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《解三角形》正弦定理、余弦定理的应用10.23


正弦定理、余弦定理及解三角形

2015/8/20

正弦定理:
a b c ? ? ? 2 R( R为?ABC外接圆的半径) sin A sin B sin C

正弦定理的一些常见变形:
() 1 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C (边化角公式)<

br />
a b c (2) sin A ? , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R (3)a : b : c ? sin A : sin B : sin C

(角化边公式)

(4)a sin B ? b sin A, a sin C ? c sin A, b sin C ? c sin B
2015/8/20

余弦定理:

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b2 ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C
2
2 2

b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? 2bc

cos B ? cos C ?
2015/8/20

c2 ? a 2 ? b2 2ca 2 2 2 a ?b ?c 2ab

?

角化边公式

解三角形时常用结论
(1)a ? b ? c, b ? c ? a, a ? c ? b (即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边)

A? B ? C (2) A ? B ? C ? ? , A ? B ? ? ? C , ? ? 2 2 2 (3) sin( A ? B) ? sin C , cos( A ? B) ? ? cos C

A? B C A? B C sin ? cos , cos ? sin 2 2 2 2

(4)在?ABC中,A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B (即大边对大角,大角对大边)
2015/8/20

三角形面积公式

1 1 1 abc 1 S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+c)· r(r 是三 2 2 2 4R 2 角形内切圆的半径),并可由此计算 R、r.

2015/8/20

3.在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A A为锐角 为锐角 图形 图形 关系式 关系式 a=bsin A bsin A<a<b 解的 解的 个数 一解 两解 个数 A A为钝角或直角 为钝角或直角

a≥b 一解

a>b 一解

2015/8/20


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