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高中数学李文杰


一切为了学生,为了一切学生,为了学生的一切 博思教育课堂教案
学生姓名 李文杰 授课教师 胡信兵 日 期 (周次) 11.05 授课题目:指数函数

重点难点: 1 运算 2 图像性质

一 课前回顾
1.一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根。当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是__________ ,负
n

数的 n 次方根是____________;当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有__________ 负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是_____________ 2. ( n a )n =___________;当 n 为奇数时, n an =__________;当 n 为偶数时 n an =__________。
2 4 2 3. 3 (?8)3 =__________; ( ?10) =___________; 4 (3 ? ? ) =_________ ( a ? b) =______

4. a ? 0, a ? a , a
n m
r s

m n

?

m n

? ____________0 的正分数指数幂等于________负分数指数幂没有意义

5. a > 0, a a ? __________ (a r ) s =_________ (ab)s ? ___________ 6. 8 3 ? ____________; 25
2 ? 1 2

=_____________

7.把下列各式化成分数指数幂: a 3 a =_____________,
x

a2 a ? 3 a2
1 3
x

=______________

8.在同一坐标系内,作出函数 y ? 2 , y ? ( ) , y ? 3 , y ? ( ) 的图像。
x x

1 2

9.指数函数 y ? a x 过定点____________,当 0 <a<1 时,函数在 R 上是单调_____________;当 a>1 时, 函数在 R 上是单调________________ 10.比较下列两个数的大小: 1.7
2.5

___1.73 ; 0.8?1 _____ 0.8?2 ; 1.70.3 ____ 0.93.1 。

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一切为了学生,为了一切学生,为了学生的一切
二 知识框架图
根式的概念 根式 根式的性质 根式的运算 指 与 数 的 算 指 数 函 数 数 指 幂 运 实数指 数幂 整数指数 幂 分数指数 幂

有理数指数幂

无理数指数幂

实数指数幂的运 算 指 数 函 数 与 其 性质 指 数 函 数的 定义 指 数 函 数的 图像 指 数 函 数的 性质 指 数 函 数的 应用 图 像 的 变换 与特征 定 义 域 ,值 域,单调性

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一切为了学生,为了一切学生,为了学生的一切
三 重要知识点讲解(指数与指数幂运算)
知识点一 根式的性质
经典例题 计算下列各式的值 (1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ? 4 (1 ? 2)
2 2 7 (2) x ? 2 xy ? y ? 7 ( y ? x)

4

知识点二 分数指数幂
经典例题 用分数指数幂表示下列各式 (1) 3 a2 (2) 3 a2 变式 变式
4

a3 ab3
a a a

1 ( a ? b3 ) 2
3

知识点三
经典例题 化简

根式的运算
2

a3 b a
? 1 2 3

?(

b

a ?1 b ?1 ? 2 ) 3 b a

变式

已知 x ?

x? y x? y 1 2 , y ? ,求 的值 ? 2 3 x? y x? y
2

变式 已知 a,b 是方程 x ? 6 x ? 4 ? 0 的两个根,且 a>b>0,求

a? b 的值 a? b

知识点四

整体带入思想
2 2 1 2 2 1 2 2

经典例题 已知 a 3 ? b 3 ? 4, x ? a ? 3a 3 b 3 , y ? b ? 3a 3 b 3 ,求证 ( x ? y) 3 ? ( x ? y) 3 为定值 已知 x ? x
1 2 ? 1 2

变式

x2 ? x 2 ? 3 的值 ? 3, 求 2 x ? x ?2 ? 2

3

?

3

变式

若 x>0,y>0,且满足 x ( x ?

y) ? 3 y ( x ? 5 y ) ,求

2 x ? 2 xy ? 3 y x ? xy ? y

的值

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3

一切为了学生,为了一切学生,为了学生的一切
变式 已知函数 f ( x) ?

x ?x 5

1 3

?

1 3

, g ( x) ?

x ?x 5

1 3

?

1 3

, 分别计算 f (4) ? 5 f (2) g (2) ,f (9) ? 5 f (3) g (3) 的

值,概括一个涉及 f(x)与 g(x)的等式,对所有 x 不等于的实数都成立,并加以证明

三 重要知识点讲解(指数函数及其性质)
知识点一 比较大小
5 ?0.24 5 ?1 经典例题 (1) ( ) 与( ) 4 6 6
变式

?5? ?? ?2 (2) ( ) 与 1 (3) 0.8 与 ? ? ? ?4?
1

?

1 2

已知 a ? 5, b ? 3 11, c ? 6 123 ,试比较 a,b,c 的大小

知识点二 指数函数的图像
经典例题 函数 y ? a2 x?1 ? 4(a ? 0, a ? 1) 的图像恒过定点___________ 变式 为了得到函数 y ? 3 ( ) 的图像,可以把函数 y ? ( ) 的图像()
x x

1 3

1 3

A 向左平移 3 个单位 C 向左平移 1 个单位

B 向右平移 3 个单位 D 向右平移一个单位

变式

若函数 y ? a x ? b ?1(a ? 0, a ? 1) 的图像经过第而,二,三,四象限,则一定有() B a>1,b>0 D a>1,b<0

A 0<a<1,b>0 C 0<a<1,b<0

变式 变式

方程 2 ? x ? 2 的实根个数是_________________
| x|

作出函数 f ( x) ?| 3x ? 1|

知识点三

指数函数的性质 (a ? 0, a ? 1)
(2) y ? ( )

经典例题 求下列函数的定义域和值域 (1) y ? 1 ? 2x 经典例题

1 2

x 2 ? 2 x ?3

求下列函数的单调区间
2x x ?1

(1) y ? 2 ? 2

?3

(2) y ? 2

? x2 ? 2 x ?3

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一切为了学生,为了一切学生,为了学生的一切
变式 求函数 y ? 12 ? 2 x ? 4 x 的单调区间 变式 若函数 y ? a2 x ? 2a x ?1 (a ? 0, a ? 1) 在 ??1,1? 上的最大值是 14,求 a 的值

经典例题 已知函数 f ( x) ?

1 1 ? , 2 ?1 2
x

(1)求函数的定义域; (2)讨论函数的奇偶性

变式

设a

ex a 0, f ( x) ? ? x 是 R 的偶函数 a e

(1)求 a 的值 (2)证明 f(x)在 (0, ??) 的单调性

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