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等差数列前n项和教学课件


等差数列前n项和

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高斯(Gauss,1777—1855), 德国著名数学家,他研究的内 容涉及数学的各个领域,被称 为历史上最伟大的三位数学家 之一,他与阿基米德、牛顿齐 名,是数学史上一颗光芒四射 的巨星,被誉为“数学王子”.

一个真实的故事
高斯在十岁左右的时候,用很短的时间计算 出了小学老师布置的任务:对自然数从1到 100的求和
即 1+2+3+......+99+100=? 他是如何做到的呢?

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例1.计算1+2+3+...+9+10的值

问:除了累加以外,还可以使用其他方法 吗?

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高斯的算法
计算: 1+ 2+ 3 +… + 99 + 100 高斯算法的高明之处在于他发现这 100 个数可以分为50组: 中间的一 第一个数与最后一个数一组; 组数是什 首尾 么呢? 第二个数与倒数第二个数一组; 配对 第三个数与倒数第三个数一组,…… 相加 法 每组数的和均相等,都等于101,50个 101 就等于 5050 了。高斯算法将加法问题 转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.
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拓展: 你能求出1+2+3+· · · +(n-2)+(n-1)+n的值 吗?

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等差数列前n项和

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如何才能将 等式的右边 已知等差数列{ an }的首项为a1,项数 化简?

问题分析

是n,第n项为an,求前n项和Sn .

? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an Sn ? an ? a n?1 ?an?2 ? ?? a1

① ②

?2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? a n?1 ? ? ? a3 ? an?2 ? ? ?? ? an ? a1 ?

又? a1 ? an ? a2 ? a n?1 ? a3 ? an?2 ? ? ? an ? a1
n(a1 ? an ) ? 2Sn ? n(a1 ? an ) 即S n ? 2

求和公式
等差数列的 前n项和等 等差数列的前n项和的公式: 于首末两项 的和与项数 n(a1 ? an ) 乘积的一半。

可知三 求一

Sn ?

2

不含d

思考:(1)公式的文字语言; (2)公式的特点;

由于an ? a1 ? ? n ?1? d , 故

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

法二:

sn ? a1 ? a2 ? ... ? an?1 ? an
? a1 ? a1 ? d ? ... ? [a1 ? (n ? 2)d ] ? [a1 ? (n ?1)d ]
? na1 ? [1 ? 2 ? ... ? (n ? 2) ? (n ?1)]d
n(n ? 1) n ? na1 ? d ? [2a1 ? (n ? 1)d ] 2 2

n( a1 ? an ) ? 2

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例2计算

(1)1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2n ?1) (2)1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ... ? (2n ? 1) ? 2n

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想 一 想

n(a1 ? an ) Sn ? 在等差数列 {an} 中, ,若要 2

求前n项和,是否一定要求 a1, an?

拓展3、若数列{a n }为等差数列,若a1 ? a2 +a3 ? 12, a8 ? a9 +a10 ? 75, 且sn ? 145, 求a1,d , n.

拓展4、若此题不求a1,d而只求s10时,是否一定求 a1,d?

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课堂小结
(两个) 1.等差数列前n项和的公式;

n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

2.等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法;

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