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2010-2011学年高中数学 第1章 解三角形 正弦定理和余弦定理 章末整合章末检测同步精品学案 新人教A版必修5


章末整合对点讲练
一、正、余弦定理解三角形的基本问题 例 1 在△ABC 中, (1)已知 a= 3,b= 2,B=45° ,求 A、C、c; (2)已知 sin A∶sin B∶sin C=( 3+1)∶( 3-1)∶ 10,求最大角. 点拨 (1)已知两边及其中一边对角,先利用正弦定理求出角 A,再求其余的量. (2)先由 sin A∶sin B∶sin C=a∶b

∶c,求出 a∶b∶c,再由余弦定理求出最大角. 3 2 解 (1)由正弦定理及已知条件有 = , sin A sin 45° 3 得 sin A= ,∵a>b,∴A>B=45° ,∴A=60° 120° 或 . 2 bsin C 2sin 75° 6+ 2 当 A=60° 时,C=180° -45° -60° =75° ,c= = = , sin B sin 45° 2 bsin C 2sin 15° 6- 2 当 A=120° 时,C=180° -45° -120° =15° ,c= = = . sin B sin 45° 2 (2)根据正弦定理可知 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=( 3+1)∶( 3-1)∶ 10, ∴边 c 最大,即角 C 最大. 设 a=( 3+1)k,b=( 3-1)k,c= 10k, a2+b2-c2 ( 3+1)2+( 3-1)2-( 10)2 1 2π 则 cos C= = =- .∵C∈(0,π),∴C= . 2ab 2 3 2( 3+1)( 3-1) 回顾归纳 已知三角形的两边和其中一边的对角,应用正弦定理解三角形时,有时可能 出现一解、两解或无解情况,应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况, 作出正确取舍. ?变式训练 1 (1)△ABC 中,AB=1,AC= 3,∠C=30° ,求△ABC 的面积; (2)已知 a、b、c 是△ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边,S 是△ABC 的面积.若 a=4,b= 5,S=5 3,求 c 的长度. 1 3 3 解 (1) = ,∴sin B= ,∴B=60° 120° 或 , sin 30° sin B 2 3 当 B=60° 时,A=90° ,∴BC=2,此时,S△ABC= . 2 1 3 当 B=120° 时,A=30° ,∴S△ABC= × 3×1×sin 30° = . 2 4 3 3 综上,△ABC 的面积为 或 . 2 4 1 3 (2)∵S= absin C,∴sin C= ,于是 C=60° C=120° 或 . 2 2 2 2 2 2 2 当 C=60° 时,c =a +b -2abcos C=a +b -ab=21,∴c= 21; 当 C=120° 时,c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab=61, ∴c= 61.∴c 的长度为 21或 61. 二、正、余弦定理在三角形中的应用 例 2 在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长.已知 b2=ac 且 a2-c2 =ac-bc. bsin B (1)求∠A 的大;(2)求 的值. c 2 b +c2-a2 点拨 (1)利用 cos A= 求解; 2bc bsin B (2)利用正弦定理对代数式 进行转化. c 2 2 2 解 (1)∵b =ac 且 a -c =ac-bc,∴a2-c2=b2-bc,

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b2+c2-a2 bc 1 = = ,∴A=60° . 2bc 2bc 2 bsin A b c (2)方法一 在△ABC 中,由正弦定理得:sin B= ,∵b2=ac,∴ = . a a b bsin A c· A sin bsin B 3 ∴sin B= = ,∴ =sin A=sin 60° = . a b c 2 1 1 方法二 在△ABC 中,由面积公式得: bcsin A= acsin B 2 2 bsin B 3 ∵b2=ac,∴bcsin A=b2sin B,∴ =sin A=sin 60° = . c 2 回顾归纳 (1)在三角形的三角变换中,正、余弦定理及勾股定理是解题的基础.如果题 目中同时出现角及边的关系,往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系. (2)要注意利用△ABC 中 A+B+C=π,以及由此推得的一些基本关系式:sin(B+C)=sin B+C A A,cos(B+C)=-cos A,tan(B+C)=-tan A,sin =cos 等,进行三角变换的运算. 2 2 B+C 7 ?变式训练 2 在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,4sin2 -cos 2A= . 2 2 (1)求∠A 的度数; (2)若 a= 3,b+c=3,求 b、c 的值. B+C A 解 (1)∵B+C=180° -A,∴ =90° . - 2 2 B+C 7 A 7 由 4sin2 -cos 2A= ,得 4cos2 -cos 2A= , 2 2 2 2 7 即 2(1+cos A)-(2cos2 A-1)= .整理得 4cos2A-4cos A+1=0. 2 1 ∴cos A= ,又 0° <A<180° ,∴A=60° . 2 b2+c2-a2 b2+c2-a2 1 (2)由 A=60° ,根据余弦定理得 cos A= ,即 = . 2bc 2bc 2 ∴b2+c2-a2=bc,∵a= 3,∴b2+c2-bc=3. ?b+c=3 ?b=1 ?b=2 ? ? ? 又 b+c=3,∴b2+c2+2bc=9,∴bc=2.由? ,解得? 或? . ? ? ? ?bc=2 ?c=2 ?c=1 三、正、余弦定理在实际问题中的应用 例 3 A、B、C 是一条直路上的三点,AB=BC=1 km,从这三点分别遥望一座电视发 射塔 P,A 见塔在东北方向,B 见塔在正东方向,C 见塔在南偏东 60° 方向.求塔到直路的距 离. 解 ∴b2+c2-a2=bc,∴cos A=

如图所示,过 C、B、P 分别作 CM⊥l,BN⊥l,PQ⊥l,垂足分别为 M、N、Q. 设 BN=x,则 PQ=x,PA= 2 x. ∵AB=BC,∴CM=2BN=2x,PC=2x. 在△PAC 中,由余弦定理得 AC2=PA2+PC2 ? 2PA·PC·cos 75°, 即 4=2x2+4x2 ? 4 2 x2·

2(4 ? 3) 6? 2 ,解得 x2= ,过 P 作 PD⊥AC,垂足为 D, 13 4
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则线段 PD 的长为塔到直路的距离.

1 1 AC·PD= PA·PC·sin 75°, 2 2 0 PA ? PC ? sin 75 2 2 x 2 ? sin 750 得 PD ? , ? AC 2 2(4 ? 3) 6 ? 2 7 ? 5 3 = 2? (km). ? ? 13 4 13 7?5 3 答 塔到直路的距离为 km. 13
在△PAC 中,由于 回顾归纳 (1)解斜三角形应用题的程序是: ①准确地理解题意; ②正确地作出图形(或准 确地理解图形);③把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中,利用正弦定理和余弦定理有 顺序地解这些三角形;④根据实际意义和精确度的要求给出答案. (2)利用解斜三角形解决有关测量的问题时,其关键在于透彻理解题目中的有关测量术 语. ?变式训练 3

如图所示,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险 等待营救,甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°,相距 10 海里 C 处的 乙船,设乙船按方位角为θ的方向沿直线前往 B 处救援,求 sin θ的值. 解 在△ABC 中,AB=20,AC=10,∠BAC=120°, 由余弦定理知:BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°

? 1? ? =700.∴BC=10 7 . ? 2? AB BC 由正弦定理得 , ? sin ?ACB sin ?BAC 21 20 AB ∴sin∠ACB= ·sin∠BAC= ·sin 120°= 7 BC 10 7
=202+102 ? 2×20×10× ? ? .∴cos∠ACB=

2 7 . 7

∴sin θ=sin(∠ACB+30°)=sin∠ACB·cos 30°+cos∠ACB·sin 30° =

21 3 2 7 1 5 7 × + × = ,. 7 2 7 2 14

课堂小结: 1.正弦定理揭示了三角形的两边和对角的关系,因此,可解决两类问题: (1)已知两角和其中任一边,求其他两边和一角,此时有一组解. (2)已知两边和其中一边的对角, 求另一边的对角, 从而进一步求出其他解, 其解不确定. 2.余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对应边的关系,是勾股定理的推广,它能解 决以下两个问题: (1)已知三边,求其他三角,其解是唯一的. (2)已知两边及它们的夹角,求第三边及其他两角,此时也只有一解. 3.正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角形与几何产生了联系, 为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆)提供了理论基础,也是判断三角形形状、
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证明三角形中有关等式的重要依据.

课时作业
一、选择题 1.在△ABC 中,A=60° ,a=4 3,b=4 2,则 B 等于( )

A.45° 135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 或 答案 C sin A 2 解析 sin B=b· = ,且 b<a,∴B=45° . a 2 2.在△ABC 中,已知 cos Acos B>sin Asin B,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案 C 解析 cos Acos B>sin Asin B?cos(A+B)>0,∴A+B<90° ,∴C>90° ,C 为钝角. 3.(2008· 福建)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3 ac,则角 B 的值为( ) π π A. B. 6 3 π 5π π 2π C. 或 D. 或 6 6 3 3 答案 D 解析 ∵(a2+c2-b2)tanB= 3ac, a2+c2-b2 3 ∴ · tanB= , 2ac 2 3 即 cosB· tanB=sinB= . 2 π 2π ∵0<B<π,∴角 B 的值为 或 . 3 3 4.在△ABC 中,A=60° ,AC=16,面积为 220 3,那么 BC 的长度为( ) A.25 B.51 C.49 3 D.49 答案 D 1 1 3 解析 S△ABC= AC×AB×sin 60° ×16×AB× =220 3,∴AB=55. = 2 2 2 1 ∴BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos 60° =552+162-2×16×55× =2 401 2 ∴BC=49. 5.(2010· 广东东莞模拟)△ABC 中,下列结论: 2 2 ①a >b +c2,则△ABC 为钝角三角形;②a2=b2+c2+bc,则 A 为 60° ;③a2+b2>c2,则 △ABC 为锐角三角形;④若 A∶B∶C=1∶2∶3,则 a∶b∶c=1∶2∶3. 其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A 解析 ①由 a2>b2+c2 知 A 为钝角,①正确;②由 a2=b2+c2+bc 知 A=120° ,②错;③ π 2 2 2 由 a +b >c ,仅能判断 C 为锐角,A、B 未知,③错;④由 A∶B∶C=1∶2∶3,知 A= , 6 π π 1 3 B= ,C= ,∴sin A∶sin B∶sin C= ∶ ∶1=1∶ 3∶2,④错.所以仅①正确. 3 2 2 2 二、填空题
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6.三角形两条边长分别为 3 cm,5 cm,其夹角的余弦是方程 5x2-7x-6=0 的根,则此 三角形的面积是________. 答案 6 cm2 3 解析 由 5x2-7x-6=0,解得 x1=- ,x2=2. 5 3 ∵x2=2>1,不合题意.∴设夹角为 θ,则 cos θ=- 5 4 1 4 得 sin θ= ,∴S= ×3×5× =6 (cm2). 5 2 5 a 7.在△ABC 中,A=60° ,b=1,S△ABC= 3,则 =______. sin A 2 39 答案 . 3 1 1 3 解析 由 S= bcsin A= ×1×c× = 3,∴c=4. 2 2 2 ∴a= b2+c2-2bccos A= 12+42-2×1×4cos 60° 13. = a 13 2 39 ∴ = = . sin A sin 60° 3 8.一艘船以 20 km/h 的速度向正北航行,船在 A 处看见灯塔 B 在船的东北方向,1 h 后 船在 C 处看见灯塔 B 在船的北偏东 75° 的方向上,这时船与灯塔的距离 BC 等于________. 答案 20 2 km

BC AC , ? 0 sin 45 sin 300 20 2 AC ∴BC= ×sin 45°= , ? 0 1 2 sin 30 2 =20 2 (km).
解析 如图所示, 三、解答题 9.(2009· 广东广州一模)已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2, 3 cos B= . 5 (1)若 b=4,求 sin A 的值; (2)若△ABC 的面积 S△ABC=4,求 b,c 的值. 3 4 解 (1)∵cos B= >0,且 0<B<π,∴sin B= 1-cos2B= . 5 5 4 2× 5 2 a b asin B 由正弦定理得 = ,sin A= = = . sin A sin B b 4 5 1 1 4 (2)∵S△ABC= acsin B=4,∴ ×2×c× =4,∴c=5. 2 2 5 3 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=22+52-2×2×5× =17,∴b= 17. 5 4 6 6 10.在△ABC 中,已知 AB= ,cos B= ,AC 上的中线 BD= 5,求 sin A 的值. 3 6
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1 2 6 解 设 E 为 BC 的中点.连接 DE,则 DE∥AB,且 DE= AB= ,设 BE=x. 2 3 在△BDE 中利用余弦定理可得:BD2=BE2+ED2-2BE· EDcos∠BED, 8 2 6 6 7 5=x2+ +2× × x,解得 x=1,x=- (舍去). 3 3 6 3 28 2 21 故 BC=2,从而 AC2=AB2+BC2-2AB· cos B= ,即 AC= BC· . 3 3 2 21 3 30 2 70 又 sin B= ,故 = ,sin A= . 6 sin A 14 30 6 章末检测 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.在△ABC 中,c= 2,则 bcos A+acos B 等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 答案 B 2.设甲、乙两楼相距 20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60° ,从甲楼顶望乙楼顶的俯角 为 30° ,则甲、乙两楼的高分别是( ) 40 A.20 3 m, 3 m B.10 3 m,20 3 m 3 15 20 C.10( 3- 2) m,20 3 m D. 3 m, 3 m 2 3 答案 A 3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a2+c2-b2= 3ac,则角 B 的 值为( ) π π π 5π π 2π A. B. C. 或 D. 或 6 3 6 6 3 3 答案 A a2+c2-b2 3ac 3 π 解析 ∵a2+c2-b2= 3ac,∴cos B= = = ,∴B= . 2ac 2ac 2 6 4.已知△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=k∶(k+1)∶2k,则 k 的取值范围是( ) A.(2,+∞) B.(-∞,0) 1 1 C.?-2,0? D.?2,+∞? ? ? ? ? 答案 D 解析 由正弦定理得:a=mk,b=m(k+1),c=2mk(m>0), ? ? ?a+b>c ?m(2k+1)>2mk 1 ∵? 即? ,∴k> . 2 ?a+c>b ?3mk>m(k+1) ? ?

??? → ? 5. 在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10 ,则 BA · 等于( AC ) 3 2 2 3 A.- B.- C. D. 2 3 3 2 答案 A AB2+AC2-BC2 9+4-10 1 解析 由余弦定理得 cos A= = = . 2AB· AC 12 4 ??? → → → ? 1 3 ∴ AB · =|AB|· |· A=3×2× = . AC |AC cos 4 2 ??? → ? 3 → → ∴ BA · =-AB· =- . AC AC 2 6.从高出海平面 h 米的小岛看到正东方向有一只船俯角为 30° ,看到正南方向有一只船 俯角为 45° ,则此时两船间的距离为( )
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A.2h 米 答案 A

B. 2h 米

C. 3h 米

D.2 2h 米

解析 如图所示, BC= 3 h,AC=h, ∴AB= 3h ? h = 2h. 7.在锐角△ABC 中,有( ) A.cos A>sin B 且 cos B>sin A B.cos A<sin B 且 cos B<sin A C.cos A>sin B 且 cos B<sin A D.cos A<sin B 且 cos B>sin A 答案 B π π π π 解析 由于 A+B> ,得 A> -B,即 >A> -B>0 2 2 2 2 π y=cos x 在?0,2?是减函数,所以得 cos A<sin B.同理可得 cos B<sin A. ? ? 8.在△ABC 中,已知 a= 5,b= 15,A=30° ,则 c 等于( ) A.2 5 B. 5 C.2 5或 5 D.以上都不对 答案 C 3 解析 因 a2=b2+c2-2bccos A,∴5=15+c2-2 15×c× . 2 化简得:c2-3 5c+10=0,即(c-2 5)(c- 5)=0,∴c=2 5或 c= 5. 9.根据下列情况,判断三角形解的情况,其中正确的是( ) A.a=8,b=16,A=30° ,有两解 B.b=18,c=20,B=60° ,有一解 C.a=5,c=2,A=90° ,无解 D.a=30,b=25,A=150° ,有一解 答案 D 16×sin 30° a b 解析 A 中,因 = ,所以 sin B= =1 sin A sin B 8 20sin 60° 5 3 ∴B=90° ,即只有一解;B 中 sin C= = , 18 9 且 c>b,∴C>B,故有两解;C 中,∵A=90° ,a=5,c=2 2 2 ∴b= a -c = 25-4= 21,即有解,故 A、B、C 都不正确. 10.在某个位置测得某山峰仰角为 θ,对着山峰在平行地面上前进 600 m 后测仰角为原 来的 2 倍,继续在平行地面上前进 200 3 m 后,测得山峰的仰角为原来的 4 倍,则该山峰 的高度是( ) A.200 m B.300 m C.400 m D.100 3 m 答案 B 解析 如图所示,600· 2θ=200 3· 4θ, sin sin
2 2

∴cos 2θ=

3 ,∴θ=15°,∴h=200 3 ·sin 4θ=300 (m). 2

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sin A cos B cos C 11.若 = = ,则△ABC 是( ) a b c A.等边三角形 B.有一内角是 30° 的直角三角形 C.等腰直角三角形 D.有一内角是 30° 的等腰三角形 答案 C sin A cos B 解析 ∵ = ,∴acos B=bsin A, a b ∴2Rsin Acos B=2Rsin Bsin A,2Rsin A≠0. ∴cos B=sin B,∴B=45° .同理 C=45° ,故 A=90° . π 12.△ABC 中,A= ,BC=3,则△ABC 的周长为( ) 3 π π A.4 3sin?B+3?+3 B.4 3sin?B+6?+3 ? ? ? ? π? π? C.6sin?B+3?+3 D.6sin?B+6?+3 ? ? 答案 D π BC AC AB 解析 A= ,BC=3,设周长为 x,由正弦定理知 = = =2R, 3 sin A sin B sin C AB+BC+AC BC 3 x 由合分比定理知 = ,即 = . sin A sin A+sin B+sin C 3 3 +sin B+sin C 2 2 3 ∴2 3? +sin B+sin(A+B)?=x, ?2 ? π π π 即 x=3+2 3?sin B+sin?B+3??=3+2 3?sin B+sin Bcos3+cos Bsin 3? ? ? ?? ? ? 1 3 3 3 =3+2 3?sin B+ sin B+ cos B?=3+2 3? sin B+ cos B? 2 2 2 ? ? ?2 ? π? 3 1 ?=3+6sin?B+ . =3+6? ? 6? ? 2 sin B+2cos B? 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 2a b c 13.在△ABC 中, - - =________. sin A sin B sin C 答案 0 14.

如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点 A、B,望对岸标记物 C, 测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度为 . 答案 60 m 解析 在△ABC 中,∠CAB=30°,∠CBA=75°, ∴∠ACB=75°.∠ACB=∠ABC.∴AC=AB=120 m. ∴宽 h=AC·sin 30°=60 m. 15.△ABC 的三边长分别为 3、4、6,则它的较大锐角的角平分线分三角形的面积比为 ______________. 答案 1∶2 32+42-62 11 解析 不妨设 a=3,b=4,c=6,则 cos C= =- <0. 24 2×3×4 ∴C 为钝角,则 B 为较大锐角,设 B 的平分线长为 m,

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1 B 1 B 则 S1∶S2=?2×3 m sin 2 ?∶?2×6 m sin 2 ?=1∶2. ? ? ? ? 16.在△ABC 中,若 A>B,则下列关系中不一定正确的是________. ①sin A>sin B ②cos A<cos B ③sin 2A>sin 2B ④cos 2A<cos 2B 答案 ③ 解析 在△ABC 中,A>B,sin A>sin B,cos A<cos B. ∴1-2sin2 A<1-2sin2 B,∴cos 2A<cos 2B. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 4 17.(12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c,且 cos A= . 5 B+C (1)求 sin2 +cos 2A 的值; 2 (2)若 b=2,△ABC 的面积 S=3,求 a. B+C 1-cos(B+C) 1+cos A 59 解 (1)sin2 +cos 2A= +cos 2A= +2cos2 A-1= . 2 2 2 50 4 3 (2)∵cos A= ,∴sin A= . 5 5 1 1 3 由 S△ABC= bcsin A,得 3= ×2c× ,解得 c=5. 2 2 5 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,可得 4 a2=4+25-2×2×5× =13,∴a= 13. 5 18.(12 分)(2008· 海南、宁夏)

如图所示,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD 交 AC 于 E,AB=2. (1)求 cos∠CBE 的值; (2)求 AE. 解 (1)因为∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC=CD,

6? 2 4 AE AB (2)在△ABE 中,AB=2,由正弦定理得 , ? sin ?ABE sin ?AEB 1 2? AE 2 2sin 300 2 ? 6 ? 2, 即 ,故 AE= ? ? 0 0 0 0 0 sin(45 ? 15 ) sin(90 ? 15 ) cos15 6? 2 4
∴∠CBE=15°.∴cos∠CBE=cos(45° ? 30°) = 19.(12 分)(2009· 辽宁)如图,

A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测 量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°、 30°, 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的
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仰角均为 60°,AC=0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B、 D 的距离(结果保留根号). 解 在△ACD 中,∠DAC=30°,∠ADC=60° ? ∠DAC=30°,所以 CD=AC=0.1. 又∠BCD=180° ? 60° ? 60°=60°, 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA.

AB AC , ? sin ?BAC sin ?ABC AC sin 600 3 2 ? 6 3 2? 6 所以 AB= ,∴BD= ? (km). ? 0 sin15 20 20 3 2? 6 故 B、D 的距离为 km. 20
在△ABC 中, 20.(12 分)在△ABC 中,A 最大,C 最小,且 A=2C,a+c=2b,求此三角形三边之比. a c a sin A sin 2C 解 在△ABC 中,由正弦定理得 = , = = =2cos C, sin A sin C c sin C sin C 2 2 2 a +b -c a 即 cos C= .由余弦定理得 cos C= , 2c 2ab 1 a2-c2+ (a+c)2 4 a ∵2b=a+c,∴ = , 2c a+c 2a· 2 整理得 2a3-3a2c-2ac2+3c3=0, 3 即(a+c)(a-c)(2a-3c)=0,解得 a=-c(舍去),a=c 或 a= c, 2 ∵A>C,∴a>c,∴a=c 不合题意. 3 1 5 3 5 当 a= c 时,b= (a+c)= c,∴a∶b∶c= c∶ c∶c=6∶5∶4. 2 2 4 2 4 故此三角形的三边之比为 6∶5∶4. cos A 21.(12 分)在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,其中 c=10,且 cos B b 4 = = . a 3

(1)求证:△ABC 是直角三角形; (2)设圆 O 过 A、B、C 三点,点 P 位于劣弧 AC 上,∠PAB=60°.求四边形 ABCP 的面 积.

?

a c a sin A sin 2C . ? ? ? ? 2C , sin A sin C c sin C sin C a 2 ? b2 ? c2 整理为 sin Acos A=sin Bcos B,即 sin 2A=sin 2B. cos C ? 2ab 又∵ 2b ? a ? c ,∴0<A<B<π ,∴0<2A<2B<2π , ? ? ∴2A=π ? 2B,即 A+B= ,∴C=. ,故△ABC 是直角三角形. 2 2
(1)证明 根据正弦定理得

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(2)解

由(1)可得:a=6,b=8.

在 Rt△ABC 中,sin∠CAB=

∴sin∠PAC=sin(60° ? ∠CAB) =sin 60°·cos∠CAB ? cos 60°·sin∠CAB =

BC 3 4 ? ,cos∠CAB= . AB 5 5

3 4 1 3 1 ? ? ? ? 4 3 ?3 2 5 2 5 10

?

?
1 1 ab+ AP·AC·sin∠PAC 2 2

连结 PB,在 Rt△APB 中,AP=AB·cos∠PAB=5, ∴四边形 ABCP 面积 S=S△ACB+S△PAC= =24+

1 1 ×5×8× 4 3 ? 3 =18+8 3 . 2 10

?

?

22.(14 分)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a+b=5,c= 7, A+B 7 且 4sin2 -cos 2C= . 2 2 (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积. 解 (1)∵A+B+C=180° , A+B 7 由 4sin2 -cos 2C= , 2 2 7 2C 得 4cos -cos 2C= , 2 2 1+cos C 7 ∴4· -(2cos2C-1)= , 2 2 1 2 整理,得 4cos C-4cos C+1=0,解得 cos C= , 2 ∵0° <C<180° ,∴C=60° . (2)由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C, 即 7=a2+b2-ab,∴7=(a+b)2-3ab, 由条件 a+b=5,得 7=25-3ab,ab=6, 1 1 3 3 3 ∴S△ABC= absin C= ×6× = . 2 2 2 2

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