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高中数学选修1-1模块考试题


数学试题(选修 1-1)
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1. “ sin A ?
1 ”是“ A ? 30? ”的( 2

6. 若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆
A. ?2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2
C. ?4

D. 4



B. 2


B.必要而不充分条件

7.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于(
3 2 3 3
1 2 1 3



A.充分而不必要条件

A. C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

B.

C.

D.

8.已知两点 F1 (?1,0) 、 F (1,0) ,且 F1 F2 是 PF1 与 PF2 的等差中项,则动点 P 的轨迹方程 2. “ mn ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny2 ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线”的(
A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

) 是( )
x2 y2 ? ?1 A. 16 9 x2 y2 ? ?1 B. 16 12 x2 y2 ? ?1 C. 4 3 x2 y2 ? ?1 D. 3 4

C.充分必要条件
3 2

D.既不充分也不必要条件

3.命题“对任意的 x ? R,x ? x ? 1≤ 0 ”的否定是(
A.不存在 x ? R,x ? x ? 1≤ 0
3 2 3

9.设曲线 y ? ax2 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? ( )
A. 1 B.
2



B.存在 x ? R,x ? x ? 1≤ 0 D.对任意的 x ? R,x ? x ? 1 ? 0
3 2

1 2

C. ?

1 2

D. ? 1

C.存在 x ? R,x ? x ? 1 ? 0
3 2

1 10.抛物线 y ? ? x 2 的准线方程是 8
A. x ?

(
C. y ?

)

x2 y2 ? ? 1 的焦距为( 4.双曲线 10 2
A. 2 2 B. 4 2



1 32

B. y ? 2

1 32

D. y ? ?2

11.双曲线
C. 2 3 D. 4 3 A. y ? ?

x2 y2 ? ? ?1 的渐近线方程是( 4 9
B. y ? ?



5. 设 f ( x) ? x ln x ,若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? (
A. e
2


ln 2 C. 2
D. ln 2

2 x 3

4 x 9

C. y ? ?

3 x 2

D. y ? ?

9 x 4

12.已知对任意实数 x ,有 f (?x) ?? f (x), g( ?x) ? g( x)
x ? 0 时(
高二数学(文科) 第 1 页

,且 x ? 0 时 f '( x) ? 0, g '( x) ? 0 ,则

B. e



A. f '( x) ? 0, g '( x) ? 0 C. f '( x) ? 0, g '( x) ? 0

B. f '( x) ? 0, g '( x) ? 0 D. f '( x) ? 0, g '( x) ? 0

(2)抛物线的焦点是双曲线 16x 2 ? 9 y 2 ? 144的左顶点. 19(本小题满分 10 分)
x2 y2 ? ? 1 ,求以点 P(4,2) 为中点的弦所在的直线方程. 已知椭圆 36 9

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? mx ? 1 是 R 上的单调函数,则 m 的取值范围为 .

20(本小题满分 10 分) 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千米 /小时)的函数解析式可以表示为: y ? 相距 100 千米. (1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 21(本小题满分 10 分)
x2 y 2 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1 (?2,0) 、 F2 (2,0) 点 P(3, 7 ) 在双 a b
1 3 x3 ? x ? 8(0 ? x ? 120 ) .已知甲、乙两地 128000 80

14. 已知 F1、F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 25 9

F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB = _____________
x2 y2 ? ? ?1 的离心率是 3 ,则 n = 15.已知双曲线 n 12 ? n

.

16.命题 p :若 0 ? a ? 1 ,则不等式 ax2 ? 2ax ? 1 ? 0 在 R 上恒成立,命题 q : a ? 1 是函数
f ( x ) ? ax ? 1 在 (0,??) 上单调递增的充要条件;在命题①“ p 且 q ” 、 x

②“ p 或 q ”、③“非 p ” 、④“非 q ”中,假命题是 三.解答题(本大题共 5 小题,共 40 分)

,真命题是

.

17、已知函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8 在 x ? 1 及 x ? 2 处取得极值. (1)求 a 、 b 的值;(2)求 f ( x) 的单调区间. 18(本小题满分 10 分) 求下列各曲线的标准方程
2 ,焦点在 x 轴上的椭圆; 3

曲线 C 上. (1)求双曲线 C 的方程; (2)记 O 为坐标原点,过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,若△ OEF 的面积为 2 2, 求直线 l 的方程.

(1)实轴长为 12,离心率为

高二数学(文科)

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参考答案
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1-6 BBCDBD 7-12 ACABCB 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 1 13. [ ,?? ) 14. 8 15. ? 12 或 24 16. ①、③, 3 三.解答题(本大题共 5 小题,共 48 分) 17(本小题满分 8 分) 解: (1)由已知 f ?( x) ? 6x 2 ? 6ax ? 3b 因为 f (x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 处取得极值,所以 1 和 2 是方程 f ?( x) ? 6 x 2 ? 6ax ? 3b ? 0 的两根 故 a ? ?3 、 b ? 4 (2)由(1)可得 f ( x) ? 2 x 3 ? 9 x 2 ? 12x ? 8 当 x ? 1 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , f (x ) 是增加的;

所以椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 36 20 x2 y2 ? ? 1 ,其左顶点为 (?3,0) 9 16
p ,0) , 2

(2)由已知,双曲线的标准方程为 ②、④.

设抛物线的标准方程为 y 2 ? ?2 px( p ? 0) , 其焦点坐标为 ( ? 则
p ?3 2

即p?6

所以抛物线的标准方程为 y 2 ? ?12x .

19(本题满分 10 分) 解:设以点 P(4,2) 为中点的弦的两端点分别为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) , 由点 A 、 B 在椭圆
x2 y2 ? ? 1 上得 36 9
2 2 x2 y 2 ? ?1 36 9 2 2 x12 ? x2 y12 ? y 2 ? ?0 36 9

f ?( x) ? 6x 2 ? 18x ? 12 ? 6( x ? 1)(x ? 2)

x12 y12 ? ?1 36 9

两式相减得: 当 1 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , f (x ) 是减少的。 所以, f (x ) 的单调增区间为 (??,1) 和 ( 2,??) , f (x ) 的单调减区间为 (1,2) . 18 (本小题满分 10 分)
x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
2 2

2 2 2 2 即 4( y1 ? y2 ) ? ?( x1 ? x2 )

? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )
由 x1 ? x2 ? 8, y1 ? y2 ? 4

显然 x1 ? x2 不合题意,? x1 ? x2
? k AB ?

解: (1)设椭圆的标准方程为 由已知, 2a ? 12 , e ?
2 2

y1 ? y2 x ? x2 8 1 ?? 1 ?? ?? x1 ? x2 4( y1 ? y2 ) 4?4 2

c 2 ? a 3
2

1 所以,直线 AB 的方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 4) 2

即所求的以点 P(4,2) 为中点的弦所在的直线方程为 x ? 2 y ? 8 ? 0 .

? a ? 6, c ? 4, b ? a ? c ? 20
20(本小题满分 10 分)
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(I)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了

100 ? 2.5 小时, 40

1 3 ? 40 3 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 (升) 耗油 ( 128000 80

? a 2 ? b2 ? 4 ? 2 ( 7 )2 ?3 ? ?1 ?a2 b2 ?

解得 a 2 ? 2, b 2 ? 2

答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升. (2) 当速度为 x 千米/小时时, 汽车从甲地到乙地行驶了
100 小时, 设耗油量为 h(x) 升, x

所以,双曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 2 2

(Ⅱ)由题意直线 l 的斜率存在,故设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2
? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 ?

1 3 100 1 800 15 x3 ? x ? 8) ? ? ? ? (0 ? x ? 120 ) 依题意得 h( x) ? ( 128000 80 x 1280 x 4

得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 4kx ? 6 ? 0

则 h?( x) ?

x 800 x 3 ? 803 ? 2 ? (0 ? x ? 120) 640 x 640x 2

设直线 l 与双曲线 C 交于 E( x1 , y1 ) 、 F ( x2 , y2 ) ,则 x1 、 x2 是上方程的两不等实根,
?1 ? k 2 ? 0 且 ? ? 16k 2 ? 24(1 ? k 2 ) ? 0 即 k 2 ? 3 且 k 2 ? 1

令 h?( x) ? 0 得 x ? 80 当 x ? (0,80) 时, h?( x) ? 0 , h(x) 是减函数; 当 x ? (80,120) 时, h?( x) ? 0 , h(x) 是增函数. 故当 x ? 80 时, h(x) 取到极小值 h(80) ? 11.25 因为 h(x) 在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小值. 答: 当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最少, 最少为 11 .25 升. 21(本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ)由已知 c ? 2 及点 P(3, 7 ) 在双曲线 C 上得



这时 x1 ? x 2 ? 又 S ?OEF ?

4k 6 , x1 ? x2 ? ? 2 1? k 1? k2

1 1 OQ ? x1 ? x2 ? ? 2 ? ?1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 2 2 2 2 4k 2 24 ?( ) ? ?8 2 1? k 1? k2

即 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1x2 ? 8 所以

? 3 ? k 2 ? (k 2 ? 1) 2

即k4 ? k2 ? 2 ? 0

?(k 2 ? 1)(k 2 ? 2) ? 0
又 k2 ?1 ? 0
?k 2 ? 2 ? 0

?k ? ? 2

适合①式

所以,直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 与 y ? ? 2 x ? 2 .

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另解:求出 EF 及原点 O 到直线 l 的距离 d ?

2 1? k
2

,利用 S ?OEF ?

1 EF ? d ? 2 2 求解. 2

2 或求出直线 y ? kx ? 2 与 x 轴的交点 M (0,? ) ,利用 k

S?OEF ?

k ( x1 ? x2 ) 1 OM ? y1 ? y2 ? ? x1 ? x2 ? 2 2 求解 2 k

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