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11.2学直线的倾斜角和斜率e


11.2 直线的倾斜角和斜率

1.直线倾斜角的概念
(1)若直线 l 与 x 轴相交于点,将 x 轴绕点逆 时针方向旋转至与直线 l 重合时所成的最小正角 叫做直线的倾斜角. (2)当直线 l 与 x轴平行或重合(即 l 与 y 轴 垂直)时,规定其倾斜角 ? ? 0 . 直线的倾斜角 ? 的取值范围是 [0, ? )
? 特别地, l 与 x轴垂直时,
?

?
2

.

2.斜率 (1)当 ?
?

?
2

时,记 ? 的正切值为 k ,

把 k ? tan ? 叫做直线 l 的斜率;

(2)当
深化概念

? ?

?

时,直线 l 的斜率 k不存在. 2
?
k ? [0, ??)
2

(1) 0 ? ? ?

随着倾斜角? 的不断增大,直线斜率不断增大。 ? ?? ?? (2) k ? (??, 0)
2

随着倾斜角 ? 的不断增大,直线的斜率不断增大。

问题 直线的倾斜角、斜率、方向向量之间有什么关系? 已知其中一个可以求其它两个吗? (1)已知倾斜角 ? 当?
?

?
2

时, ? tan ? ;当 ? k

?

?
2

时,斜率 k 不存在.

方向向量

? d ? (r cos ? , r sin ? ), r ? 0

问题 直线的倾斜角、斜率、方向向量之间有什么关系? 已知其中一个可以求其它两个吗? (2)已知斜率 k( ? ? 当 k ? 0 时, ? ? [0, )
2

?
2

) 故倾斜角 ? ? arctan k 故 ? ? ? ? arctan k

?

当 k ? 0 时,? ? ( , ? )
2

?

由于 ?

?

?
2

? ,直线的一个方向向量 d ? (1, k )

问题 直线的倾斜角、斜率、方向向量之间有什么关系? 已知其中一个可以求其它两个吗?
? (3)已知一个方向向量 d ? (u , v)

当u ? 0 时,直线垂直 当 u ? 0时

k ?

v u

x 轴, k 不存在,? ? 2
v u

?

倾斜角的研究要根据 k

?

的符号讨论

拓展问题

思考:法向量,倾斜角,斜率又有何关系?

例1.已知直线 l 上两点 A , B ,求直线 l 的斜率 k 和倾斜角 ? .
(1) A (1, 3 ), (3)
B (5 , ? 1)

(2)

A (1, 2 ) , B (1, ? 1)

A ( 0 , 5 ) , B ( ? 1, 5 )

一般,当

x1 ? x 2

时,过两点 A ( x 1 , y 1 ),
y 2 ? y1 x 2 ? x1

B ( x2 , y2 )



直线的斜率 k 当

?



x 1 ? x 2 时,直线斜率不存在.

0 例2.已知直线 l 的倾斜角为 ? , ? ?

? ? ,? ?

?
2

且通过点N( x 0 , y 0 ) ,求直线 l 的方程 点斜式方程: y ? y0 ? k ( x ? x0 )

例3.(1)已知直线斜率 k ? ? 2 ,求倾斜角? 及一个方向向量;

(2)已知直线

? l 的一个方向向量为 d ? (

3 , ? 3) ,

求直线 l 的倾斜角和斜率.

例4.已知 M ( ? 1, ? 5 ), N (3, ? 2 ) ,若直线 l 的倾
斜角是直线 M N 的倾斜角的一半, 求直线 l 的斜率.
ta n 2 ? ? k M N ?
2

?2 ? (?5) 3 ? ( ? 1)

?

3 4

,?

2 ta n ? 1 ? ta n
2

? a

3 4

3 ta n ? ? 8 ta n ? ? 3 ? 0

ta n ? ? ? 3 或 1 3

1 3

? ? [0,

?
2

)

ta n ? ?

例5. 已知 M ( 2 m ? 3, m ), N ( m ? 2 ,1) , 当 m 取何值时,直线 M N 的倾斜角为锐角、 直角、钝角?
m ? 1 或 m ? ?5 m ? ?5 ?5 ? m ? 1

例6. 求直线 y ? x sin ? ? 1 的倾斜角的范围
[0,

?
4

]? [

3 4

? ,? )

例7.已知

P ( 3 , ? 1) , M ( 5 , 1) , N ( 2 ,

3 ? 1)



直线 l 过点 P 且与线段 M N 相交, 求(1)直线 l 的斜率 k 的取值范围; (2)直线 l 的倾斜角 ? 的范围.

(1)

k PM ?

1 ? ( ? 1) 5?3

? 1, k P N ?

3 2?3

? ?

3 , 故 k ? (?? , ?

3 ] ? [1, ? ? )

(2) ?

? [

?
4

,

2 3

?]

练习 3 1.已知直线的倾斜角为 ? ,且 c o s ? ? , 5 求直线的斜率. 2.求经过点两点 A ( ? 2 , 0 ), B (5 , 3 ) 的直线的斜率 和倾斜角. 3.过 A (1 ? a ,1 ? a ), B (3, 2 a ) 的直线的倾斜角为钝角, a 求实数 的取值范围 4.求直线 x ? y c o s ? ? 8 ? 0 (? ? R ) 的倾斜角的取值范围 5.过 P ( ? 1, ? 3 ) 的直线 l 与 y 轴的正半轴没有公共 点,求直线 l 的倾斜角的范围.

练习 3 1.已知直线的倾斜角为 ? ,且 c o s ? ? , 4 5 3 求直线的斜率. 2.求经过点两点 A ( ? 2 , 0 ), B (5 , 3 ) 的直线的斜率 3 3 和倾斜角. arctan 7 7 3.过 A (1 ? a ,1 ? a ), B (3, 2 a ) 的直线的倾斜角为钝角, a 求实数 的取值范围 a ? (?2,1) 4.求直线 x ? y c o s ? ? 8 ? 0 (? ? R ) ? 3? 的倾斜角的取值范围 [ , ] 5.过 P ( ? 1, ? 3 ) 的直线 l 与 y 轴的正半轴没有公共 点,求直线 l 的倾斜角的范围. ? ?
[0, ] ?[ ,? ) 3 2 4 4

练习
3.下列命题中正确的是__________ (1)若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也 一定相等; (2)若两直线的斜率相等,则它们的倾斜角也 一定相等; (3)若两直线的倾斜角不相等,则它们中倾斜角 大的,斜率也大; (4)若两直线的斜率不相等,则它们中斜率大的, 倾斜角也大.

1. 做在书上 布置作业 练习册P3 1-4 2.(交)做在作业本上 练习册P3 5,6 补充
1.△ABC的三个顶点坐标分别为A(-1,2),B(3,-1),C(-5,3),D 1 是BC上一点,若 S ,求D的坐标。 ? S 2.已知
? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 1 ,且 a ? b ? c ? 0 ,求a
? ABD

4?

? ABC

? 与b
1

的夹角。

3.已知数列? a n ? 是等差数列,它的首项是 2 5 ,从第10项 开始均是比1大得数。求公差d 的取值范围。 2 a n ? 满足 a ? 1 4 , a ? a ? 4. 已知数列? ,求使a n ? a n ? 2 ? 0 成 3 n 值。 立的
1 n ?1 n

1 .(1, 0 )

2 .1 2 0 ?

3 .(

8

,

3

]

4.21

75 25

1. 做在书上 布置作业 书P11 1-3 练习册P4 1-4 P6 1,2 2.(交)做在作业本上练习册P4 5 P6 3 补充 1.已知O为原点,点A、B的坐标分别为(a,0),(0,a)其中常 ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 数a>0,点P在线段AB上,且 A P ? t ? A B ( 0 ? t ? 1) ,求 O P ? O A 的 最大值。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a 2. 若 ? i ? 2 j , b ? ? 3 i ? 2 j , x ? m a ? b , y ? a ? 3 b ,当 x , y 的夹 角为钝角,求实数m 的取值范围。 3. ? 1 x ? ? ? m m ? ,求 x 的值。
2

? ?x

? 1?

? ?m

? m?

4.方程组 ? a x ? 6 y ?

? 15

有无穷多解,求 a , b 的值。
1 .a
2

? 4 x ? by ? 2

2 .m ? 1 9 , m ? ?

1 3

3 .1

4. a ? 30, b ? ?

4 5

布置作业

1. 做在书上 书P13 1-4 P15

3

2.(交)做在作业本上 书P15 1,2 补充 1.在等差数列? a ?中,已知 a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? 2 4 , a 1 7 ? a 1 8 ? a 1 9 ? 7 2 , 求 a 的值。 ???? 2. 已知点P(1,2),Q(2 c o s ? , 2 s in ? ),求?P Q 的取值范围。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设向量a , b , c 满足 a ? b ? c ? 0 ,且 a ? b , a ? 1, b ? 2 ,求 c 的值。 ? 3x ? my ? m ? 2 4.解方程组 ?
n

10

?mx ? 3 y ? 2m ? 1

1 .8

2 .[

5 ? 2,

5 ? 2] 3. 5

2 ( m ? 1) ? x ? t x ? ? ? ? ? m ?3 4 .(1) m ? ? 3, ? (2) m ? 3 ? 5 ? 3 t ( t ? R )(3 ) m ? ? 3, 无 解 ? y ? m ?1 ?y ? 3 ? ? m ?3 ?

布置作业

1. 做在书上 练习册P5 9-12

2.(交)做在作业本上 练习册P5 6,7,8 补充 2 a n ? n ? k n , 对任意正整数n,都有 a ? a ? a 恒成立 1. 数列? 中, 求实数k的取值范围。 ? ? ? ? ? ? 2. 已知 a ? 2 , b ? 3, a ? b ? 7 ,求(1) , b 的夹角 a ? ? (2) 在 b 上的投影。 a
n

n ?1

n

4 ? 1 3.已知 A ? ? ? 1 ? 2 ? ? 4? 1 1 2 ? ??
1 .k ? ? 3 2 ? ? ? 2 . ,1 3 . 0 ? 3 ? 3 ? ? ? 2 ? 5 2 3 2

3? ? 2 ? ? 2 , B ? ?1 ? ? ? 1 2 ?? 1? ? ?
? ? ?1 ? ? 1 ? ? 2 ?

0 3 ?2

1? ? 4 , A ? 2C ? B ? 1? ?

,求C

布置作业
(交)做在作业本上 练习册P6 4,5,6


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