当前位置:首页 >> 高中教育 >>

【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 专题06 概率、统计的综合问题Word版含解析


专题六
1.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩,其中一个数字被污 损,则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为( )

4 A. 5 2 C. 5

3 B. 5 1 D. 5

1 解析: 选 D 记其中被污损的数字为 x.依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是 (80×2 5 1 +90

×3+8+9+2+1+0)=90,乙的五次综合测评的平均成绩是 (80×3+90×2+3+3+7 5 1 1 +x+9)= (442+x).令 90≤ (442+x),由此解得 x≥8,即 x 的可能取值是 8,9,因此甲的 5 5 2 1 平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 = ,选 D. 10 5 2.在区间[0,1]上任取三个数 a,b,c,若向量 m=(a,b,c),则|m|≤1 的概率是( π A. 24 3π C. 32 0≤a≤1 ? ? 解析:选 D 依题意得,实数 a,b,c 满足?0≤b≤1 ? ?0≤c≤1 π B. 12 π D. 6 )

,这样的点(a,b,c)可视为在

空间直角坐标系下的单位正方体区域 (其中原点是该正方体的一个顶点 )内的点,其中满足 |m|≤1,即 a2+b2+c2≤1,a2+b2+c2≤1,这样的点(a,b,c)可视为在空间直角坐标系下 的单位正方体区域内且还在以原点为球心、1 为半径的球形区域内的点,该部分的体积恰好 1 4 × π×13 8 3 1 π 等于该球体积的 ,因此|m|≤1 的概率等于 = ,选 D. 8 13 6 3.汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响,各个汽车制造企业积极采用新技术 降低耗油量.某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况,共抽查了 1 200 名车主, 据统计该种型号的汽车的平均耗油为一百公里 8.0 升,并且汽车的耗油量 ξ 服从正态分布 N(8,σ2),已知耗油量 ξ∈[7,9]的概率为 0.7,那么耗油量大于 9 升的汽车的辆数约为( A.140 B.160 )

C.180

D.200

解析:选 C 由题意知 ξ~N(8,σ2),故正态密度曲线以 μ=8 为对称轴,又 P(7≤ξ≤9) =0.7,故 P(7≤ξ≤9)=2P(8≤ξ≤9)=0.7,所以 P(8≤ξ≤9)=0.35,而 P(ξ≥8)=0.5,所以 P(ξ>9)=0.15,故耗油量大于 9 升的汽车大约有 1 200×0.15=180 辆.选 C. 4.为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有 90 分,70 分,60 分,40 分,30 分五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中 随机抽取了 30 名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计,得到如下数据表: 成绩等级 成绩 人数 A 90 4 B 70 6 C 60 10 D 40 7 E 30 3

从这 30 名学生中随机选取 2 人, 则“选取的这 2 个人的成绩之差大于 20 分”的概率为 ( ) 23 A. 87 34 C. 87 25 B. 87 5 D. 6

解析:选 C 设事件 M:从这 30 名学生中随机选取 2 人,这 2 个人的成绩之差大于 20 分.从这 30 名学生中随机选取 2 人,记其比赛成绩分别为 m,n.显然基本事件的总数为 C2 30.
1 1 1 不妨设 m>n,当 m=90 时,n=60 或 40 或 30,其基本事件数为 C1 4×(C10+C7+C3);当 m 1 1 =70 时,n=40 或 30,其基本事件数为 C1 6×(C7+C3);当 m=60 时,n=30,其基本事件数 1 1 1 1 1 1 1 1 C1 4×?C10+C7+C3?+C6×?C7+C3?+C10×C3 34 1 为 C1 = ,所以从这 30 名 2 10×C3,所以 P(M)= C30 87

34 学生中随机选取 2 人,这 2 个人的成绩之差大于 20 分的概率为 ,选 C. 87 5.设函数 f(x)=ax+ x (x>1),若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数,b 是从 2,3,4,5 x-1

四个数中任取的一个数,则 f(x)>b 恒成立的概率为________. 5 解析: 因为 x>1,a>0, 6 x-1+1 1 所以 f(x)=ax+ =ax+ +1 x-1 x-1 1 =a(x-1)+ +1+a x-1 ≥2 a+1+a =( a+1)2. 所以 f(x)min=( a+1)2.

于是 f(x)>b 恒成立就等价于( a+1)2>b 恒成立. 设事件 A 为“f(x)>b 恒成立”,则基本事件总数为 12,即 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5). 事件 A 包含事件:(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5), 共 10 个. 10 5 所以 P(A)= = . 12 6 6.给出以下命题: y2 ①双曲线 -x2=1 的渐近线方程为 y=± 2x; 2 1 ②命题 p:“?x∈(0,+∞),sin x+ ≥2”是真命题; sin x ^ ③已知线性回归方程为y=3+2x, 当变量 x 增加 2 个单位, 其预报值平均增加 4 个单位; ④设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,σ2),若 P(ξ>1)=0.2,则 P(-1<ξ<0)=0.6; ⑤已知 -2 2 6 5 3 7 1 10 + =2, + =2, + =2, + =2,依照以 2-4 6-4 5-4 3-4 7-4 1-4 10-4 -2-4

8-n n 上各式的规律,得到一般性的等式为 + =2(n≠4). n-4 ?8-n?-4 则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号). 解析:①③⑤ ①正确,注意双曲线焦点在 y 轴上;②错误,不符合均值不等式的使用 条 件 ; ③ 正 确 ; ④ 错 误 , 因 为 P(ξ > 1) = P(ξ < - 1) = 0.2 , 所 以 P( - 1 < ξ < 0) = 1-P?ξ>1?-P?ξ<-1? 0.6 8-n n = = 0.3 ;⑤正确,由特殊到一般可得等式为 + = 2 2 n-4 ?8-n?-4 2(n≠4),综上可得命题①③⑤为真命题. 7.某工厂生产甲、乙两种电子产品,甲产品的正品率为 80%,次品率为 20%;乙产品 的正品率为 90%,次品率为 10%.生产 1 件甲产品,若是正品则可盈利 4 万元,若是次品则 亏损 1 万元;生产 1 件乙产品,若是正品则可盈利 6 万元,若是次品则亏损 2 万元.设生产 各件产品相互独立. (1)记 X(单位:万元)为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润,求 X 的分布列与 数学期望; (2)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率. 解:(1)由题设知,X 的可能取值为 10,5,2,-3,且 P(X=10)=0.8×0.9=0.72,P(X=5)=0.2×0.9=0.18, P(X=2)=0.8×0.1=0.08,P(X=-3)=0.2×0.1=0.02, 所以 X 的分布列为

X P

-3 0.02

2 0.08

5 0.18

10 0.72

∴E(X)=-3×0.02+2×0.08+5×0.18+10×0.72=8.2. (2)设生产的 4 件甲产品中正品有 n 件,则次品有 4-n 件. 14 由题意知 4n-(4-n)≥10,解得 n≥ . 5 又 n∈N*,得 n=3 或 n=4, 所以 P=C3 0.83· 0.2+C4 0.84=0.819 2, 4· 4· 故所求概率为 0.819 2. 8.(2014· 枣庄模拟)在某社区举办的《2014 年迎新春知识有奖问答比赛》中,甲、乙、 3 丙三人同时回答一道有关过年知识的问题,已知甲回答对这道题的概率是 ,甲、丙二人都 4 1 1 回答错的概率是 ,乙、丙二人都回答对的概率是 . 12 4 (1)求乙、丙二人各自回答对这道题的概率; (2)设乙、丙二人中回答对该题的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 解:(1)设甲、乙、丙回答对这道题分别为事件 A,B,C,

?P? A ?P? C ?=12, 3 则 P(A)= ,且有? 4 1 ?P?B?P?C?=4,
? ?? ?1-4?[1-P?C?]=12, 即? 1 ?P?B?P?C?=4.
3 2 解得 P(B)= ,P(C)= . 8 3 (2)由题意知 X 的所有可能取值为 0,1,2. 1 P(X=2)= ; 4 5 1 5 P(X=0)=P( B )P( C )= × = ; 8 3 24 13 P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)= . 24 所以随机变量 X 的分布列为 X P 0 5 24 1 13 24 2 1 4 3 1

1

5 13 1 25 ∴E(X)=0× +1× +2× = . 24 24 4 24 9.某班从 6 名学生干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中选 3 人参加学校的义务劳动. (1)设所选 3 人中女生人数为 ξ,求 ξ 的分布列; (2)求男生甲或女生乙被选中的概率; (3)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率. 解:(1)依题意得 ξ 的所有可能取值为 0,1,2,则
1 C3 C2 3 4 1 4C2 P(ξ=0)= 3= ;P(ξ=1)= 3 = ; C6 5 C6 5 2 C1 1 4C2 P(ξ=2)= 3 = . C6 5

所以 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 5 1 3 5 2 1 5

C3 4 1 4 (2)设“甲、乙都不被选中”为事件 C,则 P(C)= 3= = ,所以所求概率为 P( C ) C6 20 5 1 4 =1-P(C)=1- = . 5 5 C2 10 1 5 (3)记“男生甲被选中”为事件 A, “女生乙被选中”为事件 B, P(A)= 3= = , P(BA) C6 20 2 C1 4 1 = 3= . C6 5 所以 P(B|A)= P?BA? 2 = . P?A? 5
1

4 2? ?或直接得P?B|A?=C4 = 2= C5 10 5?. ? 10.某企业计划投资 A,B 两个项目,根据市场分析,A,B 两个项目的利润率分别为 随机变量 X1 和 X2,X1 和 X2 的分布列分别为 Y1 P Y2 P 2% 0.2 5% 0.8 8% 0.5 10% 0.2 12% 0.3

(1)若在 A,B 两个项目上各投资 1 000 万元,Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得 的利润,求利润的期望 E(Y1),E(Y2)和方差 D(Y1),D(Y2);

(2)由于资金限制,企业只能将 x(0≤x≤1 000)万元投资 A 项目,1 000-x 万元投资 B 项 目,f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和.求 f(x)的最小 值,并指出 x 为何值时,f(x)取到最小值. 解:(1)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为 Y1 P Y2 P 20 0.2 50 0.8 80 0.5 100 0.2 120 0.3

E(Y1)=50×0.8+100×0.2=60, D(Y1)=(50-60)2×0.8+(100-60)2×0.2=400, E(Y2)=20×0.2+80×0.5+120×0.3=80, D(Y2)=(20-80)2×0.2+(80-80)2×0.5+(120-80)2×0.3=1 200. x ?1 000-x ? ? (2)f(x)=D? ?1 000Y1?+D? 1 000 Y2? = = = 1 2 [x D(Y1)+(1 000-x2)D(Y2)] 106 4 2 [x +3(1 000-x)2] 104 4 (4x2-6 000x+3×106). 104

6 000 当 x= =750 时,f(x)=300 为最小值. 2×4 11.某校为了解高二年级学生 A,B 两个学科学习成绩的合格情况是否有关,随机抽取 了该年级一次期末考试 A,B 两个学科的合格人数与不合格人数,得到以下 2×2 列联表: A 学科不合格 人数 20 30 50

A 学科合格人数

总计

B 学科合格人数 B 学科不合格人数 总计

40 20 60

60 50 110

(1)据此表格资料,你认为有多大把握认为“A 学科合格”与“B 学科合格”有关; (2)从“A 学科合格”的学生中任意抽取 2 人, 记被抽取的 2 名学生中“B 学科合格”的 人数为 X,求 X 的数学期望.

n?ad-bc?2 附:K2= . ?a+b??c+d??a+c??b+a? P(K2≥k) k 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879

110?1 200-400?2 解:(1)K2= ≈7.822>6.635,所以有 90%的把握认为“A 学科合格”与 60×50×60×50 “B 学科合格”有关. (2)由题意知 X 的所有可能取值为 0,1,2,
1 C2 19 C1 80 20 40C20 P(X=0)= 2 = ,P(X=1)= 2 = , C60 177 C60 177

C2 78 40 P(X=2)= 2 = . C60 177 所以 X 的分布列为 X P 0 19 177 1 80 117 2 78 177

19 80 78 236 ∴E(X)=0× +1× +2× = . 177 177 177 177

12. 某地统计部门对城乡居民进行了主题为“你幸福吗?”的幸福指数问卷调查, 共收 到 1 万份答卷.其统计结果如下表(表中人数保留 1 位小数): 表1 幸福指数评分值 [50,60] (60,70] (70,80] (80,90] (90,100] 人数(单位:千) 0.9 1.8 3.3 2.8 1.2

表2 月均收入(元) 1 000 以下 [1 000,2 000) [2 000,3 000) 3 000 以上 所占比例 0.5 0.3 0.1 0.1

(1)根据表 1 画出频率分布直方图; (2)对幸福指数评分值在[50,60]分的人群月平均收入的统计结果如表 2, 根据表 2 按月均 收入分层抽样,从幸福指数评分值在[50,60]分的人群中随机抽取 10 人,再从这 10 人中随机 抽取 6 人参加“幸福愿景”座谈会.记 6 人中月均收入在[1 000,3 000)元的人数为随机变量 X,求随机变量 X 的分布列与期望. 解:(1)频率分布直方图如图所示.

(2)按分层抽样,月均收入在 1 000 元到 3 000 元的应抽取 4 人,故随机变量 X 可能取值 为 0,1,2,3,4. P(X=0)=
5 C6 1 C1 24 8 6 4C6 ,P(X=1)= 6 = = , 6 = C10 210 C10 210 70

4 3 C2 90 3 C3 80 8 4C6 4C6 P(X=2)= 6 = = ,P(X=3)= 6 = = , C10 210 7 C10 210 21 2 C4 15 1 4C6 P(X=4)= 6 = = . C10 210 14

所以随机变量 X 的分布列为 X P 0 1 210 1 8 70 2 3 7 3 8 21 4 1 14

1 8 3 8 1 504 12 ∴E(X)=0× +1× +2× +3× +4× = = . 210 70 7 21 14 210 5


相关文章:
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 专题06 概率、统计的综合问题Word版含解析
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 专题06 概率统计的综合问题Word版含解析_高中教育_教育专区。【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 ...
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 专题04 数列的综合应用Word版含解析
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 专题04 数列的综合应用Word版含解析_高中教育_教育专区。【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 专题04...
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 专题02 导数的综合应用Word版含解析]
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 专题02 导数的综合应用Word版含解析]_高中教育_教育专区。【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 专题...
【优化指导】2015高考数学总复习 专题06 概率、统计的综合问题强化突破 理(含解析)新人教版
【优化指导】2015高考数学总复习 专题06 概率统计的综合问题强化突破 理(含解析)新人教版_数学_高中教育_教育专区。【优化指导】2015 高考数学总复习 专题 06 ...
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 专题03 三角函数与向量的综合应用Word版含解析]
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 专题03 三角函数与向量的综合应用Word版含解析]_高中教育_教育专区。【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时...
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 第6章 第3节 等比数列及其前n项和Word版含解析
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 第6章 第3节 等比数列及其前n项和Word版含解析_高中教育_教育专区。【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课...
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 第7章 第4节 基本不等式Word版含解析]
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 第7章 第4节 基本不等式Word版含解析]_高中教育_教育专区。【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 ...
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 第11章 第9节 离散型随机变量的均值与方差Word版含解析
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 第11章 第9节 离散型随机变量的均值与方差Word版含解析_高中教育_教育专区。【优化指导】2015人教A版数学(理)...
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 第11章 第9节 离散型随机变量的均值与方差Word版含解析]
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 第11章 第9节 离散型随机变量的均值与方差Word版含解析]_高中教育_教育专区。【优化指导】2015人教A版数学(理...
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 第11章 第3节 二项式定理Word版含解析]
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 第11章 第3节 二项式定理Word版含解析]_高中教育_教育专区。【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 ...
更多相关标签: