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2014宁夏高校高三第三次月考【数学】


2014 年宁夏高校高三第三次月考考试 数学(理)
总分 150 分,时间 120 分

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设全集 U=R,集合 A={x| A.[-1,3)

x ?1 ,B={x|1< 2 x <8} ,则(CUA)∩B 等于 ? 0} x?2
C. (1,2] D. (2,3)

B. (0,2]

2.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降落在指定范围”, q 是“乙降落在指定 范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A. ? ?p ? ? ? ?q ? B. p ? ? ?q ? C. ? ?p ? ? ? ?q ? D. p ? q
'

3. 等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a8 =4,函数 f ? x ? ? x ( x ? a1 )( x ? a 2 ) ?( x ? a 8 ) ,则 f A. 2
6

?0? ? (



B. 2

9

C. 2

12

D. 2

15

4.如图, 是半圆 O 的直径, D 是孤 AB 的三等分点, N 是线段 AB 的三等分点, OA=6, M ? C AB C, M、 若 则 D N 的值是 A.2
3 2

?? ?? ? ? ? ?

B.5

C.26

D.29

5.函数 f ( x) ? x ? x ? y

1 的图象大致是 2
y y y

O

x

O O B x C

x O D 1 x

A.

6. 曲线 y ? x ln x 在点 (e, e) 处的切线与直线 x ? ay ? 1 垂直,则实数 a 的值为 A.2 B.-2 C.

1 2

D. ?

1 2

7.将函数 y ? sin(2x ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移 值为

? 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的一个可能取 8
?

(A)

3? 4

? (B) 4

(C)0
第1页,共 4 页

(D)

? 4

π 8. 在△ABC 中,∠ABC= ,AB= 2,BC=3,则 sin∠BAC=( 4 A. 10 10 B. 10 5 3 10 C. 10

) D. 5 5

1 9. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 asin Bcos C+csin Bcos A= b,且 a>b,则∠B 2 =( A. ) π 6 π B. 3 2π C. 3 5π D. 6

0 10.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x ? R 都有 f ( x ) ? f ( x ? 4) ,当 x ? ( ?2,) 时,

f ( x ) ? 2 x ,则 f ( 2012) ? f ( 2011) 的值为(
A. ? 11.

) D. ? 2

1 2

B.

已 知 函 数 f ?x ? 是

1 2

C. 2 R

上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间

?0,???

上 是 增 函 数 . 令

2? ? 5? ? 5? ? ? ? a ? f ? sin ?, b ? f ? cos ?, c ? f ? tan 7 ? 7 ? 7 ? ? ?
A. b ? a ? c B. c ? b ? a

? ,则 ? ?
D. a ? b ? c

C. b ? c ? a

12. 定义域为[ a , b ]的函数 y ? f ( x) 图像的两个端点为 A、B,M(x,y)是 f ( x) 图象上任意一点,其中

x ? ?a ? (1 ? ? )b , ? ? ?0,1? .已知向量 ON ? ?OA ? ?1 ? ? ?OB ,若不等式 | MN |? k 恒成立,则称
函数 f (x)在[a,b]上“k 阶线性近似”.若函数 y ? x ? 的取值范围为 A. [0, ??) B. [

1 在[1,2]上“k 阶线性近似”,则实数 k x

1 , ??) 12

C. [ ? 2, ??)

3 2

D. [ ? 2, ??)

3 2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做答. 22 题~ 第 第 24 题为选考题,考生根据要求做答.
13.已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则

an 的最小值为__________. n
2

14. 已知 f ( x) 在 R 上是奇函数,且 f (xf ?x ? ? ?f f x x), 当x ? (0, 2)时,f ( x) ? 2 x , 则f (7) ? ____ ( 2) 4) ? ( ( ) . 15. 已知函数 f ( x) ? f ' (? ) cos x ? sin x, f ' ( x) 是 f (x) 的导函数,则

?

?

0

f ( x)dx =



16.设 f ? x ?=asin2x+bcos2x ,其中 a, b ? R, ab ? 0 . 若 f ? x ? ? f ?

?? ? ? 对一切 x ? R 恒成立,则 ?6?

① f?

? 11? ? 12

? 7? ? ?? ? ? ? ? 0 ; ② f ? 12 ? ? f ? 5 ? ;③ f ? x ? 既不是奇函数也不是偶函数; ? ? ? ? ?
第2页,共 4 页

④ f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? ?k ? Z ? ; 3 ? ?

⑤ 存在经过点 ? a, b ? 的直线与函数 f ? x ? 的图象不相交. 以上结论正确的是__________________(写出所有正确结论的编号) . 三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本题满分 12 分)函数 f ( x) ?

3 sin

?x ? ?
2

cos

?x ? ?
2

? sin 2

?x ? ?
2

(? ? 0 , 0 ? ? ?

?
2

) .其图象

的最高点与相邻对称中心的距离为 1 ? (1)求函数 f ( x) 的表达式;

?2
16

,且过点 (

?
3

,1) .

(2)在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边, a ? 5 , CA ? CB ? 10 ,角 C 为锐角.且满 足 2a ? 4a sin C ? c sin A ,求 c 的值. 18. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, q=( 2a ,1) ,p=( 2b ? c , cosC )且 p // q .求: (I)求 sin A 的值; (II)求三角函数式 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?

? 2 cos 2C ? 1的取值范围. 1 ? tan C

a ? b?x ? 0? ,其中 a, b ? R . x
?1 ? ? ? ?1 ? ? ?

(1)若曲线 y ? f ?x ? 在点 P?2, f ?2?? 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 ,求函数 f ? x ? 的解析式; (2)若对于任意的 a ? ? ,2? ,不等式 f ?x ? ? 10 在 ? ,1? 上恒成立,求 b 的取值范围. 2 4 20.(本题满分 12 分)

已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m、n∈N*都有

a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2
(Ⅰ)求 a3,a5; (Ⅱ)设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),证明:{bn}是等差数列; (Ⅲ)设 cn=(an+1-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 Sn.
21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln

1 ? ax 2 ? x(a ? 0). x

(1)若 f ( x) 是定义域上的单调函数,求 a 的取值范围; (2)若 f ( x) 在定义域上有两个极值点

x1 、 x2 ,证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3 ? 2 ln 2.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在
第3页,共 4 页

答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B、C , ?APC 的平分线分别交

AB、AC 于点 D、E .

(Ⅰ)证明: ?ADE ? ?AED ; (Ⅱ)若 AC ? AP ,求

PC 的值. PA
? x=1+ cos ? , (θ 为参数,θ ∈R)上运 ?y=sin?

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系 xOy 内,点 M(x,y)在曲线 C: ?

动.以 Ox 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρ cos(θ + (Ⅰ)写出曲线 C 的标准方程和直线 l 的直角坐标方程;

?
4

)=0.

(Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,试求△ABM 面积的最大值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x-a| +2x,其中 a>0. (Ⅰ)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥2x+1 的解集; (Ⅱ)若 x ? (-2,+∞)时,恒有 f(x)>0,求 a 的取值范围.

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数学(理)参考答案
一、选择题、 1-12 B A C C A A B C C A A D 二、填空题、 13. 三、解答题、 17、解:(Ⅰ) f ( x) ? 3 sin(?x ? ? ) ? 1 [1 ? cos(?x ? ? )] ? sin(?x ? ? ? ? ) ? 1 . ∵最高点与相邻对称中心的距离
2 2 6 2

21 2

14. -2

15. 2

16、 【答案】①②③



1?

?2
16

, 则

2? T ? , 即 T ?? , ∴ ? ? ,∵ ? ? 0 ,∴ ? ? 2 , 又 f (x) 过 点 ? |? | 4 4

? 2? ? 1 ( ,1) ,∴ sin( ? ? ? ) ? ? 1, 3 3 6 2 ? 1 1 ? ? ? 1 即 sin( ? ? ) ? ,∴ cos ? ? .∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ,∴ f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? . (6 分) 2 2 2 2 3 6 2
(Ⅱ) 2a ? 4a sin C ? c sin A ,由正弦定理可得 sin C ? 又a ?

5 2 ? , ∵ 0 ? C ? ,∴ cos C ? , 3 3 2

5 , CA ? CB ? ab cos C ? 10 ,∴ b ? 6 ,由余弦定理得
(6 分)

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 21 ,∴ c ? 21 .
18. 解: (I)∵ p // q ,∴ 2a cos C ? 2b ? c ,

根据正弦定理,得 2 sin A cos C ? 2 sin B ? sin C , 又 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C ,

1 1 ? sin C ? cos A sin C ,? sinC ? 0 ,? cos A ? , 2 2
又? 0 ? A ? ? ? A ?

?
3

;sinA=

3 2

(II)原式 ?

? 2 cos 2C 2(cos2 C ? sin 2 C ) ?1 ? 1? ? 1 ? 2 cos2 C ? 2 sin C cos C , sin C 1 ? tan C 1? cos C

? sin 2C ? cos 2C ? 2 sin(2C ?
∵0 ? C ?

?
4

),

2 ? ? 13 2 ? ? ,∴ ? ? 2C ? ? ? ,∴ ? ? sin(2C ? ) ? 1 , 2 4 4 4 12 3
?
4 ) ? 2 ,∴ f (C ) 的值域是 (?1, 2 ] .

∴ ? 1 ? 2 sin(2C ?

19.(Ⅰ)解: f ?( x) ? 1 ?

a ,由导数的几何意义得 f ?(2) ? 3 ,于是 a ? ?8 .由切点 P(2, f (2)) 在直线 x2 8 y ? 3x ? 1 上可得 ?2 ? b ? 7 ,解得 b ? 9 .所以函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? x ? ? 9 .(6 分) x
第5页,共 4 页

(Ⅱ)解: f ?( x) ? 1 ? 化情况如下表:

a .当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? a .当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变 x2
? a
0 极大值

x f ?( x) f ( x)

(??, ? a )
+ ↗

(? a , 0)
- ↘

(0, a )
- ↘

a
0 极小值

( a , ??)
+ ↗

所以 f ( x) 在 ( ??, ? a ) , ( a , ??) 内是增函数,在 ( ? a , 0) , (0, ??) 内是减函数.

1 1 1 1 f ( x) 在 [ ,1] 上的最大值为 f ( ) 与 f (1) 的较大者,对于任意的 a ? [ , 2] ,不等式 f ( x) ? 10 在 [ ,1] 上 2 4 4 4 39 ? 1 ? ? 4a 1 7 ? f ( ) ? 10 ?b ? 恒成立,当且仅当 ? 4 ,即 ? ,对任意的 a ? [ , 2] 成立.从而得 b ? .(6 分) 4 2 4 ? f (1) ? 10 ?b ? 9 ? a ? ?
20.解:(1)由题意,零 m=2,n-1,可得 a3=2a2-a1+2=6 再令 m=3,n=1,可得 a5=2a3-a1+8=20????????????2 分 (2)当 n∈N 时,由已知(以 n+2 代替 m)可得
*

a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8
于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8 即

bn+1-bn=8

所以{bn}是公差为 8 的等差数列??????????????????5 分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为 b1=a3-a1=6,公差为 8 的等差数列 则 bn=8n-2,即 a2n+=1-a2n-1=8n-2 另由已知(令 m=1)可得

a2 n ?1 ? a1 -(n-1)2. 2 a ?a 那么 an+1-an= 2 n?1 2 n?1 -2n+1 2 8n ? 2 = -2n+1 2

an=

=2n 于是 cn=2nqn-1. 当 q=1 时,Sn=2+4+6+??+2n=n(n+1) 当 q≠1 时,Sn=2·q0+4·q1+6·q2+??+2n·qn-1. 两边同乘以 q,可得

qSn=2·q1+4·q2+6·q3+??+2n·qn.
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上述两式相减得 (1-q)Sn=2(1+q+q2+??+qn-1)-2nqn =2·
1 ? qn -2nqn 1? q

1 ? (n ? 1)q n ? nq n ?1 =2· 1? q

所以 Sn=2·

nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 (q ? 1) 2

? n(n ? 1) ( q ? 1) ? 综上所述,Sn= ? nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 ??????????12 分 ( q ? 1) 2 ? 2? ( q ? 1) ?
2ax2-x+1 1 1 21. 21、解:(Ⅰ)f (x)=-ln x-ax +x, f ?(x)=- x -2ax+1=.令 Δ=1-8a. 当 a≥ 时,Δ≤0,f ?(x)≤0,f (x)在 x 8 1 (0,+∞)单调递减.当 0<a< 时,Δ>0,方程 2ax2-x+1=0 有两个不相等的正根 x1,x2, 不妨设 x1<x2, 则当 8 1 x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,f ?(x)<0,当 x∈(x1,x2)时,f ?(x)>0, 这时 f (x)不是单调函数. 综上,a 的取值范围是[ ,+∞). 8 (6 分) 1 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当且仅当 a∈(0, )时,f (x)有极小值点 x1 和极大值点 x2, 且 x1+x2= ,x1x2= . 8 2a 2a 1 1 1 f (x1)+f (x2)=-ln x1-ax 2 +x1-ln x2-ax 2 +x2 =-(ln x1+ln x2)(x1-1)(x2-1)+(x1+x2)=-ln(x1x2)+ 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4a-1 (x1+x2)+1=ln(2a)+ +1. 令 g (a)=ln(2a)+ +1,a∈(0, ], 则当 a∈(0, )时,g ?(a)= - = <0,g (a)在 a 4a2 4a2 4a 4a 8 8 1 1 (0, )单调递减, 所以 g (a)>g ( )=3-2ln 2,即 f (x1)+f (x2)>3-2ln 2. (6 分) 8 8
2

.
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