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【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修5双基限时练22


双基限时练(二十二)
1.已知 a,b∈R+,则下列不等式不一定成立的是( A.a+b+ 1 ≥2 2 ab
?

)

?1 1? B.(a+b)?a+b?≥4 ?

a2+b2 C. ≥a+b ab D. 2ab ≥ ab a+b

1 解析 取 a=4,b=1 试验知 D 不

成立. 答案 D )

1 1 2.已知 a>0,b>0,则a+b+2 ab的最小值是( A.2 C.4 解析 ∵a>0,b>0, 1 1 2 ∴a+b≥ ,当且仅当 a=b 时取等号, ab 1 1 2 ∴a+b+2 ab≥ +2 ab≥4, ab 当且仅当 2 =2 ab,即 ab=1, ab B.2 2 D.5

1 1 ∴当 a=b=1 时,a+b+2 ab有最小值 4. 答案 C
? ?

?2 1? 3.若对 x>0,y>0,有(x+2y)? x+y?≥m 恒成立,m 的取值范围是

(

)

A.m≤8 C.m<0 解析 答案
? ?

B.m>8 D.m≤4 4y x x· y=8.∴m≤8.

?2 1? 4y x (x+2y)? x +y?=2+ x +y+2≥4+2

A )

4.已知 a≥0,b≥0,且 a+b=2,则( 1 A.ab≤2 C.a2+b2≥2 解析 1 B.ab≥2

D.a2+b2≤3

∵a+b=2,∴a2+b2=a2+(2-a)2=2a2-4a+4=2(a-1)2

+2,a∈[0,2].∴a2+b2≥2. 答案 C

5.某工厂第一年产量为 A,第二年的增长率为 a,第三年的增长 率为 b,这两年的平均增长率为 x,则( a+b A. x= 2 a+b C.x> 2 解析 依题意,可得 (1+x)2=(1+a)(1+b)≤?
?1+a+1+b?2 ? a+b?2 ? =?1+ ?, 2 2 ? ? ? ?

)

a+b B.x≤ 2 a+b D.x≥ 2

a+b a+b ∴1+x≤1+ 2 .即 x≤ 2 . 答案 B

6.若实数 a,b 满足 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是________. 解析 3a+3b≥2 3a· 3b=2 3a+b=6. 当且仅当 a=b=1 时,取等号. 答案 6

y2 7.设 x,y,z 为正实数,满足 x-2y+3z=0,则xz的最小值是 ________. x+3z y2 解析 由 x-2y+3z=0,得 y= 2 ,代入xz,得 x2+9z2+6xz 6xz+6xz ≥ 4xz =3, 4xz 当且仅当 x=3z 时取“=”. 答案 3 8.函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若 A 在 1 2 直线 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0,则m+n的最小值为________. 解析 函数 y=loga(x+3)-1 的图象恒过定点 A(-2,-1).又∵ 点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,∴2m+n=1. 1 2 ? 1 2? ∴m+n=?m+n?(2m+n)
? ? ? n 4m? n 4m =4+?m+ n ?≥4+2 4=8,当且仅当m= n . ? ?

∵mn>0,∴n=2m 时,等号成立. 1 1 1 2 ∴当 m=4,n=2时,m+n有最小值 8. 答案 8 x y 9.已知 x,y∈R+,且满足3+4=1,则 xy 的最大值为________. 解析 x y ∵x>0,y>0,∴1=3+4≥2 xy 3· 4= xy 3 ,∴xy≤3,当

x y 3 且仅当3=4,即 x=2,y=2 时,xy 有最大值 3. 答案 3

10.如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已 知|AB|=3 m,|AD|=2 m. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 m2, 则 AN 的长度应在什么范围 内? (2)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最小 值. |DN| |DC| 3x 解 设 AN 的长为 x m(x>2),则由 |AN| =|AM|得|AM|= .所以 S x-2 3 x2 |AM|= . 矩形 AMPN=|AN|· x-2 3 x2 (1)由 S 矩形 AMPN>32,得 >32.又 x>2,所以 3x2-32x+64>0,解 x-2 8? ? 8 得 2<x<3,或 x>8.所以 AN 的长度的取值范围为?2,3?∪(8,+∞).
? ?
2 3x2 3?x-2? +12?x-2?+12 12 (2)因为 S 矩形 AMPN= = =3(x-2)+ x-2 x-2 x-2

+12≥2

12 12 3?x-2?· +12=24,当且仅当 3(x-2)= ,即 x=4 x-2 x-2

时,等号成立. 所以当 AN 的长度是 4 m 时,矩形 AMPN 的面积最小,最小值为 24 m2. 11. 围建一个 360 m2 的矩形场地, 要求矩形场地的一面利用旧墙(利

用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一 个宽度为 2 m 的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为 45 元/m, 新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长度为 x(单位:m),修建此矩形 场地围墙的总费用为 y(单位:元). (1)将 y 表示为 x 的函数;

(2)试确定 x, 使修建此矩形场地围墙的总费用最小, 并求出最小总 费用. 解 (1)如图,设矩形的另一边长为 a m,

则 y=45x+180(x-2)+180· 2a=225x+360a-360, 360 由已知 xa=360,得 a= x . 3602 ∴y=225x+ x -360(x>0). 3602 (2)∵x>0,∴225x+ x ≥2 225×3602=10800. 3602 3602 ∴y=225x+ x -360≥10440.当且仅当 225x= x 时, 等号成立. 即当 x=24 m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元.

2x+4 12.设 f(x)= x . 4 +8 (1)求 f(x)的最大值; 21 (2)证明:对任意实数 a,b 恒有 f(a)<b2-3b+ 4 . 解 2x+4 16· 2x 16 16 (1)f(x)= x = x2 = ≤ =2 2, 4 + 8 ?2 ? + 8 x 8 x 8 2 +2x 2 2 ·x 2

8 3 当且仅当 2x=2x时,即 x=2时等号成立. ∴f(x)的最大值为 2 2. 3? 21 ? (2)证明:∵b2-3b+ 4 =?b-2?2+3,
? ?

3 21 ∴当 b=2时,b2-3b+ 4 有最小值 3. 由(1)知,f(a)有最大值 2 2, 21 又 2 2<3,∴对任意实 a,b 恒有 f(a)<b2-3b+ 4 .


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