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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何8.2空间点直线平面之间的位置关系课件文


§8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系

内容索引

基础知识 题型分类

自主学习 深度剖析

课时作业

基础知识

自主学习

知识梳理

1.四个公理 公理1:如果一条直线上的 两点 在一个平面内,那么这条直线上所有的 点都在这个平面内. 公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些 公共点的集合是经过这个公共点的 一条直线 . 公理3:经过 不在同一条直线上 的三点,有且只有一个平面.

公理4:平行于同一条直线的两条直线互相 平行 .

2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
? ? ? ? 平行 直线 ?共面直线? ? ? ? 相交 直线 ? ? ?异面直线:不同在 任何 一个平面内,没有公共点

(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a , b 是两条异面直线,经过空间任意一点 O ,作直线 a′∥a,b′∥b,把直线a′与b′所成的 锐角(或直角) 叫做异面直线 a,b所成的角. ②范围:
? π? ? ? 0 , ? ? 2 ? ?

.

直线与 3.直线与平面的位置关系有 直线在平面内 、直线与平面相交、______ 平面平行 三种情况. 4.平面与平面的位置关系有 平行 、 相交 两种情况. 5.等角定理 如果一个角的两边和另一个角的 两边分别平行并且方向相同 ,那么这 两个角相等.

知识拓展

1.唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 2.异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.

思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线 a,就说平面α,β相交,
并记作α∩β=a.( √ )

(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.
( × )

(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( × )
(4)经过两条相交直线,有且只有一个平面.( √ )

(5)没有公共点的两条直线是异面直线.( × )

考点自测

1.下列命题中正确的个数为____. 2 ①梯形可以确定一个平面; ②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.
答案 解析

②中两直线可以平行、相交或异面,④中若三个点在同一条直线上,
则两个平面相交,①③正确.

2.(2016· 无锡模拟)已知a,b,c是空间的三条直线,给出下列四个命题: ①若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;

②若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;
③若a,b相交,b,c相交,则a,c也相交;

④若a,b共面,b,c共面,则a,c也共面.
0 其中真命题的个数是_____.
答案

3. 已知 a , b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a ,那么 c 与 b 的位置关系为 ③ 填序号) 答案 ____(
解析

①一定是异面直线 ②一定是相交直线 ③不可能是平行直线 ④不可能是相交直线

由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行
直线,若b∥c,则a∥b,与已知a、b为异面直线相矛盾.

故③正确.

4.(教材改编)如图所示,已知在长方体ABCD-EFGH中,

AB= 2 3 ,AD= 2 3 ,AE=2,则BC和EG所成角的
大小是______ 45° ,AE和BG所成角的大小是______. 60°
答案 解析

∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即∠EGF, tan∠EGF= EF =2 3=1,∴∠EGF=45°, FG 2 3 ∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即∠GBF,
GF 2 3 tan∠GBF= BF = 2 = 3,∴∠GBF=60°.

5. 已知空间四边形 ABCD 中, M 、 N 分别为 AB 、 CD 的中点,则下列判断: 1 1 1 ①MN≥ (AC+BD);②MN> (AC+BD);③MN= (AC+BD); 2 2 2 1 ④MN< (AC+BD). 2 ④ 答案 解析 其中正确的是______. 如图,取BC的中点O,

连结MO,NO,MN,
1 1 则OM= AC,ON= BD, 2 2

在△MON中,MN<OM+ON= 1 (AC+BD),∴④正确. 2

题型分类

深度剖析

题型一 平面基本性质的应用 例1 (1)(2016· 山东 ) 已知直线 a , b 分别在两个不同的平面 α , β 内,

充分不必要 条件. 则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的___________
答案 解析

若直线a和直线b相交,则平面α和平面β相交;

若平面α和平面β相交,那么直线a和直线b可能平行或异面或相交.

(2)已知空间四边形ABCD(如图所示),E、F分别是AB、 1 AD的中点,G、H分别是BC、CD上的点,且CG= BC, 3 1 CH= DC.求证: 3 ①E、F、G、H四点共面; 证明
连结EF,GH,如图所示,

∵E,F分别是AB,AD的中点,∴EF∥BD.
又∵CG=1 BC,CH=1 DC, ∴GH∥BD, 3 3

∴EF∥GH,∴E、F、G、H四点共面.

②三直线FH、EG、AC共点.
证明
几何画板展示

易知FH与直线AC不平行,但共面,

∴设FH∩AC=M,
∴M∈平面EFHG,M∈平面ABC. 又∵平面EFHG∩平面ABC=EG, ∴M∈EG,∴FH、EG、AC共点.

思维升华
共面、共线、共点问题的证明

(1)证明点或线共面问题的两种方法:①首先由所给条件中的部分线(或点)
确定一个平面,然后再证其余的线 ( 或点 ) 在这个平面内;②将所有条件

分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.
(2)证明点共线问题的两种方法:①先由两点确定一条直线,再证其他各

点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其

他直线经过该点.

跟踪训练 1

如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,

E,F分别是AB和AA1的中点.求证: (1)E、C、D1、F四点共面; 证明 如图,连结EF,CD1,A1B. ∵E,F分别是AB,AA1的中点, ∴EF∥A1B. 又A1B∥D1C, ∴EF∥CD1, ∴E、C、D1、F四点共面.

(2)CE,D1F,DA三线共点.
证明

题型二 判断空间两直线的位置关系 例2 (1)(2015· 广东改编)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面 ④ β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是____. ①l与l1,l2都不相交; ②l与l1,l2都相交; ③l至多与l1,l2中的一条相交; ④l至少与l1,l2中的一条相交.
答案 解析

若l与l1,l2都不相交,则l∥l1,l∥l2,
∴l1∥l2,这与l1和l2异面矛盾,∴l至少与l1,l2中的一条相交.

(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别 ④ 是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是____. ①MN与CC1垂直;②MN与AC垂直; ③MN与BD平行; ④MN与A1B1平行.
答案 解析
几何画板展示

连结B1C,B1D1,如图所示,

则点M是B1C的中点,MN是△B1CD1的中位线,
∴MN∥B1D1,又BD∥B1D1,∴MN∥BD.

∵CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,∴MN⊥CC1,MN⊥AC.
又∵A1B1与B1D1相交,∴MN与A1B1不平行.

(3)在图中,G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的 ②④ 顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有______. (填上所有正确答案的序号)
答案

解析

思维升华

空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定 . 对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角 形 ( 梯形 ) 中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理;

对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决.

跟踪训练2 (1)已知a,b,c为三条不重合的直线,有下列结论:
①若a⊥b,a⊥c,则b∥c;②若a⊥b,a⊥c,则b⊥c;③若a∥b,b⊥c,

1 则a⊥c.其中正确的个数为____.
答案 解析

在空间中,若 a ⊥ b , a ⊥ c ,则 b , c 可能平行,也可能相交,还可能
异面,所以①②错,③显然成立.

(2) 如图,正方体 ABCD — A 1 B 1C 1 D 1 的棱长为 1 ,点 M ∈ AB 1 , N ∈ BC 1 , 且AM=BN≠ 2 ,有以下四个结论: ①AA1⊥MN; ②A1C1∥MN; ③MN∥平面A1B1C1D1; ④MN与A1C1是异面直线. ①③ 注:把你认为正确结论的序号都填上) 其中正确结论的序号是_______.(
答案 解析

题型三 求两条异面直线所成的角

例3

(2016· 南京模拟)如图,四边形ABCD和ADPQ均

为正方形,它们所在的平面互相垂直,则异面直线 π 答案 解析 AP与BD所成的角为___. 3 如图,将原图补成正方体ABCD-QGHP, 连结GP,则GP∥BD, 所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角, 在△AGP中,AG=GP=AP, π 所以∠APG= . 3

引申探究 在本例条件下,若E,F,M分别是AB,BC,PQ的中点,异面直线EM 与AF所成的角为θ,求cos θ的值.
解答

设N为BF的中点,连结EN,MN,
则∠MEN是异面直线EM与AF所成的角或其补角.

不妨设正方形ABCD和ADPQ的边长为4,
则 EN= 5,EM=2 6,MN= 33.

在△MEN中,由余弦定理得
1 30 EM2+EN2-MN2 24+5-33 = =- =- 30 . cos ∠MEN= 30 2 × 2 6 × 5 2EM· EN 30 即cos θ= . 30

思维升华
用平移法求异面直线所成的角的三步法
(1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;

(2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角;
(3)三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角,则它

就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.

跟踪训练3 (2016· 盐城模拟)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,
3 6 则异面直线CE与BD所成角的余弦值为____.
答案 解析

思想与方法系列16 构造模型判断空间线面位置关系

典例

已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列

四个命题:

①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;
②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;

③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n. ①④ 其中所有正确的命题是______.
思想方法指导 答案 解析

课时作业

① 填序号) 答案 1.在下列命题中,不是公理的有_____.( ①平行于同一个平面的两个平面相互平行; ②过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面;

解析

③如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都 在此平面内; ④如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该

点的公共直线.
命题①是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需 要证明的.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2.(2016· 南京、盐城一模)现有如下命题: ①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直; ②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行; ③如果两个平行平面和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行; ④如果两个平面相互垂直,那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个 平面的直线必在第一个平面内. ①③④ 填序号) 其中正确的命题是_______.(
答案 解析

过平面外一点有无数条直线与该平面平行,故②错.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

3.(2016· 镇江模拟 )设b , c表示两条直线, α, β表示两个平面,现给出

下列命题:
①若b?α,c∥α,则b∥c;②若b?α,b∥c,则c∥α;

③若c∥α,α⊥β,则c⊥β;④若c∥α,c⊥β,则α⊥β. ④ 答案 解析 其中正确的命题是______.
①中直线b,c平行或异面,则①错误; ②中c∥α或c?α,则②错误; ③中c, β 的位置关系可能平行、相交或者直线在平面上,则③错误; 由线面平行的性质、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理可知④ 正确,故正确命题是④.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

4.在四面体 ABCD 的棱 AB , BC , CD , DA 上分别取 E , F, G , H 四点, ① 如果EF与HG交于点M,则下列命题正确的有____. ①M一定在直线AC上;
答案 解析

②M一定在直线BD上;
③M可能在AC上,也可能在BD上;

④M既不在AC上,也不在BD上.
由于EF∩HG=M,且EF?平面ABC,

HG?平面ACD,所以点M为平面ABC与平面ACD的一个公共点,而这
两个平面的交线为AC,

所以点M一定在直线AC上,故①正确.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1, 2 和a,且长为a的棱与长为 2

(0, 2) 的棱异面,则a的取值范围是________.
答案 解析

此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为a的棱长一定 大于0且小于 2.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

6.(2016· 常州模拟)在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,既与AB共面又与 5 条. CC1共面的棱有_____
答案 解析

如图,有5条.其为BC,AA1,CD,C1D1,BB1.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

7.(2016· 苏州模拟)若两条异面直线所成的角为60°,则称这对异面直线 为 “ 黄金异面直线对 ” ,在连结正方体各顶点的所有直线中, “ 黄金

24 对. 异面直线对”共有_____

答案

解析

如图,若要出现所成角为60°的异面直线,则直线 需为面对角线,以AC为例,与之构成黄金异面直线 对的直线有4条,分别是A′B,BC′,A′D,C′D, 正方形的面对角线有12条,所以所求的“黄金异面 直线对”共有 12×4 =24对(每一对被计算两次, 2 所以要除以2).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

8.如图是正四面体 (各面均为正三角形)的平面展开图,G、H、M、N分

别为DE、BE、EF、EC的中点,在这个正四面体中,
①GH与EF平行; ②BD与MN为异面直线;

③GH与MN成60°角; ④DE与MN垂直.
②③④ 以上四个命题中,正确命题的序号是_______.
答案 解析

把正四面体的平面展开图还原,如图所示,
GH与EF为异面直线,

BD与MN为异面直线,
GH与MN成60°角,DE⊥MN.
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9.(2015· 浙江 ) 如图,三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC

=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的 7 余弦值是___. 8
答案 解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

*10.(2017· 泰州质检)如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点, 将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻 ③ 折过程中,下面四个命题中不正确的是_____. ①BM是定值; ②点M在某个球面上运动; ③存在某个位置,使DE⊥A1C;

④存在某个位置,使MB∥平面A1DE.
答案 解析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

11. 如图,在正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 中, O 为正方形 ABCD 的中心,
H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证:D1、H、O三点共线.
证明

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

12.如图所示,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC= 2,DA⊥AC, DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.
解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

*13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,

AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D、B、F、E四点共面; 证明 如图所示,因为EF是△D1B1C1的中位线, 所以EF∥B1D1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD, 所以EF∥BD. 所以EF,BD确定一个平面. 即D、B、F、E四点共面.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.
证明

在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 设平面A1ACC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β. 因为Q∈A1C1,所以Q∈α. 又Q∈EF,所以Q∈β. 则Q是α与β的公共点,同理,P点也是α与β的公共点. 所以α∩β=PQ. 又A1C∩β=R,所以R∈A1C,则R∈α且R∈β. 则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
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