端与负载阻抗匹 配。 当传输系统满足: Rg ? RL ? Z 0 时,可同时实现共轭匹配和无反射匹配。 信号源内阻为实数,此时传输线的始端无反射波,这种信号源称为匹配信 号源。
10

当传输线终端所接的负载阻抗为纯电阻时,则传输线的终端无反射波,此 时的负载称为匹配负载。 二、匹配网络的任务和原理 匹配网络是要解决一个根本性矛盾:我们要求系统匹配
* 事实上 Z l ? Z g 不匹配, 那怎么办呢? ,

就在源与负载之间加上一个网络----这个网络就是匹配网络。系统由两部分 组成变成由三总分组成:

Zg 匹配网络 E Zin mathing Net Zin Zl

Zin—广义负载,Z’in---广义电源 图 8-2 匹配网络的任务: ① 要使用系统匹配,负载获得最大功率 Pa ? max P ? ②自身不消耗功率——网络无耗互易。 进一步推广低频电路问题。现在有一匹配网络(它可以是传输线段,也可以 是任意的 Network。但满足无耗条件),处于电源与负载之间(如图所示) ,这时 就有匹配网络特性定理
* ? [ (匹配网络特性) 定理] 互易匹配网络无耗。 在系统匹配时,有 Z in ? Z g ,Z in ? Z l* * ? 反之,若 Z in ? Z g , Z in ? Z l* ,系统匹配,负载获得最大功率。

匹配网络

1 2 E g / Rg 8

其匹配原理是通过匹配网络引入一个新的反射波来抵消原来的反射波。 把匹配网络特性定理应用到最重要、最常用的场合: 如果网络就是一段特性阻抗为 Z0,长度为θ 的传输线,

11

Zg=Z0

E

Z0

Zl=Z0

图 8-4 那么要求系统最佳,即希望

阻抗匹配

?Z g ? Z 0 ,这时就实现了中间网络与源匹 ? ?Z l ? Z 0

配,中间网络与负载匹配。中间网络――这段传输线――给它一专门的名词:行 波匹配。全程都行波,没有反射。 可达到无反射的行波匹配。也分别称为电源和负载的阻抗匹配。 匹配网络特性定理,它把低频最大功率输出定理,中间隔了一个网络来解 决源与负载之间的不匹配问题。我们从现在要了解这个问题,解决矛盾是有一 定程度的,所谓行波在一般网络里面,在网络之前是行波,在网络之后不是行 波,只包括功率被负载最大地吸收。大家一定要了解,我们在后面还要讲解。

需要注意:①匹配与行波的关系:两者是完全不同的,可以这样说,行波是匹配 的,但匹配不一定是行波。②匹配的概念与匹配区域相关,匹配有匹配区和不匹 配区的分别。以后将清楚看到,在匹配区域外,实际上是存在反射波的。

三、阻抗匹配方法 阻抗匹配的方法就是在传输线与负载之间加入一阻抗匹配网络。 要求这个匹 配网络由电抗元件构成, 接入传输线时应尽可能靠近负载,且通过调节能对各种 负载实现阻抗匹配。 采用阻抗变换器和分支匹配器作为匹配网络是两种最基本的方法。 阻抗匹配大致分成两类:电阻性负载匹配和电抗负载匹配。 (一) 电阻性负载匹配―― ? 4 阻抗变换器 对象:Zl=Rl≠Z0 方法: ? 4 ,特性阻抗为 Z’0 的线 电阻性负载指的是 Zl=Rl≠Z0,最常见的是采用 ? 4 线匹配。? 4 阻抗变换 器是由一段长度为 ? 4 、特性阻抗为 Z 01 的传输线组成。
12

匹配区 Z0

匹配区外 Z0 ` Zl=Rl

主传输线

l/4
1 ? 匹配段 4
对应于 90 度

图 8-5
1 ? 4

当这段传输线终端接纯电阻 RL 时,利用行驻状态的输入阻抗公式,则输入 阻抗为
Z in ? Z 01
2 RL ? jZ 01tg?2? ? ? ? 4? Z 01 ? Z 01 ? jR L tg?2? ? ? ? 4? RL

因此, 要获得 ? 4 波长线的能够把不等于特性阻抗的负载电阻变成等于特性 阻抗, 中间一段匹配的传输线阻抗一定等于,Z 01 ? Z 0 RL , 或者说 Z in ? 这就是电阻性负载的匹配 即为了使实现阻抗匹配,必须使 Z in ? Z 0
Z 01 ? Z 0 RL
2 Z 01 ? Z0 RL

容易得到匹配段的特性阻抗

(二) 带电抗性负载匹配――分支匹配器 对象: Z l ? Re ? jX l
( Re ? 0)

这里的电抗性负载匹配指的是直接用传输线段和并联支节匹配带电抗性负 载(Note,不是纯电抗)。 分支匹配器的原理是利用在传输线上并接或串接终端短路或开路的分支线, 产生新的反射波来抵消原来的反射波,从而达到阻抗匹配。 分支匹配器又分为单分支、双分支和三分支匹配器。 1. 单分支匹配器 单分支匹配的原理如图所示。
13

B -j `= n` Yi
l
单枝节匹配 其中
rl ? 0

Yin=1

Yin`=1+jB d

Yl=Gl+Bl

图 8-7

匹配对象:任意负载 Z l ? rl ? jx l

方法(调节参数) :枝节距负载距离 d 和枝节长度 l。 思路:由结果 原因

分析枝节匹配的方法均采用倒推法——由结果推向原因。 另外,由于短路枝节并联,我们全部采用导纳更为方便。 所谓匹配,我们希望(结果要求) : 并联网络关系有 Yin
? ' ?Y in ? 1 ? jb ? ?Y "in ? ? jb ?

Yin ? 1.0 ? j 0

? Y ' in ? Y '' in

14

利用 Yl ? g l ? jbl 和系统的|Γ |不变性,沿等|Γ |圆转到 Y ' in ? 1 ? jb 。专门把
g ? 1.0 的圆称为匹配圆。

单枝节匹配通常有两组解。 [例 1]Z0=50Ω 的无耗传输线,接负载 Zl=25+j75Ω 采用并联单枝节匹配?

i 向电源 Zl Y1
0 0.192 匹配圆

0.0 0.6

r Y1`
0.308

Yl
0.412
1. 负载归一化 Z l ? 0.5 ? j1.5

2. 采用导纳计算 Yl ? 0.2 ? j 0.6 (对应 0.412)? 3. 将 Yl 向电源(顺时针)旋转,与匹配圆(g=1)相交两点 ??
Yl ? 1 ? j 2.2 Y l ? 1 ? j 2.2 (对应0.192 ) (对应0.308)

4. 求出枝节位置
?d1 ? (0.5 ? 0.412 ) ? 0.192 ? 0.088 ? 0.192 ? 0.280 (? ) ? ?d 2 ? (0.5 ? 0.412 ) ? 0.308 ? 0.088 ? 0.308 ? 0.396 (? )

5 ?短路枝节长度? 由于短路表示 Yl ? ? ,且是电抗,所以要看单位外圆,如图 8-9 所示。

15

i l2
0.182

Y1
0.0 0

0.25

Yl r Y1` l1 向电源

0.318

图 8-9
?l1 ? 0.318 ? 0.25 ? 0.068 (? ) ? ?l2 ? 0.25 ? 0.182 ? 0.732 (? )

共有两组解答,一般选长度较短的一组。

2. 双分支匹配器

刚才已经注意到: 单枝节匹配中枝节距离 d 是要改变的,为了使主馈线位置 固定,自然出现了双枝节匹配。 双枝节匹配网络是由两个可变并联短路枝节,中间有一个已知固定距离 d=1/8λ (个别也有 1/4λ 或 3/8λ )构成。 匹配对象:任意负载
Z l ? rl ? jxl (rl ? 0 )

方法(调节参数) :双枝节长度 l1和 l2 分析的方法同样采用倒推法,假定已经匹配,则

16

Yb ? 1.0 ? j 0 ?Y3 ? 1 ? jb2 ? ? ?Y4 ? ? jb2 ?
十分明显,Y3 在匹配圆轨迹。 通过传输线 ? / 8 (也即向负载方向转 90°), 构成 Ya 轨迹。(在双枝节匹配中, Ya 专门称为辅助圆)。
?Y1 ? g ? jb ? Yl ? ? ?Y2 ? ? jb ?

也即按等 圆旋转到辅助圆上,由此算出 Y2 ? ? jb 。
d= 8 l Yb Y4 l2 Y1 Y3 Ya Y2 l1 Yl
1

图 8-10

双枝节匹配

辅助圆

i Ya轨迹 匹配圆
0

r Y3轨迹

图 8-11 关于“死区”

双枝节辅助圆

17

双枝节的一个主要问题是,对于某些负载 Y1 无法匹配,即所谓“死区”问题。 具体若 d ? ? / 8 ,则 g l >2 一般地 3. 三分支匹配器 双分支匹配器存在的匹配死区,可采用三分支匹配器来消除,如图所示。其 调配原理与双分支相同,仅增加一个分支。
gl ≥

则无法匹配。 是“死区”。?

1 2 s i n ?d

18


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