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上海版(第04期)-2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编解析版10.圆锥曲线Word版含解析


一.基础题组 1.
【上海市长宁、嘉定区 2014 届高三 4 月第二次模拟考试数学(理)试题】已知抛物线

型拱桥的顶点距水面 2 米时, 量得水面宽为 8 米. 则水面升高 1 米后, 水面宽是____________ 米(精确到 0.01 米) .

2.

【上海市崇明县 2014 届高三高考模拟考试(

二模)数学(理)试卷】经过点 A (1, 0) 且 .

法向量为 n ? (2, ? 1) 的直线 l 的方程是

3. 【上海市崇明县 2014 届高三高考模拟考试(二模)数学(理)试卷】方程
表示焦点在 y 轴上的双曲线,则实数 m 取值范围是 .

x2 y2 ? ?1 m?2 4

2 4. 【上海市奉贤区 2014 届下学期高三二模数学试卷 (理科) 】 已知抛物线 y ? 20 x 焦点 F

恰好是双曲线 ________.

15 x2 y 2 ? 2 ? 1 的右焦点,且双曲线过点 ( , 3) ,则该双曲线的渐近线方程为 2 4 a b

5. 【上海市长宁、嘉定区 2014 届高三 4 月第二次模拟考试数学(理)试题】设 F1 、 F2 是
双曲线 C :

x2 y2 ? ?1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的 两 个 焦 点 , P 是 C 上 一 点 , 若 a2 b2

| PF1 | ? | PF2 |? 6a , 且△ PF 1F2 最小 内角的大 小为 30 ? , 则双曲 线 C 的渐近 线方 程
是???????????????????( A. x ? 2 y ? 0 B. 2 x ? y ? 0 ) C. x ? 2 y ? 0 D. 2 x ? y ? 0

6. 【上海市虹口区 2014 届高三 4 月高考练习(二模)数学(理)试题】抛物线 y2 ? ?8x
的焦点与双曲线

x2 ? y 2 ? 1的左焦点重合,则双曲线的两条渐近线的夹角为 2 a

.

【答案】 【解析】

? 3

7.

【上海市虹口区 2014 届高三 4 月高考练习(二模)数学(理)试题】椭圆

? x ? a cos ? 参数 ? 的范围是 0 ? ? ? 2? ) 的两个焦点为 F1 、F2 , 以 F1F2 为 (a ? b ? 0 , ? ? y ? b sin ?
边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,且 F 1F 2 ? 4 ,则 a 等 于 .

8.

【上海市闵行区 2014 届高三下学期教育质量调研(二模)数学(理)试题】若曲线

f ( x, y) ? 0 上存在两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线的自公切线,下列方
程的曲线有自公切线的是( (A) x ? y ?1 ? 0
2

) . (B) x ? 4 ? y ? 1 ? 0
2

(C) x ? y ? x ? x ?1 ? 0
2 2

(D) 3x ? xy ? 1 ? 0
2

考点:方程与曲线,曲线的切线.

9.

【上海市徐汇、金山、松江区 2014 届高三第二学期学习能力诊断数学(理)试题】设

圆 O1 和圆 O2 是两个相离的定圆, 动圆 P 与这两个定圆都相切, 则圆 P 的圆心轨迹可能是 ① 两条双曲线;②一条双曲线和一条直线;③一条双曲线和一个椭圆.以上命题正确的是 -( ) A.① ③ B.② ③ C.① ② D.① ② ③

三.拔高题组 1.
椭圆 ? : 【上海市长宁、嘉定区 2014 届高三 4 月第二次模拟考试数学(理)试题】已知

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 (2 2 , 0) ,且椭圆 ? 过点 (3 , 1) . a 2 b2

(1)求椭圆 ? 的方程; (2)设斜率为 1 的直线 l 与椭圆 ? 交于不同两点 A 、 B ,以线段 AB 为底边作等腰三 角形 PAB ,其中顶点 P 的坐标为 (?3 , 2) ,求△ PAB 的面积.

【答案】 (1)

9 x2 y 2 ? ?1 ; (2) . 2 12 4

所以

3m m ? 3 ? ? 2 ,解得 m ? 2 . 4 4
2

????????????????(5 分)

此时方程①变为 4 x ? 6 x ? 0 ,解得 A(?3 , ? 1) , B(0 , 2) ,所以 | AB |? 3 2 .

又 P(?3 , 2) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ? 所以△ PAB 的面积 S ?

| ?3 ? 2 ? 2 | 3 2 , ???(7 分) ? 2 2

1 9 | AB | ?d ? . 2 2

???????????????(8 分)

考点: (1)椭圆的标准方程; (2)直线与椭圆相交的综合问题.

2.
C1 :

【上海市崇明县 2014 届高三高考模拟考试(二模)数学(理)试卷】已知椭圆

3 x2 y 2 且其右焦点与抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点 F 重合, ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 M (1, ) , 2 2 a b

过点 F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于 P, Q 两点. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设 O 为坐标原点,线段 OF 上是否存在点 N (n, 0) ,使得 QP ? NP ? PQ ? NQ ? 若存在,求出 n 的取值范围;若不存在,说明理由; (3) 过点 P0 (4, 0) 且不垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A, B 两点, 点 B 关于 x 轴的对称点为 E , 试证明:直线 AE 过定点.

试题解析: (1)由题意,得: F (1, 0)

9 ? 2 ? 1 ? x2 y 2 ? 4 ?a ? 4 ? ?1 ; 所以 ? 2 ? 2 ? 1 , 解,得 ? 2 ,所以椭圆的方程为: a b 4 3 b ? 3 ? ? ? 2 2 ? ?a ? b ? 1

(1) 证明:设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 4), (k ? 0) ,代入

x2 y 2 ? ? 1 ,得: 4 3

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ?12 ? 0 ,
由 ? ? (?32k ) ? 4(3 ? 4k )(64k ?12) ? 0 ,得: k ? ( ?
2 2 2 2

1 1 , ) , 2 2

设 A( x3 , y3 ), B( x4 , y4 ), E( x4 , ? y4 ) ,则

32k 2 64k 2 ? 12 x3 ? x4 ? , x3 x4 ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
则直线 AE 的方程为 y ? y3 ?

y3 ? y4 ( x ? x3 ) , x3 ? x4

令 y ? 0 得: x ? ? y3 ?

x3 ? x4 x y ?x y x ? k ( x4 ? 4) ? x4 ? k ( x3 ? 4) ? x3 ? 3 4 4 3 ? 3 y3 ? y4 y3 ? y4 k ( x3 ? x4 ? 8)

?

2 x3 ? x4 ? 4( x3 ? x4 ) ? x3 ? x4 ? 8

2?

64k 2 ? 12 32k 2 ? 4 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? 1 , 32k 2 ?8 3 ? 4k 2

所以直线 AE 过定点 (1, 0) . 考点:椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系.

3. 【上海市奉贤区 2014 届下学期高三二模数学试卷(理科) 】如图,已知平面内一动点 A
4 2c (c ? 0) . 到两个定点 F 1 、 F2 的距离之和为 ,线段 F 1 F2 的长为
(1)求动点 A 的轨迹 ? ;

A 、C 两点,且点 A 在线段 F1F2 的上方, (2)当 c ? 3 时,过点 F 1 作直线 l 与轨迹 ? 交于
线段 AC 的垂直平分线为 m ①求 ?AF 1F 2 的面积的最大值; ②轨迹 ? 上是否存在除 A 、 C 外的两点 S 、 T 关于直线 m 对 称,请说明理由. 【答案】 (1)参考解析; (2)① 3 ;②参考解析 【解析】

A

F1

F2

C

m

试题解析: (1) 当 4 ? 2c 即 0 ? c ? 2 时, 轨迹是以 F 1 、F2 为焦点的椭圆 分 当 c ? 2 时,轨迹是线段 F1F2 当 c ? 2 时, 轨迹不存在

3

4分 5分

②结论:当 AC ? F1F2 时,显然存在除 A 、 C 外的两点 S 、 T 关于直线 m 对称 下证当 AC 与 F1F2 不垂直时,不存在除 A 、 C 外的两点 S 、 T 关于直线 m 对称

11 分 12 分

直线 m 的斜率为 ?

1 1 ? ? ,则假设不成立, 4k k

故此时椭圆上不存在两点(除了点 A 、点 C 外)关于直线 m 对称

16 分

考点:1.点的轨迹问题.2.椭圆的性质.3.直线与椭圆的位置关系.3.对称性的应用.

4.【上海市虹口区 2014 届高三 4 月高考练习 (二模) 数学 (理) 试题】 如图, 直线 l : y ? kx ? b
与 抛 物 线 x2 ? 2 py ( 常 数 p ? 0 ) 相 交 于 不 同 的 两 点 A( x1 ,

y1 ) 、 B( x2 , y2 ) , 且

,线段 AB 的中点为 D ,与直线 l:y ? kx ? b 平行的切线的切点 x2 ? x1 ? h ( h 为定值) 为 C (不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线, 这个公共点为切点) . (1)用 k 、 b 表示出 C 点、 D 点的坐标,并证明 CD 垂直于 x 轴; (2)求 ?ABC 的面积,证明 ?ABC 的面积与 k 、 b 无关,只与 h 有关; (3)小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后,小张连 AC 、 BC ,再作与 AC 、 BC 平 行的切线,切点分别为 E 、 F ,小张马上写出了 ?ACE 、 ?BCF 的面积,由此小张求出了 直线 l 与抛物线围成的面积,你认为小张能做到吗?请你说出理由.

【答案】 (1) C ( pk , 【解析】

pk 2 ) , D( pk , 2

(2) pk 2 ? b) ,

h3 , (3)能. 16 p

试题分析: (1)因为 D 点为直线与抛物线的交点 A,B 中点,所以求 D 点坐标就根据直线方 程与抛物线方程联立方程组,利用韦达定理求解,即由

? y ? kx ? b ? x 2 ? 2 pkx ? 2 pb ? 0 ,得 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 ? x2 ? ?2 pb ,点 ? 2 ? x ? 2 py
D( pk , pk 2 ? b) .因为 C 点为切点,利用切线方程与抛物线方程联立方程组后的判别

(本小题也可以求 AB ? 1 ? k 2 ? h ,切点到直线 l 的距离

pk 2 ? d?

pk 2 ?b 2
2

1? k

?

h2 8p 1? k
2

,相应给分)

5.

【上海市黄浦区 2014 年高考模拟(二模)数学(理)试题】已知点 M ( x, y ) 是平面直

角坐标系上的一个动点, 点 M 到直线 x ? 4 的距离等于点 M 到点 D(1, 0) 的距离的 2 倍. 记 动点 M 的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程; (2)斜率为

1 3 的直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两个不同点,若直线 l 不过点 P (1, ) ,设直 2 2

线 PA 、PB 的斜率分别为 k PA、k PB ,求 k PA ? k PB 的数值; (3)试问:是否存在一个定圆 N ,与以动点 M 为圆心,以 MD 为半径的圆相内切?若 存在,求出这个定圆的方程;若不存在,说明理由.

设存在这个定圆 N 与动圆 M 内切, 则圆心距 MN 为两圆半径之差, 从而 MN 与两圆中的 某个圆的半径之和或差为定值(定圆 N 的半径) ,由于点 D 是椭圆的右焦点,这时联想椭 圆的定义,若 N 是椭圆的左焦点,则就有 MN ? MD ? 2a ? 4 是常数,故定圆是以

N (?1, 0) 为圆心,4 为半径的圆.

6.

【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区 2014 高考模拟(理科)数学】已知椭圆

x2 y 2 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的 右 焦 点 为 F (1,0) , 短 轴 的 端 点 分 别 为 B1, B2 , 且 a b

FB1 ? FB2 ? ?a .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 F 且斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 交椭圆于 M , N 两点,弦 MN 的垂直平分线与 x 轴 相交于点 D .设弦 MN 的中点为 P ,试求

DP MN

的取值范围.

所以弦 MN 的中点为

P(

4k 2 ?3k , ). 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 2

所以

DP MN

的取值范围是 (0, ) .

1 4

考点:1.向量的数量积.2.椭圆的性质.3.等价转化的数学思想.4.运算能力.

7.

【上海市闵行区 2014 届高三下学期教育质量调研(二模)数学(理)试题】为了

寻找马航 MH370 残骸,我国“雪龙号”科考船于 2014 年 3 月 26 日从港口 O 出发,沿北偏 东 ? 角的射线 OZ 方向航行,而在港口北偏东 ? 角的方向上有一个给科考船补给物资的小

n t ?? 岛A, 且a OA ? 300 13 海里,

2 1 ,c o s ? ? .现指挥部需要紧急征调位于港口 O 3 13

正东 m 海里的 B 处的补给船,速往小岛 A 装上补给物资供给科考船.该船沿 BA 方向全速 追赶科考船,并在 C 处相遇.经测算当两船运行的航线与海岸线 OB 围成的三角形 OBC 的 面积 S 最小时,这种补给方案最优. (1)求 S 关于 m 的函数关系式 S ( m) ; (2)应征调位于港口正东多少海里处的补给船只,补给方案最优? Z C· 北

·A
O
第 21 题图



· B

考点:解析法解应用题.

8.

【上海市闵行区 2014 届高三下学期教育质量调研(二模)数学(理)试题】设椭

圆 ?1 的中心和抛物线 ?2 的顶点均为原点 O , ?1 、 ?2 的焦点均在 x 轴上,过 ?2 的焦点 F 作直线 l ,与 ?2 交于 A、B 两点,在 ?1 、 ?2 上各取两个点,将其坐标记录于下表中:

x
y

3

?2

4

3
? 3 2

?2 3

0

?4

(1)求 ?1 , ?2 的标准方程; (2)若 l 与 ?1 交于 C、D 两点, F0 为 ?1 的左焦点,求

S △ F0 AB S △ F0CD

的最小值;

( 3 )点 P、Q 是 ?1 上的两点,且 OP ? OQ ,求证:

1 OP
2

?

1 OQ
2

为定值;反之,当

1 OP
2

?

1 OQ
2

为此定值时, OP ? OQ 是否成立?请说明理由.

试题解析: (1) ? -2, 0 ?, ? 3,

? ? ?

3? -2 3 , -4 ? 在抛物线上, ? 4, ? 在椭圆上, 3, 2 ? ?

?

?

x2 y 2 ??1: ? ? 1, 4 3

?2 : y 2 ? 4 x. ???????(4 分)

? x2 y 2 12 12k 2 ?1 ? ? 2 2 , yP ? 2 联立方程 ? 4 ,解得 xP ? ; ?????(12 分) 3 4k 2 ? 3 4k ? 3 ? y ? kx ?

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9.

【上海市徐汇、金山、松江区 2014 届高三第二学期学习能力诊断数学(理)试题】
2 2 2

已知椭圆 x ? 2 y ? a (a ? 0) 的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为 4. (1)求椭圆 C 的方程;

B 两点, (2) 已知直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 交于 A 、 试问, 是否存在 x 轴上的点 M ? m,0? ,
使得对任意的 k ? R , MA ? MB 为定值,若存在,求出 M 点的坐标,若不存在,说明理由.

【答案】 (1)

11 x2 y2 ? ? 1; (2)存在点 M ( , 0) 使得 MA ? MB 为定值. 4 8 4


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