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【高考精品复习】选修4-1 几何证明选讲 第2讲 圆周角定理与圆的切线


第2讲 【高考会这样考】 圆周角定理与圆的切线 考查圆的切线定理和性质定理的应用. 【复习指导】 本讲复习时, 牢牢抓住圆的切线定理和性质定理,以及圆周角定理和弦切角等有 关知识,重点掌握解决问题的基本方法. 基础梳理 1.圆周角定理 (1)圆周角:顶点在圆周上且两边都与圆相交的角. (2)圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧度数的一半. (3)圆周角定理的推论 ①同弧(或等弧)上的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. ②半圆(或直径)所对的圆周角是 90° ;90° 的圆周角所对的弦是直径. 2.圆的切线 (1)直线与圆的位置关系 直线与圆交点的个 数 相交 相切 相离 (2)切线的性质及判定 ①切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. ②切线的判定定理 过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线. (3)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线长相等. 3.弦切角 (1)弦切角:顶点在圆上,一边与圆相切,另一边与圆相交的角. 两个 一个 无 直线到圆心的距离 d 与圆的半径 r 的关 系 d<r d=r d>r (2)弦切角定理及推论 ①定理:弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半. ②推论:同弧(或等弧)上的弦切角相等,同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等. 双基自测 1.如图所示,△ABC 中,∠C=90° ,AB=10,AC=6,以 AC 为直径的圆与斜边交于点 P,则 BP 长为________. 解析 连接 CP.由推论 2 知∠CPA=90° ,即 CP⊥AB,由射影定 理知,AC2= AP· AB.∴AP=3.6,∴BP=AB-AP=6.4. 答案 6.4 2.如图所示,AB、AC 是⊙O 的两条切线,切点分别为 B、C,D 是优弧 BC 上的点,已知∠BAC=80° , 那么∠BDC=________. 解析 连接 OB、OC,则 OB⊥AB,OC⊥AC,∴∠BOC=180° -∠ BAC=100° , 1 ∴∠BDC=2∠BOC=50° . 答案 50° 3.(2011· 广州测试(一))如图所示,CD 是圆 O 的切线,切点为 C, 点 A、 B 在圆 O 上, BC=1, ∠BCD=30° , 则圆 O 的面积为________. 解析 连接 OC,OB,依题意得,∠COB=2∠CAB=2∠BCD= 60° ,又 OB=OC, 因此△BOC 是等边三角形, OB=OC=BC=1,即圆 O 的半径为 1, 所以圆 O 的面积为 π×12=π. 答案 π 4.(2011· 深圳二次调研)如图,直角三角形 ABC 中,∠B=90° , AB=4,以 BC 为直径的圆交 AC 边于点 D,AD=2,则∠C 的大 小为________. 解析 连接 BD,则有∠ADB=90° .在 Rt△ABD 中,AB=4,AD=2,所以∠A= 60° ;在 Rt△ABC 中,∠A=60° ,于是有∠C=30° . 答案 30° 5.(2011· 汕头调研)如图,MN 是圆 O 的直径,MN 的延长线与 圆 O 上过点 P 的切线 PA 相交于点 A,若∠M=30° ,AP=2 3, 则圆 O 的直径为________. 解析 连接 OP,因为∠M=30° ,所以∠AOP=60° ,因为 PA 切圆 O 于 P,所以 AP 2 3 OP⊥AP,在 Rt△ADO 中,OP= =tan 60° =2,故圆 O 的直径为 4. tan ∠AOP 答案 4 考向一 圆周角的计算与证明 【例 1】?(2011· 中山


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