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辽宁高考理数2005-2013圆锥曲线汇总


20. (2013 辽宁, 20)(本小题满分 12 分)如图, 理 抛物线 C1: =4y, 2: =-2py(p>0). x C x 点 M(x0,y0)在抛物线 C2 上,过 M 作 C1 的切线,切点为 A,B(M 为原点 O 时,A,B 重合于 O).当

2

2

x0=1- 2 时,切线 MA 的斜率为

?

1 . 2

(1)求 p 的值; (2)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A,B 重合于 O 时,中点 为 O).

x ,且切线 2 1 1 1 1? ? MA 的斜率为 ? ,所以 A 点坐标为 ? ?1, ? ,故切线 MA 的方程为 y ? ? ( x ? 1) ? . 4? 2 2 4 ?
解:(1)因为抛物线 C1:x =4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为 y '=
2

因为点 M( 1 ? 2 ,y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上, 于是 y0 ? ?

1 1 3? 2 2 (2 ? 2) ? ? ? ,① 2 4 4 (1 ? 2) 2 3? 2 2 y0 ? ? ?? .② 2p 2p
? ?
? x2? x12 ? x ? x2 ,B ? x2 , 2 ? ,x1≠x2,由 N 为线段 AB 中点知 x= x ? 1 , ? 4 ? 4 ? 2 ?

由①②得 p=2. (2)设 N(x,y),A ? x1 , ③y?
2 1 2

x ? x2 x x2 .④切线 MA,MB 的方程为 y ? 1 ( x ? x1 ) ? 1 ,⑤ 8 2 4 2 x x y ? 2 ( x ? x2 ) ? 2 .⑥ 2 4

由⑤⑥得 MA,MB 的交点 M(x0,y0)的坐标为

x0 ?

x1 ? x2 xx , y0 ? 1 2 . 2 4
2

因为点 M(x0,y0)在 C2 上,即 x0 =-4y0, 所以 x1 x2 ? ? 由③④⑦得

x12 ? x2 2 .⑦ 6

x2 ?

4 y ,x≠0. 3
2

当 x1=x2 时,A,B 重合于原点 O,AB 中点 N 为 O,坐标满足 x ? 因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 x ?
2

4 y. 3

4 y. 3

21. -2x -x x (1)证明:要证 x∈[0,1]时,(1+x)e ≥1-x,只需证明(1+x)e ≥(1-x)e . -x x 记 h(x)=(1+x)e -(1-x)e , x -x 则 h′(x)=x(e -e ), 当 x∈(0,1)时,h′(x)>0, 因此 h(x)在[0,1]上是增函数, 故 h(x)≥h(0)=0. 所以 f(x)≥1-x,x∈[0,1].

2012 年 20. (本小题满分 12 分) 如图,椭圆 C0 :
2 2

x2 y 2 + =1? a >b>0,a,b为常数 ? , a 2 b2
2

动圆 C1: x + y = t1 , b< t < a.点 A1 ,A2 分别为 C0 的 1 左、右顶点, C1 与 C0 相交于 A,B,C ,D 四点 (1) 求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程; ( 2 ) 设 动 圆 C2 :x +y =t2 与 C0 相 交 于
2 2 2

A',B',C',D' 四点,其中 b <t2 <a , t1 ? t2 .若矩形 ABCD 与矩形 A'B'C'D' 的面积相等,证明:
t12 +t2 2 为定值
设 A ? x1 ,y1 ? ,B ? x1 ,-y1 ? ,又知 A1 ? -a,0 ? ,A2 ? a,0 ? ,则 直线 A1 A 的方程为

y=

y1 ? x +a ? x1 +a - y1 ? x-a ? x1 -a



直线 A2 B 的方程为

y=



由①②得

- y12 y = 2 2 ? x 2 -a 2 ? x1 -a
2



由点 A ? x1 ,y1 ? 在椭圆 C0 上,故可得

? x2 ? x12 y12 + 2 =1 ,从而有 y12 =b 2 ? 1- 12 ? ,代入③得 a2 b ? a ?

x2 y 2 - =1? x <-a,y <0 ? a 2 b2
(2)证明:设 A' ? x2 ,y2 ? ,由矩形 ABCD 与矩形 A'B'C'D' 的面积相等,得

4 x1 y1 =4 x2 y2 , ? x12 y12 =x2 2 y2 2 , 因 为 点 A,A' 均 在 椭 圆 上 , 所 以
? x2 ? ? x2? b 2 x12 ?1- 12 ? =b 2 x2 2 ?1- 22 ? ? a ? ? a ?
由 t1 ? t2 ,知 x1 ? x2 ,所以 x1 +x2 =a 。从而 y1 +y2 =b ,因而 t1 +t2 =a +b 为定值
2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2011 年 (20) (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上,椭圆 C2 的短轴为 MN,且 C1,C2 的离心 率都为 e,直线 l⊥MN,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两点, 这四点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D. (I)设 e ?

1 ,求 BC 与 AD 的比值; 2

(II)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并 说明理由. 20.解: (I)因为 C1,C2 的离心率相同,故依题意可设

C1 :

x2 y 2 b2 y 2 x 2 ? 2 ? 1, C2 : 4 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) a2 b a a
(| t |? a) ,分别与 C1,C2 的方程联立,求得
………………4 分

设直线 l : x ? t

A(t ,

a 2 2 b 2 2 a ? t ), B(t , a ? t ). b a

当e ?

1 3 时, b ? a, 分别用y A , yB 表示 A,B 的纵坐标,可知 2 2
2 | yB | b 2 3 ? ? . 2 | yA | a2 4
………………6 分

| BC |:| AD |?

(II) 时的 l 不符合题意. t ? 0 时, t=0 BO//AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率 kAN 相等,即

b 2 2 a 2 2 a ?t a ?t a b ? , t t ?a
ab 2 1 ? e2 ? ? 2 ? a. 解得 t ? ? 2 a ? b2 e
因为 | t |? a, 又0 ? e ? 1, 所以

1 ? e2 2 ? 1, 解得 ? e ? 1. 2 2 e

所以当 0 ? e ?

2 时,不存在直线 l,使得 BO//AN; 2
………………12 分



2 ? e ? 1 时,存在直线 l 使得 BO//AN. 2

2010 年(20)(本小题满分 12 分) 设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A,B a 2 b2
o

两点,直线 l 的倾斜角为 60 , AF ? 2 FB . (I) (II) 求椭圆 C 的离心率; 如果|AB|=

??? ?

??? ?

15 ,求椭圆 C 的方程. 4

2009 年(20) (本小题满分 12 分) 已知,椭圆 C 过点 A (1, ) ,两个焦点为(-1,0)(1,0) , 。 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明 直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。 (20) (本小题满分 12 分)
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

3 2

已知,椭圆 C 过点 A (1, ) ,两个焦点为(-1,0)(1,0) , 。 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明 直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

3 2

(20)解: (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为

1 9 3 ? 2 ? 1 ,解得 b2 ? 3 , b 2 ? ? (舍去) 2 4 1? b 4b
……………4 分

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1。 4 3

x2 y 2 3 (Ⅱ)设直线 AE 方程为: y ? k ( x ? 1) ? ,代入 ? ? 1得 4 3 2

3 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2 3 设 E (x E , y E ) , F (x F , y F ) ,因为点 A(1, ) 在椭圆上,所以 2 3 4( ? k ) 2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k 2

………8 分

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代 K,可得

3 4( ? k ) 2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? ?kxE ? ? k 2
所以直线 EF 的斜率 K EF ?

y F ? y E ? k ( xF ? xE ) ? 2 k 1 ? ? xF ? xE xF ? xE 2

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

1 。 2

……12 分

2008 年 20. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, 3) ,(0,3) 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 ?

C ,直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点.
(Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)若 OA ? OB ,求 k 的值; (Ⅲ)若点 A 在第一象限,证明:当 k>0 时,恒有| OA |>| OB |. 20.解:

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? (0 (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, 3),,3) 为焦点,长半
轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b ?

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,故曲线 C 的方程为 x 2 ?

y2 ? 1 .3 分 4

? 2 y2 ? 1, ?x ? (Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足 ? 4 ? y ? kx ? 1. ?
消去 y 并整理得 (k ? 4) x ? 2kx ? 3 ? 0 ,
2 2

故 x1 ? x2 ? ?

若 OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 而 y1 y2 ? k x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,
2

??? ?

??? ?

2k 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 ························· ························ ,x1 x2 ? ? 2 k ?4 k ?4
2

于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ?
2

3 3k 2 2k 2 ? 2 ? 2 ?1 ? 0 , k2 ? 4 k ? 4 k ? 4

化简得 ?4k ? 1 ? 0 ,所以 k ? ?

2 2 2 2 (Ⅲ) OA ? OB ? x1 ? y1 ? ( x2 ? y2 )

???? 2 ?

???? 2 ?

1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 分 ·························· 8 ·························· 2

2 2 ? ( x12 ? x2 ) ? 4(1 ? x12 ? 1 ? x2 )

? ?3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )

?

6k ( x1 ? x2 ) . k2 ? 4
2

3 知 x2 ? 0 ,从而 x1 ? x2 ? 0 .又 k ? 0 , k ?4 ???? 2 ???? 2 ? ? ???? ???? ? ? 故 OA ? OB ? 0 ,即在题设条件下,恒有 OA ? OB . 12 分
因为 A 在第一象限,故 x1 ? 0 .由 x1 x2 ? ?

2007 年 21. (本小题满分 14 分) 已知正三角形 OAB 的三个顶点都在抛物线 y ? 2 x 上,其中 O 为坐标原点,设圆 C 是
2

△OAB 的内接圆(点 C 为圆心) (I)求圆 C 的方程;
(II)设圆 M 的方程为 ( x ? 4 ? 7 cos ? ) ? ( y ? 7sin ? ) ? 1 ,过圆 M 上任意一点 P 分别作
2 2

圆 C 的两条切线 PE,PF ,切点为 E,F ,求 CE, 的最大值和最小值. CF
2 y12 y2 (Ⅰ)解法一:设 A、B 两点坐标分别为 ( , y1 ), ( , y 2 ) ,由题设知 2 2

??? ??? ? ?

(

y12 2 y2 y2 y2 2 ) ? y12 ? ( 2 ) 2 ? y 2 ? ( 1 ? 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 . 解得 2 2 2 2
所以 A(6,2 3 ), B(6,?2 3 )或A(6,?2 3 ), B(6,2 3 ).

2 y12 ? y 2 ? 12,

设圆心 C 的坐标为(r,0) ,则 r ?

2 ? 6 ? 4. 因此圆 C 的方程为 3

( x ? 4) 2 ? y 2 ? 16. ····················· 4 分
(Ⅱ)解:设∠ECF=2a,则

CE· ?| CE |穦 |穋os2a ? 16 cos 2a ? 32 cos2 a ? 16 . ···· 8 分 CF CF
在 Rt△PCE 中, cos a ?

r 4 .由圆的几何性质得 ? | PC | | PC |

| PC | ≤ | MC | ?1 ? 7 ? 1 ? 8, | PC | ≥ | MC | ?1 ? 7 ? 1 ? 6, ··· 10 分

1 2 ≤ cos? ≤ ,由此可得 2 3 16 CF ? 8 ≤ CE· ≤ ? . 9 16 CF 故 CE· 的最大值为 ? ,最小值为 ? 8 . ··········· 14 分 9
所以

2006 年(20) (本小题满分 14 分) 已知点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )( x1 x2 ? 0) 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上的两个动点,O
2

是 坐 标 原 点 , 向 量 OA, OB满足 | OA ? OB |?| OA ? OB | .

设 圆

C

的 方 程 为

x ? y ? ( x1 ? x ) x ? ( y1 ? y 2 ) y ? 0.
2 2 2

(Ⅰ)证明线段 AB 是圆 C 的直径; (Ⅱ)当圆 C 的圆心到直线 x ? 2 y ? 0 的距离的最小值为 (I)证法一:?| OA ? OB |?| OA ? OB |,

2 5 时,求 p 的值. 5

? (OA ? OB ) 2 ? (OA ? OB) 2 , 即 OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB , 整理得
2 2 2 2

OA ? OB ? 0.

? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0.



……3 分

设点 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则

MA ? MB ? 0.
即 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y 2 ) ? 0. 展开上式并将①代入得 x ? y ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y 2 ) ? 0.
2 2

故线段 AB 是圆 C 的直径. 证法二:?| OA ? OB |?| OA ? OB |,

? (OA ? OB ) 2 ? (OA ? OB) 2 , 即 OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB , 整理得
2 2 2 2

OA ? OB ? 0.

? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0.
y ? y1 y ? y 2 ? ? ?1( x ? x1 , x ? x 2 ) x ? x1 x ? x 2



……3 分

若直线(x,y)在以线 AB 为直径的圆上,则

去分母得 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y 2 ) ? 0, 点 ( x1 , y1 ), ( x1 , y 2 ), ( x2 , y1 ), ( x2 , y 2 ) 满足上方程,展开并将①代入得

x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y 2 ) y ? 0 ,

所以线 AB 是圆 C 的直径.……6 分 (II)解法一:设圆 C 的圆心为 C(x,y) ,则

x1 ? x 2 ? ?x ? 2 , ? ? ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 ? 2 2 ? y1 ? 2 px1 , y 2 ? 2 px2 ( p ? 0), ? x1 x 2 ?
2 y12 y 2 , 4 p2 又 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0,

? x1 x 2 ? ? y1 y 2 ,
2 y12 y 2 ? ? y1 y 2 ? 4 p2

? x1 x 2 ? 0,

? y1 y 2 ? ?4 p 2 .

?y ?

x1 ? x 2 1 2 ? ( y12 ? y 2 ) 2 4p y y 1 1 2 ( y12 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ) ? 1 2 ? ( y 2 ? 2 p 2 ), 4p 2p p
2 2

?

所以圆心的轨迹方程为: y ? px ? 2 p . 设圆心 C 到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为 d,则

………………11 分

d?

| x ? 2y | 5

| ?

1 2 (y ? 2 p2 ? 2y | p 5

?

| ( y ? p) 2 ? p 2 | 5p
p 5 ? 2 5 ,? p ? 2. ……14 分 5

当 y ? p时, d有最小值

p 5

,由题设得

2005 年 21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆
x2 y2 、F ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 2(c, a2 b2

? 0) 是椭圆外的动点,满足 | F1Q |? 2 a 。点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 ,Q ? ? ? T 在线段 F2Q 上,并且满足 PT ? TF2 ? 0 , | TF2 |? 0 。 ? c (Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |? a ? x ; a (Ⅱ)求点 T 的轨迹 C 的方程;

(Ⅲ) 试问: 在点 T 的轨迹 C 上, 是否存在点 M, 使△F1MF2 的面积 S ? b 2 。 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由。
y P O F1 F2 x Q

(Ⅰ)证法一:设点 P 的坐标为(x,y) 由 P ( x, y ) 在椭圆上,得
? b2 c | F1 P |? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? b 2 ? 2 x 2 ? (a ? x) 2 a a ? c c 由 x ? ?a ,知 a ? x ? ?c ? a ? 0 所以 | F1 P |? a ? x …………3 分 a a 证法二:设点 P 的坐标为(x,y) ? ? 记 | F1 P |? r1 , | F2 P |? r2 , 则
r1 ? ( x ? c) 2 ? y 2 , r2 ? ( x ? c) 2 ? y 2

? c 由 r1 ? r2 ? 2a, r12 ? r22 ? 4cx, 得 | F1 P |? r1 ? a ? x. ………………3 分 a (Ⅱ)解法一:设点 T 的坐标为(x,y) ? 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上
? ? ? ? ? ? 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 PT ? TF2 ? 0 ,得 PT ? TF2

? ? 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点 ? 1 ? 在△QF1F2 中, | OT |? | F1Q |? a ,所以有 x 2 ? y 2 ? a 2 . 2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x 2 ? y 2 ? a 2 . …………………………7 分 解法二:设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上
? ? ? ? ? ? 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 PT ? TF2 ? 0 ,得 PT ? TF2 ? ? 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点
?

x? ? c ? ?x ? 2 ? 设点 Q 的坐标为( x ?, y ? ) ,则 ? ?y ? y? ? 2 ?
? x ? ? 2 x ? c, 因此 ? ? y ? ? 2 y.
? 由 | F1Q |? 2 a 得 ( x? ? c) 2 ? y ? 2 ? 4a 2 .





将①代入②,可得 x 2 ? y 2 ? a 2 . 综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x 2 ? y 2 ? a 2 . ……………………7 分 (Ⅲ)解法一:C 上存在点 M( x0 , y 0 )使 S= b 2 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 ? ?1 2 ? 2 · 2c y 0 ? b ?

③ ④

由③得 | y 0 |? a 由④得 | y 0 |?
b2 . c
2
2

所以,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ;当 a ? b 时,不存在满足条件的点
c
c

M。 ……………11 分

当a ?

? ? b2 时, MF1 ? (?c ? x0 ,? y0 ), MF2 ? (c ? x0 ,? y0 ) c

? ? 2 2 由 MF1 ? MF2 ? x0 ? c 2 ? y0 ? a 2 ? c 2 ? b 2 ,
MF1 ? MF2 ?| MF1 | ? | MF2 | cos ?F1 MF2 ,
S? ? 1 ? | MF1 | ? | MF2 | sin ?F1 MF2 ? b 2 2

得 tan ?F1 MF2 ? 2. ………………14 分 解法二:C 上存在点 M( x0 , y 0 )使 S= b 2 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 ? ?1 2 ? 2 · 2c y 0 ? b ?

③ ④

由④得 | y 0 |?

b2 c
b4 b2 b2 ? (a ? )( a ? ) ? 0 c c c2

2 将上式代入③得: x 0 ? a 2 ?

于是,当 a ? 点 M。

b2 b2 时,存在点 M,使 S= b 2 ;当 a ? 时,不存在满足条件的 c c

……………11 分 当a ?
y0 y0 b2 , k 2 ? k F2 M ? 时,记 k1 ? k F1M ? x0 ? c x0 ? c c

由 | F1 F2 |? 2a, 知 ?F1 MF2 ? 90? ,所以
tan ?F1 MF2 ?| k1 ? k 2 |? 2 …………14 分 1 ? k1 k 2


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