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知识讲解


双曲线及其标准方程 编稿:张林娟 【学习目标】 1.知识与技能: 从具体情境中抽象出双曲线的模型;掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形;能正确推导双曲线的标 准方程. 2.过程与方法: 学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图像和标准方程. 3.情感态度与价值观: 了解双曲线的实际背景, 感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用, 进一步感受数形

结合的 基本思想在解析几何中的作用. 【要点梳理】 要点一:双曲线的定义 把平面内到两定点 F1 、F2 的距离之差的绝对值等于常数 (大于零且小于 F1 F2 ) 的点的集合叫作双曲线. 定点 F1 、 F2 叫双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距. 要点诠释: 1. 双曲线的定义中,常数应当满足的约束条件:常数= PF1 ? PF2 ? F1F2 ,这可以借助于三角形中边的相 关性质“两边之差小于第三边”来理解; 2. 若常数分别满足以下约束条件,则动点的轨迹各不相同: 若 常数= PF1 ? PF2 ? F1 F2 (常数 ? 0 ) ,则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 F2 的一支; 若 常数= PF2 ? PF1 ? F1F2 (常数 ? 0 ) ,则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 F1 的一支. 若 常数= PF1 ? PF2 ? F1F2 ,则动点轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包括端点) ; 若 常数= PF1 ? PF2 ? F1F2 ,则动点轨迹不存在; 若 常数= PF1 ? PF2 =0 ,则动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线. 责编:孙永钊

要点二:双曲线的标准方程 1. 双曲线的标准方程

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b2 ; a 2 b2 y 2 x2 当焦点在 y 轴上时, 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b 2 a b
当焦点在 x 轴上时,

2. 标准方程的推导 如何建立双曲线的方程?根据求曲线方程的一般步骤,可分为 4 步:建系、设点、列式、化简. (1)建系 取过焦点 F1、F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系.

(2)设点 设 M(x,y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距是 2c(c>0),那么 F1、F2 的坐标分别是(-c,0)、(c,0). (3)列式 设点 M 与 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a. 由定义可知,双曲线就是集合:P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=± 2a}. ∵ | MF1 |? ( x ? c)2 ? y2 , | MF2 |? ( x ? c)2 ? y2 , ∴ ( x ? c)2 ? y2 ? ( x ? c)2 ? y2 ? ?2a (4)化简 将这个方程移项,得

( x ? c)2 ? y2 ? ( x ? c)2 ? y2 ? 2a
两边平方得:

( x ? c)2 ? y2 ? 4a2 ? 4a ( x ? c)2 ? y2 ? ( x ? c)2 ? y2
化简得:

cx ? a2 ? ?a ( x ? c)2 ? y2
两边再平方,整理得:

?c

2

? a 2 ? x2 ? a 2 y 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ?



(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导) 由于方程①形式较复杂,继续化简. 由双曲线定义, 2c>2a 即 c>a ,所以 c 2 ? a 2>0 .

0) , 令 c2 ? a2 ? b2 (b>

代入上式得: b2 x2 ? a2 y 2 ? a2b2 , 两边同除以 a 2b2 ,得:

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b2 . 2 a b 这就是焦点在 x 轴的双曲线的标准方程.
即 要点诠释:若在第(1)步中以“过焦点 F1、F2 的直线为 y 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 x 轴建立平面 直角坐标系”,就可以得到焦点在 y 轴的双曲线方程: 3. 两种不同双曲线的相同点与不同点

y 2 x2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b2 . 2 a b

平面内到两定点 F1 、 F2 的距离之差的绝对值等于常数(大于零 定义 且小于 F1 F2 )的点的集合

图形 不 同 点 标准方程 焦点坐标 相 同 点 焦点位置的判断 哪项为正,项的未知数就是焦点所在的轴 a、b、c 的关系

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) a 2 b2
F1 ? c, 0 ? , F2 ? c, 0?

y 2 x2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) a 2 b2
F1 ? 0,c ? , F2 ? 0,c ?
c2 ? a 2 ? b2

要点诠释: 1. 当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点, 对称轴是坐标轴, 双曲线的方程才是标准方程形式. 此时, 双曲线的焦点在坐标轴上. 2.双曲线标准方程中,a、b、c 三个量的大小与坐标系无关,是由双曲线本身所确定的,分别表示双 曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:c>a,c>b,且 c2=b2+a2. 3.双曲线的焦点总在实轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看 x2、y2 的系数,如果 x2 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上;如果 y2 项的系数是正的,那么焦点在 y 轴上. 4.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴 上.

要点三:椭圆、双曲线的区别和联系 1. 椭圆、双曲线的标准方程对照表: 椭圆 双曲线

图象

定义 a、b、c 关系

根据|MF1|+|MF2|=2a a2-c2=b2(a 最大) (a>c>0,b>0)

根据||MF1|-|MF2||=2a c2-a2=b2(c 最大) (0<a<c,b>0)

标准方程

x2 y 2 (焦点在 x 轴) ? ?1, a 2 b2 y 2 x2 (焦点在 y 轴) ? ?1, a 2 b2 其中 a>b>0

x2 y 2 (焦点在 x 轴) ? ?1, a 2 b2 y 2 x2 (焦点在 y 轴) ? ? 1, a 2 b2 其中 a>0,b>0,a 不一定大于 b)

标准方程的 统一形式

x2 y 2 ? ?1 m n (当 m ? 0, n ? 0, m ? n 时,表示椭圆;当 mn ? 0 时,表示双曲线)

2. 方程 Ax2+By2=C(A、B、C 均不为零)表示双曲线的条件 方程 Ax2+By2=C 可化为
x2 y 2 Ax2 By 2 ?1, ? ? 1 ,即 ? C C C C A B

所以只有 A、B 异号,方程表示双曲线. 当 当
C C ? 0, ? 0 时,双曲线的焦点在 x 轴上; A B C C ? 0, ? 0 时,双曲线的焦点在 y 轴上. A B

要点四:求双曲线的标准方程 ①待定系数法:由题目条件确定焦点的位置,从而确定方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程 中的参数 a 、 b 、 c 的值. 其主要步骤是“先定型,再定量”; ②定义法:由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程. 要点诠释:若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉,点的集合成为双曲线的一支,先确定方程类型,再 确定参数 a、b,即先定型,再定量. 若两种类型都有可能,则需分类讨论.

【典型例题】 类型一:双曲线的定义 例 1.已知点 F1(-4,0)和 F2(4,0),曲线上的动点 P 到 F1、F2 距离之差为 6,则曲线方程为( A. B. C. D. )

x y ? ?1 9 7 x2 y 2 ? ? 1 =1(y>0) 9 7 x2 y 2 x2 y 2 ? ?1或 ? ?1 9 7 7 9 x2 y 2 ? ? 1 (x>0) 9 7

2

2

【答案】 D 【解析】 由双曲线的定义知,点 P 的轨迹是以 F1、F2 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支,其方程

x2 y 2 ? ? 1 (x>0) 为: 9 7
【总结升华】 对于双曲线的定义必须抓住两点: 一是平面内到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数, 二是这个常数要小于 | F1F2 | ,若不满足这些条件,则其轨迹不是双曲线,而是双曲线的一支或射线或轨迹不 存在. 举一反三: 【变式 1】已知定点 F1(-2,0)、F2(2,0),平面内满足下列条件的动点 P 的轨迹为双曲线的是( A.|PF1|-|PF2|=± 3 C.|PF1|-|PF2|=± 5 【答案】A 【变式 2】已知点 F1(0,-13)、F2(0,13),动点 P 到 F1 与 F2 的距离之差的绝对值为 26,则动点 P 的 轨迹方程为( A.y=0 C.x=0(|y|≥13) ) B.y=0(x≤-13 或 x≥13) D.以上都不对 ) B.|PF1|-|PF2|=± 4 D.|PF1|2-|PF2|2=± 4 )

【答案】C 【变式 3】动圆与圆 x2+y2=1 和 x2+y2-8x+12=0 都相外切,则动圆圆心的轨迹为( A.双曲线的一支 B.圆 C.抛物线 D.双曲线 【答案】A

x2 y 2 ? ? 1 上一点, F1 , F2 双曲线的两个焦点,且 | PF1 |? 17, 求 | PF2 | 值 例 2. 已知 P 是双曲线 64 36
【解析】利用双曲线的定义求解. 【答案】在双曲线

x2 y 2 ? ? 1 中, a ? 8, b ? 6, 故 c ? 10 . 16 4

由 P 是双曲线上一点,得 || PF1 | ? | PF2 ||? 16 . ∴| PF2 |? 1, 或 | PF2 |? 33, 又 | PF2 |? c ? a ? 2, 得 | PF2 |? 33, 【总结升华】本题容易忽略 | PF2 |? c ? a ? 2, 这一条件,而得出错误的结论 | PF2 |? 1, 或 | PF2 |? 33 举一反三: 【变式 1】双曲线 积S . 【答案】16 【解析】

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线上,若 PF1 ? PF2 ,求 ?PFF 1 2 的面 9 16

x2 y 2 ? ? 1 中,a2=9,b2=16,c2=9+16=25,所以 a=3,b=4,c=5. 9 16

设 PF 1 ?r 1 , PF2 ? r2 ,由题意可知,

? ? r1 - r1 ? 6, ? 2 2 ? ?r1 ? r2 ? 100.
1? 2 2 2 r1 ? r2 ? - r1 - r1 ? =32 , ? ? ? 2 1 r1r1 =16 . 因为 ?PF 1F2 是直角三角形,所以 S = 2
所以 r1r1 ?

x2 y 2 AB 的长为 m , 【变式 2】 过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 另一焦点 F2 , 1 与左支相交的弦 a b
求 ?ABF2 的周长. 【解析】∵ | AF2 | ? | AF 1 |? 2a,| BF 2 | ? | BF 1 |? 2a ,且 | AF 1 | ? | BF 1 |? m , ∴ | AF2 | ? | BF2 |? 2a? | AF 1 | ?2a? | BF 1 |? 4a ? m ∴ ?ABF2 的周长为: | AF2 | ? | BF2 | ? | AB |? 4a ? 2m .
2 2 2 2 【变式 3】已知点 P(x,y)的坐标满足 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 4 ,则动点 P 的轨迹

是(

) B.双曲线中的一支 C.两条射线 D.以上都不对

A.椭圆 【答案】B

类型二:双曲线的标准方程 例 3.判断下列方程是否表示双曲线,若是,求出 a,b,c.

(1)

x2 y 2 ? ? 1; 4 2

(2)4 y 2 ? 9 x2 ? 36 ;

(3)6x2 ? 3y 2 ? 8 ;

x2 y 2 (6) x2 ? 15 y 2 ? ?15 . ? ?1 ; 3 4 【思路点拨】先看方程能否等价转化为双曲线的标准形式,若不能,则不能表示双曲线;反之,找出相应的
(4) ( x ? 5)2 ? y 2 ? ( x ? 5)2 ? y 2 ? 8 ; (5)

a2,b2,再利用 c2= a2+b2 得到 c 的值. 【解析】 (1)能. 该双曲线焦点在 x 轴上, a 2 =4, b 2 =2, c2 =a 2 ? b2 =6,所以 a=2,b= 2 ,c= 6 . (2)能. 双曲线可化为: (3)能. 双曲线可化为:
x2 y 2 4 8 2 4 ? ? 1 ,它的焦点在 x 轴上, a 2 = , b 2 = , c2 =a 2 ? b2 =4,所以 a= 6 ,b= 3, 4 8 3 3 3 3 3 3

x2 y 2 ? ? 1 ,它的焦点在 x 轴上, a 2 =9, b 2 =4, c2 =a 2 ? b2 =13. 所以 a=3,b=2,c= 13 . 9 4

c=2. (4)能. 该方程表示到定点(-5,0)和(5,0)的距离为 8,由于 8<10,所以表示双曲线,其中 a=4, c=5,则 b 2 =c 2 a 2 =9,所以 b=3. . (6)不能表示双曲线,这是椭圆的方程. (7)不能表示双曲线,该曲线不存在. 【总结升华】化双曲线 Ax2 ? By 2 ? C 为标准方程的步骤为: (1)常数化为 1: 两边同除以 C ,将双曲线化为 (2)分子上 x2,y 2 的系数化为 1: 利用 a ? b ?
b ,将双曲线化为 1 a
x2 y 2 ? ?1; C C A B x2 C A y2 C B y2 ?1; C B x2 ?1. C A

Ax2 By 2 ? ?1 ; C C

(3)注意符号: 若双曲线的焦点在 x 轴,则将双曲线化为

若双曲线的焦点在 y 轴,则将双曲线化为

举一反三: 【变式 1】双曲线方程为 x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为(

)

2 ,0) 2 6 C.( ,0) 2

A.(

B.(

5 ,0) 2

D.( 3 ,0)

【答案】C 【解析】将双曲线方程化为标准方程为 x 2-
y2 =1 , 1 2 6 1 ∴a2=1,b2= ,∴ c ? a2 ? b2 = , 2 2 6 故右焦点的坐标为( ,0). 2

【变式 2】若双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦距为 6,则 k=______. 【答案】 ?1 【解析】
x2 1 k x2 当 k<0 时,双曲线的标准方程为 8 k

当 k>0 时,双曲线的标准方程为

1 8 3 y2 ? 3 ,解得 k=1; ? 1 ,此时 a 2 ? ,b 2 ? ,c ? a 2 ? b 2 ? 8 k k k k 8 1 3 y2 ? 3 ,解得 k= ? 1 ,此时 a 2 ? ,b 2 ? ,c ? a 2 ? b 2 ? 1 k k k k

-1. 所以 k 的值为 ?1 . 例 4.已知双曲线的两个焦点 F1、F2 之间的距离为 26,双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为 24,求双曲线的标准方程. 【解析】由题意得 2a=24,2c=26. ∴ a=12,c=13,b2=132-122=25. 当双曲线的焦点在 x 轴上时,双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1; 144 25 y 2 x2 ? ? 1. 144 25

当双曲线的焦点在 y 轴上时,双曲线的方程为

【总结升华】求双曲线的标准方程就是求 a2、b2 的值,同时还要确定焦点所在的坐标轴.双曲线所在 的坐标轴,不像椭圆那样看 x2、y2 的分母的大小,而是看 x2、y2 的系数的正负. 举一反三: 【高清课堂:双曲线的方程 357256 例 1】 【变式 1】求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)已知两焦点 F1 (?5,0), F2 (5,0) ,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于 8. (2)双曲线的一个焦点坐标为 (0, ?6) ,经过点 A(?5, 6) .

【答案】 (1)

x2 y 2 y 2 x2 ? ?1. ? ?1; (2) 16 20 16 9
x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2, 2) 的双曲线的标准方程. 16 4

【变式 2】求与双曲线

【答案】 【解析】

x2 y 2 ? ?1 12 8

解法一:依题意设双曲线方程为

y2 x2 - =1 a2 b2

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由已知得 a 2 ? b2 ? c 2 ? 20 ,

(3 2) 2 4 又双曲线过点 (3 2, 2) ,∴ ? 2 ?1 a2 b
?a 2 ? b 2 ? 20 2 ? ? ?a ? 12 2 ?? 2 ∴ ? (3 2) 4 ? ? 1 ? ?b ? 8 ? b2 ? a2
故所求双曲线的方程为

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x2 y 2 ? ?1. 12 8

x2 y2 ? ? 1, 解法二:依题意设双曲线方程为 16 ? k 4 ? k
将点 (3 2, 2) 代入

x2 y2 ? ? 1 ,解得 k ? 4 , 16 ? k 4 ? k x2 y 2 ? ?1. 12 8

所以双曲线方程为 类型三:双曲线与椭圆 例 5.讨论

x2 y2 ? ? 1 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征. 25 ? k 9 ? k x2 y 2 ? ?1: m n

【思路点拨】 观察题目所给方程是关于 x, y 的二次形式, 故只可能表示椭圆或双曲线. 对于
? m ? 0, ? 当 ? n ? 0, 时,方程表示椭圆;当 mn ? 0 时,方程表示双曲线. ? m ? n. ?

【解析】(1)当 k<9 时,25-k>0,9-k>0,所给方程表示椭圆,

由于 25-k>9-k,c2=a2-b2=16,所以这些椭圆的焦点都在 x 轴上,且焦点坐标都为(-4,0)和(4, 0) . (2)当 9<k<25 时,25-k>0,9-k<0,

x2 y2 ? ?1. 25 ? k k ? 9 此时,a2=25-k,b2=k-9,c2=a2+b2=16,这些双曲线也有共同的焦点(-4,0),(4,0). (3)当 k>25 时,所给方程没有轨迹. 【总结升华】椭圆和双曲线都是二次曲线系,注意它们各自定义在方程中的区别,它们 a,b,c 的关系 区别.
所给方程表示双曲线,其标准方程为 举一反三: 【变式 1】设双曲线方程与椭圆 的纵坐标为 4,求双曲线的方程. 【答案】

x2 y 2 ? ? 1 有共同焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点为 A,且 A 27 36

y 2 x2 ? ?1 4 5

【变式 2】若双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (M>0,n>0)和椭圆 ? ? 1 (a>b>0)有相同的焦点 F1,F2,M 为两 m n a b

曲线的交点,则|MF1|· |MF2|等于________. 【答案】 a-M 【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得 |MF1|-|MF2|= ?2 m |MF1|+|MF2|= 2 a
2 2

① ②

② -① 得,4|MF1|· |MF2|=4a-4M, ∴|MF1|· |MF2|=a-M. 类型四:双曲线方程的综合应用 【高清课堂:双曲线的方程 357256 例 2】 例 7. 已知 A,B 两地相距 2000 M,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 4 s,且已知当时的声速是 330 M/s,求炮弹爆炸点所在的曲线方程. 【解析】由题知爆炸点 P 应满足 | PA | ? | PB |? 330 ? 4 ? 1320 ? 2000 , 又 | PA |?| PB |, 所以点 P 在以 AB 为焦点的双曲线的靠近于 B 点的那一支上. 以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系,
2a ? 1320, 2c ? 2000 得 a ? 660, c ? 1000,

∴b2 ? c 2 ? a 2 ? 564400

x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 435600 564400 【总结升华】应用问题,应由题干抽象出数学问题即数学模型,在解决数学问题之后,再回归到实际应
∴ 点 P 所在曲线的方程是 用中. 举一反三:

【变式】设声速为 a 米/秒,在相距 10a 米的 A,B 两个观察所听到一声爆破声的时间差为 6 秒,且记 录 B 处的声强是 A 处声强的 4 倍,若已知声速 a ? 340 米/秒,声强与距离的平方成反比,试确定爆炸 点 P 到 AB 中点 M 的距离. 【答案】 340 65 米


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