当前位置:首页 >> 数学 >>

高考中的抽象函数问题


中学 生数 学 ? 2 0 1 0 年 1月 上 - 第3 8 5期 ( 高中 )  

离 蓉 中  抽 象 圜 数  题 
广东 省 深圳 市石岩 公 学高 中部 ( 5 1 8 1 0 8 )   康  宇  
抽 象 函数 , 指 的是 没 有 直 接 给 出解 析式 的  函数. 在 近 年 的 高考 函 数试 题 中 , 涉及

抽 象 函  数 的试题 屡见 不 鲜. 本 文 将 近两 年 高考 试 卷 中  

高  

,  

专  一  
一 一 厂( 一  1) 一
(   1)
一  

专  
,  

涉及 的抽 象 函 数 问题 的 常 见 类 型 作 一 个 简 单 
的概 括 .  


毫  固  泡 



求 解 函 数 要 素 

由此 得 厂 (   1 ) 一0
.  

众所 周 知 , 任 何 一 个 函 数 一 般 是 由 定 义 

域、 值 域 和 解 析 式 三 个 要 素 构 成. 在 常见 的 抽 
象 函数 问题 中 , 有 一 类 是先 给 出含 有 抽 象 函 数  的已知条 件 , 再 求解 函数 要 素 的问题 .   例 1   ( 1 )( 2 0 0 8年 江 西 文 3 ) 若 函 数 Y= =  

5  号  一 学厂  号 厂   号  


( z ) 的定 义域 是 [ o , 2 ] , 则 函数 g(  ) 一  
的定 义域 是 (   ) .  

号   专   一 号   革  专 ,  

( A)[ O , 1 ]   ( c )[ o , 1 ) U( 1 , 4 ]  

( B )[ O , 1 )   ( D )( 0 , 1 )  

一5 ,( 百 1)  

( 2 )( 2 0 0 9年 四川 文 1 2 ) 已知 函数  厂 ( z . ) 是  定义 在实 数集 R上 的不 恒 为零 的偶 函数 , 且 对  任意 实数 . Y C 都有 - z _ 厂 ( L z +1 ) 一( 1 +- z ) 厂 ( z ) , 则 

故选( A) .  

( 3 )以 一 置 换 z得 - 厂 ( -x ) -g ( -x ) 一  ~,   由题 设 有 -f ( x ) -g( x ) 一e ,   与 _ 厂 ( z ) 一g ( z ) 一   联 立 得 
) 一  (   -e -  ̄ ) ,   ) 一   ( 矿 

_ 厂 ( 芸) 的值是(  

) .  

( A)0  ( B )÷  ( c )1  ( D)  
( 3 )( 安徽 理 1 1 ) 若 函数 f (  ) , g(  ) 分 别 
是 R 上 的奇 函数 、 偶 函数 , 且满 足 厂 (  ) 一g( 1 z )  
一  

由上 即 可 知 g( 0 ) < f( 2 ) < 厂( 3 ) . 故 选 
( D) .  



则有 (  

) .  

点 评  ( 1 )注 意 函 数 _ 厂 ( z) 的 定 义 域 与 函 

( A)_ 厂 ( 2 ) <- 厂 ( 3 ) < g( 0 )  

数 f ( 2 x) 定 义 域 之 问 的关 系 ; ( 2 )利 用 函数 方 

( B)g( O ) <- 厂 ( 3 ) < 厂( 2 )   ( C)  ( 2 ) < g( O ) <- 厂 ( 3 )   ( D)g( 0 ) < ,( 2 ) <_ 厂 ( 3 )  

程 的 递 推 性 , 求 出 厂 ( 号 ) 的 值 是 破 题 之 策 ;  
( 3 )用方 程 思想看 问题 , 妙用 - 厂 ( z ) , g(  ) 奇偶  性, 求解 厂 ( z ) , g ( z ) 的解 析式是 关键 .  
二、 解 读 函数 图像  有一 类抽 象 函数 问题 , 在 已知 中并 没 有 给 



解析

( 1 )欲使 函数 g ( z ) 有意 义 , 须 z 一1  

≠0 , 且 0 ≤2 x ≤2 , 解得 O ≤x <1 . 故选( B ) .  

( 2 )若 x : / : 0 , 则有  (  +1 ) = = =  

厂(  ) ,  

出包 含抽 象 函数 的 任何 关 系式 , 而仅 仅 给 出抽  象 函数 的 大 致 图 像. 在解 决这 类 问 题 时 , 需 要 
对这 个 函数 的图像进 行 信息解 读 .  

取z 一 一÷ , 则有 

黪  赣 

网址 : Z X S S . c h i n a j o u r n a 1 . n e t . C l T l  

● 

; 1 5  ● 电 子 邮 箱 : z x s s @ c h i n a j o u r n a 1 . n e t . c Y l  

中学生数学 ? 2 0 1 0 年 1 月上 ? 第3 8 5 期( 高中 )  



例 2   ( 2 0 0 8年 福 建 
1 1 ) 如 果 函数 . y 一  ( z ) 的 

Y 

y = / ( x )   / , \  、 
一  

课程高考内容, 但要求不高, 只 要 知 道 了解 其 
基 本 概 念 与 意 义 即可. 解答本题时 , 显 然 无 需 

高  
老 

图像如 图 1 , 那 么导 函数 Y   —f   (  )的 图 像 可 能 是 
(   ) .  
I  

r 
图 1  
l  
一  

给出 函数 甲、   的具体 解析式 .  
三、 析 取 函数 性 质 

这 类 问题 的 特点 是 , 给 出抽 象 函数 的若 干  已知条 件 , 再依 此 析 取抽 象 函数 的其他 一 些性  质, 如 函数 的单 调 性 、 奇偶 性 、 周期 性 、 对 称性 、  
零 点等 等.   例4  ( 2 0 0 9年全 国 I理 1 1 ) 函数 , (  ) 的  定 义域 为 R, 若 l 厂 (  +1 ) 与 f ( x 一1 ) 都 是 奇 函 
数, 则(   ) .  

固 
泡 

。 \ √ / j  
“  1  
l  

D  V 

( B )  
L  

/、  / ^ \

一  

、  



o  

o  r   \ 、 一 /  

( A)_ 厂 ( z ) 是偶 函数 
( B )_ 厂 (  ) 是 奇 函数 
( C)厂(  ) 一_ 厂 (  + 2 )  

( D)f ( x +3 ) 是 奇 函数  简 析  由 图像 看 出 , 从左 到 右 _ 厂 (  ) 历 经 了递 

解析

本题 中的 函数 _ 厂 (  ) 尽管 是抽象 的 ,  

增、 递减、 递增、 递减四个区间, 故 厂(   ) 的值历经 
相应的正 、 负、 正、 负的变化 , 经 比对 , 应选 ( A) .   点评 解 答本题 的依据 是 , 在 区间 D, - 厂 (  )  

由于 是 选择 题 , 所 以 为 了较 快 得 出答 案 , 解 题 

时, 不 妨 给 出一个 具 体 的满 足 题 设 的 函数 , 如 

_ 厂 (   ) =s i n 要( z +1 ) , 由 此可很快得出  

递增对应 厂(   ) ≥o ; 厂 ( z ) 递减对应 厂(   ) ≤0 .  
例 3   ( 2 0 0 9年 广 东 

(   + 3 ) 一s i n 吾(   + 4 ) 一 s i n 吾   ,  
这 是 一 个 奇 函数 , 故选 ( D) .   对于本 题 , 还 有如 下解法 :  
‘ .

理8 ) 已知 甲 、 乙 两 车 由 同 


起 点 同时 出发 , 并 沿 同 


路线 ( 假定 为直线) 行 
图2  

‘   l 厂 (  +1 ) 与 f ( x 一1 ) 都 是奇 函数 ,  


驶. 甲车、 乙车 的速度 曲  
线 分 别 为  甲和  £( 如 图  2所 示 ) . 那么对 于 图 中给 定 的 t 。和 t   , 下 列 判  断 中一定正确 的是 (   ) .  

’ .

_ 厂 ( 一z+ 1 ) 一 一 f( x+ 1 ) ,  
/ ’ ( 一 一 1 ) 一 一厂( z一 1 ) ,  




. 

函数 _ 厂 (  ) 关 于点 ( 1 , 0 ) , 及点( 一1 , 0 )  

对称 , 函数 f( x ) 是 周 期 T= = = 2 [ 1 一( 一1 ) ] 一4  
的周期 函数.  


( A)在 t  时刻 , 甲车在 乙车前 面  ( B )t  时刻后 , 甲车在 乙车后 面  ( c )在 t 。 时刻, 两车 的位置 相 同   ( D)t 。 时刻后 , 乙车在 甲车前 面  简析  解 答本 题 , 只 需 知道定 积 分 的几 何 
意义 即可.  



. 

f( 一   一1 +4 ) 一 一 f( z一 1 +4 ) ,  

厂 ( 一z+3 ) 一一, ( 3 7 +3 ) , 即 厂 (  十3 ) 是奇 函   数. 故选 ( D) .  

点评

后一种 解法, 对 推 理 的要 求 较 高 ;  

前一种 解法 , 要例 举 f( x) 的特 例 , 须 细心 分 析 

由图像 可知 , 曲线 

比  在 o ~  、 o ~£  

已知条 件.  
四、 借 助 性 质 解 题 

与 z轴所 围成 图形 面 积大 , 则在 t 。 、 t  时 刻 , 甲   车均在 乙车前 面 , 故选 ( A) .   点评 按《 考 试 大纲 》 要求 , 定 积 分属 于新 

利用 抽 象 函 数 的 性 质 , 解决一些与方程 、   不 等式等 有关数 学 问题 , 也是 抽 象 函数 问 题 的 

网址 : Z X S S . c h i n a j o u r n a 1 . n e t . c n  

● 

3 6  ● 电 子 邮 箱 : z x s s @ c h i n a j o u r n a 1 . n e t . c n  

中学生数学 ? 2 0 1 0 年 1 月上 ? 第3 8 5期 ( 高中 )  

常见 类 型. 这 种 问题 具 有 较 强 的 知 识 与 方法 的  交汇 性.   例 5   ( 2 0 0 8年辽 宁理 1 2 ) 设 _ 厂 ( z) 是 连 续  的偶 函数 , 且当 3 2 " > 0时 , 厂 (  ) 是 单 调 函数 , 则 

即有  一 。 <  令  兰  二 
Z 2   Z l  

2一

 

l  

<  ,  

一点 ,有 - O r <  <口 ,   ,   g (  ) ∈   。 ,  

嵩  
老 
泡 

不 妨 设  , ( I z ) E  

满 足 f ( x ) 一 厂 I   薯) 的 所 有   之 和 为 (   ) .  
( A)一 3   ( B)3   ( C) 一 8   ( D)8  

即 有  一 a 1 <是 r <a 1 ,   一   2 <是   <a 2 ,   因 此 有  一   l ~  2 <凫 , +是   <a l +口 2 .  

解 析  .   厂 ( z ) 是偶 函数 ,  
‘ . . 

因此有  _ 厂 ( z ) +g ( 1 z ) E   、   . 故选 ( C ) .   点 评  实 际上 本 题 是 以 函数 的 有 界 性 为 

厂 ( z ) 一厂( -x ) 一厂 ( I  I ) .  

由f ( x ) 一 厂 ( 鬻) ,  

背景, 借 助 集 合 的语 言 设 计 的 一 道 题. 解 题 过 
程对 运算 求解 能力 有一 定 的要求 .  

可 得f (  一 I f ( 1 篇i ) .  
又x >O时 厂 ( z ) 单调 ,  

最后 , 提供 几道 高 考试题 供参 考 .  
1 .( 2 0 0 8年 全 国 I理 2 ) 汽 车 经过 启 动 、 加 

速行 驶 、 匀速行 驶 、 减 速行 驶 之 后 停 车 , 若 把 这 


故   一 }   }   2 - 2 + 3 x - 3  
或  。 +5 x+ 3 —0 .  

过 程 中 汽 车 的行 驶 路 程  看 作 时 问 t的 函  ) .  

数, 其 图像 可能 是 (  

由根 与 系数关 系 可 得 , 欲 求 的所 有 z之 和 
为 一3 —5 一 一8 , 选( C) .  

点评

本题 解 答过 程 , 充 分 利用 了 _ 厂 ( z ) 是 

D 

偶 函数和 单调性 的性 质 , 结合 一 元 二 次方 程 根 
与 系数关 系解 题 , 体现 了较 强 的综合 性 .   例6 ( 2 0 0 9年 浙 江理 1 0 ) 对于正实数 a ,   记  为满 足下 列 条件 的 函 数 f(  ) 构 成 的集 
0 

“  、  

( B  

合: V- z i ,  2   E   R且 - z 2 > l , 有 一d (  2 一 I ) <  f ( x 2 ) 一f ( x 1 ) <a ( z 2 一z 1 ) . 下 列 结 论 中正 确 
的是 (   ) .  

( C)  

2 .( 2 0 0 8年 陕 西 理 1 1 ) 定 义 在 R 上 的 函数  

( A)若 厂 ( z ) ∈  
?g( z) E  M0 . ~ 

, g ( z ) ∈   。 , 则 ,(  )   , 且 g(  )  

l 厂 (  ) 满足 _ 厂 ( z + ) 一 厂( z) +厂 (  ) +2 x y ( z, Y  

∈R) , - 厂 ( 1 ) 一2 , 则- 厂 ( ~3 ) 等 于(  
( A )2   ( B)3   ( C) 6   ( D) 9  

) .  

( B )若  ( - z ) ∈M口   , g (  ) ∈  
≠o , 则 
g 工 ,  

∈M 

3 .( 2 0 0 8年 重庆 卷理 6 ) 若 定 义 在 R 上 的 

2  

函数 厂( z ) 满足 : 对 任意 3 2   , 3 7 , z ∈R 有 厂(  - 十 
- z 。 ) 一f ( x   ) +_ 厂 ( z 。 ) 4 - 1 , 则 下 列 说 法一 定 正 确 
的是 (   ) .  



( C )若 厂 ( z ) ∈Mo   , g( z ) ∈   。 , 则 f( T a )  
+ g( z) ∈  +  

( D)若 _ 厂 ( - z ) E  


, g(  ) ∈MD 。 , 且 a   > 

( A)厂 ( 1 z ) 为 奇 函 数 

贝 0  (  ) 一g (  ) E  

( B ), (  ) 为偶 函数 
( C)


解析  先 要 准 确理 解 题 意 , 再 利 用 不等 式 
的基 本性 质进 行推 理 判断 , 过程 如下 :  
对 于-a ( . : c 2 一 z1 ) <_ 厂 ( - z 2 ) 一 f( x1 ) < (  2  
一 z1 ),  

厂 (  ) +1为奇 函数 

( D)   厂 (  ) +1为偶 函数  答案: ( A) , ( c) , ( c ) .   ( 责审   余 炯沛 )  

黪  黪 

网址 : Z X S S . c h i n a j o u r n a 1 . n e t . c n  

● 

3 7  ● 电 子 邮 箱 : Z X S S @ c h i n a j o u r n a 1 . n e t . c i 1  


相关文章:
高考抽象函数技巧全总结
高考抽象函数技巧全总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。抽象函数高考讲解 1....设函数 f(x)定义于实数集上,对于任意实数 x、y, ,求函数 六、奇偶性问题 ...
高考数学总复习抽象函数问题的题型综述
高考数学总复习抽象函数问题的题型综述_高考_高中教育_教育专区。抽象函数问题的...求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中,关键是利用函数的奇偶性和...
高考中常考的抽象函数问题的分类解析
高考中常考的抽象函数问题的分类解析_数学_高中教育_教育专区。抽象函数问题的分类解析 抽象函数,是指没有给出具体的函数解析式或图象,只给出函数 满足的一部分性...
高考抽象函数分类复习-较完整
由于抽 象函数表现形式的抽象性, 使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强, 灵活性大,解抽象函数 重要的一点要抓住函数中的某些性质,通过局部性质或图象...
2015高考总复习抽象函数部分
2015高考总复习抽象函数部分_数学_高中教育_教育专区...定义域是自变量 x 的取范围(很多同学在这里经常出错...x ? 在 R 上的单调性; 解: 3 打造中学教育...
高中数学中抽象函数的解法及练习
抽象函数问题有关解法由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号 f ( x) 的...2009年高中数学高考复习... 10页 免费 高中数学中抽象函数的解... 19页 免费...
高考中常考的抽象函数问题的分类解析
高考中常考的抽象函数问题的分类解析关键词:高考中 常考 抽象函数问题 分类 解析 抽象函数,是指没有给出具体的函数解析式或图象,只给出函数 满足的一部分性质或...
典型的抽象函数问题例题分析
典型的抽象函数问题例题分析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。典型的抽象函数问题例题分析高考中的抽象函数问题及其解法由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号 ...
阅读材料4:高考中常考的抽象函数问题的分类解析
阅读材料 4:高考中常考的抽象函数问题的分类解析抽象函数, 是指没有给出具体的函数解析式或图象,只给出函数满足的一部 分性质或运算法的函数。它具有抽象性、...
抽象函数问题及解法
抽象函数问题及解法_数学_高中教育_教育专区。本文谈及的抽象函数问题高考的...(3)模型函数法. 模型函数在解决抽象函数问题中的作用非同小可. 一方面,可以用...
更多相关标签:
抽象函数高考题 | 高考抽象函数 | 抽象函数问题 | 高考数学函数零点问题 | 高考函数零点问题 | 高考函数图像问题 | 抽象函数 | 抽象函数的定义域 |