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【世纪金榜】2015高考数学专题辅导与训练配套练习:课时冲关练(二) 1.2向量、不等式、线性规划]


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课时冲关练(二)
向量、不等式、线性规划 A 组(30 分钟 76 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.(2014·杭州模拟)已知 A,B,C 三点在同一条直线 l 上,O 为直线外一 点,若

p A.-1 +q +r B.0 =0,p,q,r∈R,则 p+q+r= ( C.1 ) D.3

【解析】选 B.因为 A,B,C 三点在同一条直线上, 所以存在实数λ使 所以 =λ( + +q =λ ), =0, =0, ,

即(λ-1) 因为 p

-λ +r

所以 p=λ-1,q=1,r=-λ,所以 p+q+r=0. 2.设向量 a=(4,x),b=(2,-1),且 a⊥b,则 x 的值是 ( A.8 B.-8 C.2 D.-2 )

【解析】选 A.因为 a⊥b,所以 a〃b=4×2-x=0,解得 x=8. 3.设 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“b< ”的 ( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选 D.0<ab<1 可分为两种情况: 当 a>0,b>0 时,b< ;当 a<0,b<0 时,b> ,故不充分;反之,当 b<0< ,可有 ab<0,故不必要,所以应为既不充分也不必要条件. 4.(2014 ·湖州模拟 ) 若 a,b ∈ R, 且 ab>0, 则下列不等式恒成立的是 ( ) B.a+b≥2 D. + ≥2

A.a2+b2>2ab C. + >

【解析】选 D.对于 A:当 a=b=1 时满足 ab>0,但 a2+b2=2ab,所以 A 错;对 于 B,C:当 a=b=-1 时满足 ab>0,但 a+b<0, + <0,而 2 B,C 不对;对于 D:当 ab>0 时,由基本不等式可得 + ≥2 >0, >0,显然 =2.

5.已知不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|2<x<4},则不等式 cx2+bx+a<0 的 解集为 ( A. B. C. D. 【解析】选 D.由已知 a<0, 把 2 和 4 看作方程 ax2+bx+c=0 的两个根,则 即 cx2+bx+a<0 ? 8ax2-6ax+a<0. 因为 a<0,所以 8x2-6x+1>0, 所以 b=-6a,c=8a, )

解得:x> 或 x< . 6.(2014·温州模拟)已知实数 x,y 满足不等式组 2x-y 的取值范围是 ( A.[-1,3] C.[-1,6] ) B.[-3,-1] D.[-6,1] 则

【解析】选 C.由线性约束条件作出可行域如图.

设 z=2x-y,则 y=2x-z.利用平移法可知,在点(3,0)处 z 取最大值 6,在点 (0,1)处取得最小值-1.故选 C. 7.已知向量 a,b,其中|a|= 是 ( A. B. C. D.π ) ,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量 a 和 b 的夹角

【解析】选 A.由题意知 (a-b)〃a=a2-a〃b=2-a〃b=0, 所以 a〃b=2. 设 a 与 b 的夹角为θ,则 cosθ=
ab = | a || b |

,θ= . ,则 | b | = ( D.25 )

8.已知向量 a=(2,1),a·b=10, | a ? b | =5 A. B. C.5

【解析】选 C.因为 a=(2,1),a〃b=10,|a+b|=5 所以(a+b)2=50=a2+2a〃b+b2,解得可知|b|=5. 9.下列不等式一定成立的是 ( A.lg(x2+ )>lgx(x>0) B.sinx+ ≥2(x≠kπ ,k∈Z) )

,

C.x2+1≥2|x|(x∈R) D. >1(x∈R) ≥ (当且仅当 x=y

【解题提示】应用基本不等式:x,y 为正实数,

时取等号)逐个分析,注意基本不等式的应用条件及取等号的条件. 【解析】选 C.当 x>0 时,x2+ ≥2〃x〃 =x, 所以 lg(x2+ )≥lgx(x>0),故选项 A 不正确; 运用基本不等式时需保证一正、二定、三相等, 而当 x≠kπ,k∈Z 时,sinx 的正、负不定,故选项 B 不正确; 由基本不等式可知,选项 C 正确; 当 x=0 时,有 =1,故选项 D 不正确. 表示的平面区域的面

10.(2014· 合肥模拟)若不等式组 积为 3,则实数 a 的值是 ( A.1 B.2 C. ) D.3

【解析】 选 B.作出可行域,如图中阴影部分所示,区域面积 S= × ( +2) ×2=3,解得 a=2.

11.小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时 速为 v,则 ( A.a<v< C. <v< B.v= D.v= )

【解析】选 A.由小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b,则全程的 平均时速为 v= 又因为 a<b,所以 所以 a<v< = < , < = ,

,A 成立. , 单位圆的圆心为 O, 则

12. 已知 A,B 是单位圆上的动点 , 且 |AB|= · =

( A.B. C.D.

)

【解析】选 C.由题意知,单位圆的弦 AB 所对的圆心角∠AOB=120°, 故 〃 = 〃( )= 〃 -

=1×1×cos120°-1=- .故选 C. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4). 若λ 为实数,(a+λ b)∥c,则 λ 的值为 .

【解析】a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2), 因为(a+λb)∥c, 所以 4(1+λ)-3×2=0,解得λ= . 答案: 14.(2014·宁波模拟)在△ABC 中,∠C=90°,点 M 满足 ∠BAM 的最大值是 . =3 ,则 sin

【解析】以 CB,CA 为 x 轴、y 轴建立坐标系,如图,

设 B(4a,0),A(0,b), 因为 所以 又因为| =3 〃 ,所以 M(a,0), =(a,-b)〃(4a,-b)=4a2+b2, |= ,| |= ,

所以 cos∠BAM= = ≥ = ,

所以 cos∠BAM 的最小值是 , 因为 sin2∠BAM+cos2∠BAM=1, sin∠BAM>0,

所以 sin∠BAM 的最大值为 . 答案: 15.(2014·台州模拟)设 k∈R,若 1≤x≤2 时恒有 x3-3x2+2≤(1-k)x+1 ≤0,则 k 的取值集合是 .

【解析】因为 1≤x≤2 时,恒有(1-k)x+1≤0, 所以 所以 k≥2,x3-3x2+2≤(1-k)x+1, 则 1-k≥x2-3x+ ,设 f(x)=x2-3x+ , f'(x)=2x-3- , 设 f'(x)=0 在 1≤x≤2 时的解为 a, 所以函数 f(x)在(1,a)上单调递减,在(a,2)上单调递增, 因为 f(1)=-1,f(2)=- , 所以 f(x)max=f(1)=-1. 所以 1-k≥-1,所以 k≤2. 所以 k 的取值集合是{2}. 答案:{2} 16.(2014 · 潍 坊 模 拟 ) 已 知 a>0,b>0, 且 a+2b=1, 则 + 的 最 小 值 为 【解析】 + = 3+ + ≥3+2 . + = =3+2 . .

即 + 的最小值为 3+2

答案:3+2 B 组(30 分钟 76 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.(2014·浏阳模拟)设 a,b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确的是 ( ) B.a3+b3<0 D.a2-b2<0

A.b-a>0 C.b+a>0

【解题提示】可以根据 a-|b|>0 去掉绝对值号得到 a 与 b 的大小关系, 从而作出判断,亦可以在 a,b∈R 的前提下取满足 a-|b|>0 的特殊实数 a,b 验证. 【解析】选 C.方法一:由 a-|b|>0,得 a>|b|, 所以-a<b<a,所以 a+b>0 且 a-b>0, 所以 b-a<0,A 错. a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) =(a+b) >0,所以 B 错.

而 a2-b2=(a-b)(a+b)>0,所以 D 错. 方法二(特殊值法): 因为 a,b∈R 且 a-|b|>0, 所以取 a=2,b=-1. 则 b-a=-1-2=-3<0,所以 A 错. a3+b3=8-1=7>0,所以 B 错. a2-b2=22-(-1)2=3>0,所以 D 错.

2.已知向量 a,b,满足|a|=3,|b|=2 ( A. ) B. C.

,且 a⊥(a+b),则 a 与 b 的夹角为

D.

【解析】选 D.a⊥(a+b) ?a〃(a+b)=a2+a〃b=|a|2+|a||b|cos<a,b>=0, 故 cos<a,b>==- ,故所求夹角为 .

3.直线 ax+by+c=0 的某一侧的点 P(m,n),满足 am+bn+c<0,则当 a>0,b<0 时,该点位于该直线的 A.右上方 C.左下方 ( ) B.右下方 D.左上方

【解析】选 D.因为 am+bn+c<0,b<0, 所以 n>- m- . 所以点 P 所在的平面区域满足不等式 y>- x- ,a>0,b<0. 所以- >0.故点 P 在该直线的上侧,综上知,点 P 在该直线的左上方. 4.(2014·绍兴模拟)已知约束条件对应的平面区域 D 如图所示,其中 l1,l2,l3 对应的直线方程分别为:y=k1x+b1,y=k2x+b2,y=k3x+b3,若目标函数 z=-kx+y 仅在点 A(m,n)处取到最大值,则有 ( )

A.k1<k<k2 C.k1≤k≤k3

B.k1<k<k3 D.k<k1 或 k>k3

【解析】 选 B.因为 z=-kx+y 仅在点 A(m,n)处取得最大值,则由 y=kx+z, 可知 k1<k<k3.

5.(2014·黄冈模拟)在△ABC 中,( ( A. ) B. -3 =0. C. )⊥ ,

-3

)⊥

,则角 A 的最大值为

D.

【解析】选 A.由( 可得( -3 )〃

化简可得| cosA=

|cosB=3|

|cos(π-C).

= + ≥ ,0<A<π.

所以 0<A≤ . 6. 已 知 正 项 等 比 数 列 {an} 满 足 :a3=a2+2a1, 若 存 在 两 项 am,an 使 得 =4a1,则 + 的最小值为 ( A. B. C. ) D.不存在

【解析】选 A.设等比数列{an}的公比为 q(q>0), 因为 a3=a2+2a1, 所以 a1q2=a1q+2a1,解之得 q=2. 又 所以 =4a1, qm+n-2=16 ,

所以 2m+n-2=16. 因此 m+n=6. 则( + )(m+n)=5+ + ≥9.

当且仅当 n=2m(即 n=4,m=2)时取等号. 所以( + )(m+n)的最小值为 9, 从而 + 的最小值为 .

7.(2014·天津高考)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BE=λ BC,DF=μ DC.若 μ = ( A. ) B. C. D. 〃 = 〃 〃cos120° · =1, · =- ,则λ +

【解析】选 C.因为∠BAD=120°,所以 =-2. 因为 BE=λBC,所以 因为 所以 〃 =1, 〃 ① =1, = +λ , =μ

+

.

即 2λ+2μ-λμ=

同理可得λμ-λ-μ=-

②,①+②得λ+μ= .

8. 设 x,y ∈ R, 向 量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4), 且 a ⊥ c,b ∥ c, 则 |a+b|= ( A. ) B. C.2 D.10

【解析】选 B.因为 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4), 由 a⊥c,得 a〃c=2x-4=0, 所以 x=2. 由 b∥c,得 1×(-4)-2y=0, 所以 y=-2. 因此 a+b=(2,1)+(1,-2)=(3,-1), 则|a+b|= .

9.设 x,y 满足约束条件 若 目 标 函 数 z=ax+by(a>0,b>0) 的 最 大 值 为 12, 则 + 的 最 小 值 为 ( A. ) B. C. D.4

【解题提示】先由已知结合线性规划知识可以求得 a,b 的关系式,再由 基本不等式求解. 【解析】选 A.不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.

当直线 ax+by=z(a>0,b>0)过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6) 时 , 目 标 函 数 z=ax+by(a>0,b>0) 取 得 最 大 值 12, 即 4a+6b=12, 即 2a+3b=6. 所以 + = + 〃 = + + ≥ +2= .

【方法技巧】线性规划问题的求解关注 线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要关注的 是: (1)准确无误地作出可行域. (2)画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进 行比较,避免出错. (3)一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上

取得. 10.(2014·温州模拟)在△ABC 中,若 A.| C.| |>| |>| | | 〃 >| B.| D.| |2, |2, · |>| |>| >| | | |2,则有 ( )

【解析】选 D.因为 所以| 所以| 因为| |〃|

|〃cosA>| |. 在

|〃cosA>| |cosA 是

上的投影,如图.

所以|

|cosA=|

|>|

|, |cosA>| |.

所以必须 C 为钝角时才能满足| 根据大角对大边得|

|最长.故选 D. =(cos18°,cos72°), ) D. =

11.(2014·台州模拟)在△ABC 中,

(2cos63°,2cos27°),则△ABC 的面积为( A. 【解析】选 B. B. 〃 C.

=2cos 18°cos 63°+2cos 72°cos 27°

=2sin 27°cos 18°+2cos 27°sin 18° =2sin(27°+18°) =2sin45°= 而| |=1,| . |=2,

所以 cosB= 所以 sinB= , 所以 S△ABC= |

=

,

||

|sinB= . 设实数 x,y 满足约束条件 ( )

12.定义 max{a,b}=

且 z=max{4x+y,3x-y},则 z 的取值范围为 A.[-6,0] C.[-6,8] B.[-7,10] D.[-7,8]

【解析】选 B.因为(4x+y)-(3x-y)=x+2y, 所以 z= 平面区域分为两部分. 直线 x+2y=0 将约束条件 所确定的

如图,令 z1=4x+y,点(x,y)在四边形 ABCD 上及其内部,求得-7≤z1≤10; 令 z2=3x-y,点(x,y)在四边形 ABEF 上及其内部(除 AB 边),求得-7≤z2 ≤8. 综上可知,z 的取值范围为[-7,10].故选 B. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.已知函数 f(x)= 围是 . 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范

【解析】f(x)= 由 f(x)的图象可知 f(x)在(-≦,+≦)上是单调增函数,由 f(2-a2)>f(a) 得 2-a2>a,即 a2+a-2<0,解得-2<a<1. 答案:-2<a<1 14.(2014·宁波模拟)已知点 O 是△ABC 的外接圆圆心,且 AB=3,AC=4. 若存在非零实数 x,y, 使得 = . 〃 =| | 〃| 在 |. = . =8. |〃cos∠BAO, 上的投影且 O 为外接圆的圆心, =x +y , 且 x+2y=1, 则 cos ∠ BAC

【解析】因为 又因为| 所以| 所以 同理 又因为 所以 =9x+y 〃 设 〃 〃 〃 =x

|cos∠BAO 是 |cos∠BAO= |

〃 〃 =x

=|

|〃

=|AC|〃 +y =x| = , 〃 +y| . |2+y



|2=x



+16y=8.

=a,则有

解得 a=8,即



=8. = = .

所以 cos∠BAC=

答案: 15.(2014· 衢州模拟)已知 x,y 满足 是 . 则 的取值范围

【解析】由题意作出可行性区域如图所示, 设 z= 设 k= ,则 z= ,则 z=k+1, +1,

k 的几何意义是可行域内任一点与点(4,2)连线的斜率 k 的取值范围. 由图象可得 ∈ ,所以 z= ∈ .

答案: 16.(2014· 绍兴模拟)若不等式 m≤ + m 的最大值为 【解析】设 f(x)= + f'(x)=+ = . ,x∈(0,1), , 在 x∈(0,1)时恒成立,则实数

令 f'(x)=0,得 x=-1 或 x= . 所以 f(x)在 所以 f(x)min=f 若 m≤ + 上为减函数,在 = . 上为增函数,

在 x∈(0,1)时恒成立,

则 m≤ ,故 m 的最大值为 . 答案:

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