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吉林省东北师范大学附属中学净月校区2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理


2015---2016 学年(高二)年级上学期期中考试(数学理)学科试卷
说明:1、此试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。 2、 满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个 正确选项) .... 1.下列所给出的赋值语句中

正确的是() A. ?5 ? x B. x ? y ? 1
?

C. y ? ? y
?

D. x ? y ? 1
? ?

2.若向量 a ? (?1,0,1) ,向量 b ? (2,0, k ) ,且满足向量 a // b ,则 k 等于() A. 1 B. ? 1 C. 2 D. ? 2

3.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2 ,一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦 a 2 b2

点相同,则双曲线的渐近线方程为() A. y ? ?

3 x 2

B. y ? ? 3x C. y ? ? )

3 x 3

D. y ? ?

3 x 2

4. 下列有关命题的说法正确的是(

2 2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”

B.“ x ? ?1 ”是“ x2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件 C.命题“ ?x ? R ,使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均有 x2 ? x ? 1 ? 0 ” D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题 5.已知平面 ? 的法向量为 n ? (2, ?2,4), AB ? (?3,1,2) ,点 A 不在 ? 内,则直线 AB 与平 面的位置关系为 ( ) A. AB ? ? B. AB ? ? C. AB 与 ? 相交不垂直 D. AB / /?
2 6.已知 p : ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 , q : ?x ? ? 0, ?? ? , sin x ? 1 ,则下列命题为真命题的

?

??? ?

是() A. p ? q

B. ? p ? q

C. p ? ? q

D.? p ? ? q

7.过抛物线的焦点 F 的直线交该抛物线于点 A.若|AF|=3,则点 A 的坐标为() A. (2, 2 2 ) B. (2, ? 2 2 )C. (2, ? 2 2 ) D. (1,?2)

1

8.直线 y ? kx ? k ? 1 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的位置关系为() 9 4

A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 9.设 ? , ? , ? 为不同的平面, m, n, l 为不同的直线,则 m ? ? 的一个充分条件为() . A. ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? l B. ? ? ? ? m , ? ? ? , ? ? ? C. ? ? ? , ? ? ? , m ? ? D. n ? ? , n ? ? , m ? ? 10.下图是一算法的程序框图,若此程序运行结果为 S ? 720 ,则在判断框中 应填入关于 k 的判断条件是() A. k ? 6 ? B. k ? 7 ? C. k ? 8 ? D. k ? 9 ? 11.如图,空间四边形 ??? C 中, ?? ? a , ?? ? b , ?C ? c ,点 ? 在

????

?

??? ?

?

??? ?

?

???? ? ???? ? 2 ???? ?? 上,且 ?? ? ?? ,点 ? 为 ? C 中点,则 ?? 等于() 3 1? 2? 1? 2? 1? 1? A. a ? b ? c B. ? a ? b ? c 2 3 2 3 2 2 1? 1? 1? 2? 2? 1? C. a ? b ? c D. a ? b ? c 2 2 2 3 3 2
12.已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,若双曲线右支上存在一点 a 2 b2

(

a 2 ab bx , ? ) 与点 F1 关于直线 y ? ? 对称,则该双曲线的离心率为() a c c
5 C.2 2
D. 2

A. 5 B.

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.“ m ? ?1 ”是“方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线”的一个条件. 2 ? m 1? m

14.执行如图所示的程序框图,其输出的结果是.

x2 ? y 2 ? 1两个焦点分别是 F1 , F2 ,点 P 是椭圆上任意一点,则 15.椭圆 4
???? ???? ? PF1 ? PF2 的取值范围是.

2

16.已知 P 为抛物线 x 2 ? 4 y 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M,点 A 的 坐标是 (2, 0) ,则 | PA | ? | PM | 的最小值为__________.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)

q : x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 .若 ? p 是 ? q 的必要而不充分条件, 设 p : 4x ? 1 ? 1 ;
求实数 a 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中, AB ? AC , AB ? AC ? 2 ,

AA1 ? 4 ,点 D 是 BC 的中点.
(I)求异面直线 A 1B 与 C1 D 所成角的余弦值; (II)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值. 19.(本小题满分 12 分) 已知曲线 C 上任意一点 M 满足 | MF1 | ? | MF2 |? 4 , 其中 F 1 ( 0,- 3), F 2 ( 0,3 ), (I)求曲线 C 的方程; (II)已知直线 l : y ? kx ? 3 与曲线 C 交于 A,B 两点,是否存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形,

AD ∥ BC ,

?BAD ? 90? , PA ⊥底面 ABCD ,且 PA ? AD ? AB ? 2 BC ? 2 , M 、 N 分别为 PC 、 PB 的中点.
(I)求证: PB ? 平面ADMN ; (II)求 BD 与平面 ADMN 所成的角; (III)点 E 在线段 PA 上,试确定点 E 的位置,使二面角 A ? CD ? E 为 45 ? .

21. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上任意一点到两焦点 F1 , F2 距离之和为 4 2 ,离心率 a b
3



3 . 2
(I)求椭圆的标准方程; (II)若直线 l 的斜率为

1 ,直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点.点 P(2,1) 为椭圆上一点, 2

求△PAB 的面积的最大值.

22. (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆

x2 y2 2 的离心率为 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、 ? ? 1( a > b > 0) a2 b2 2

右焦点 F1 , F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2 ? 1) . 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦 点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A 、B 和 C 、D . (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k2 ,证明 k1· k2 ? 1 ; (Ⅲ)探究

1 1 是否是个定值,若是,求出这个定值;若 ? AB CD

不是,请说明理由.

4

2015---2016 学年(高二)年级上学期 期中考试(数学理)学科答案 命题人:赵乾 说明:1、此试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。 2、 满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个 正确选项) .... 1. 【答案】C 【解析】 试题分析:赋值语句用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句,根据特点只有 C 符合 考点:赋值语句 2. 【答案】D 【解析】 试题分析:由题意可得, b = - 2a ,从而可得 k = - 2 ,故答案为 D. 考点:空间向量共线的条件. 3. 【答案】B 【解析】 试题分析: 由于抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点为 F (4, 0) , 又因为双曲线

?

?

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

的 一 个 焦 点 与 抛 物 线 y 2 ? 16 x 的 焦 点 相 同 , 所 以 双 曲 线 的 半 焦 距 c ? 4 ; 从 而

c 4 ? ? 2 ? a ? 2, b ? c 2 ? a 2 ? 2 3 , a a b 所以双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ? ? 3 x ; a
故选 B. 考点:双曲线与抛物线的简单几何性质. 4. 【答案】D 【解析】 2 2 试题分析:对于 A 命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x ≠1,则 x≠1”,故不 正确. 2 2 对于 B 由“x=-1” ? “x -5x-6=0”但“x -5x-6=0”不能推出“x=-1”,故 2 “x=-1”是“x -5x-6=0”的充分不必要条件,故不正确. 2 2 对于 C 命题“? x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“? x∈R,均有 x +x+1 ? 0”,故 不正确.
5

对于 D 命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为“若 sin x=sin y,则 x=y”显 然是真命题,故正确. 故选:D. 考点:1.命题的四种形式与真假的判断;2 特称命题的否定. 5. 【答案】D 【解析】 试题分析:? n ? AB ? (2, ?2, 4) ? (?3,1, 2) ? ?6 ? 2 ? 8 ? 0?n ? AB ,而点 A 不在 ? 内,故

? ??? ?

?

??? ?

AB / /?
考点:直线与平面的位置关系 6. 【答案】C 【解析】
2 2 试 题 分 析 : 因 为 x ? x ?1 ? (x ? ) ?

1 2

3 ? 0 恒成立,所以命题 p 为真命题,因为 4

?1 ? sin x ? 1 恒成立,所以 q 为假命题,根据复合命题的真值表,可知 p ? ? q 为真命题,
故选 C. 考点:复合命题真值表. 7. 【答案】C 【解析】 试题分析:由题根据抛物线定义不难得到所求点 A 的横坐标,进而得到点 A 的坐标即可; 由题根据抛物线定义可得 A 点横坐标为 2,所以纵坐标为 ? 2 2 ,故选 C. 考点:抛物线的性质 8. 【答案】A 【解析】 试题分析:直线 y ? kx ? k ? 1 ? k ? x ? 1? ? 1 过定点 ?1,1? ,该点在椭圆内部,因此直线与椭 圆相交 考点:直线与椭圆的位置关系 9. 【答案】D 【解析】 试题分析:对于选项 A,根据面面垂直的判定定理可知,缺少条件 m? α ,故不正确; 对于选项 B,因为 α 与 β 可能平行,也可能相交,所以 m 与 β 不一定垂直,故不正确; 对于选项 C,因为 α 与 β 可能平行,也可能相交,所以 m 与 β 不一定垂直,故不正确; 对于选项 D,由 n⊥α ,n⊥β ,可得 α ∥β ,而 m⊥α ,则 m⊥β ,故正确,故选 D. 考点:线面垂直的判定与性质、充分条件. 10. 【答案】C 【解析】 试题分析: 由程序框图知 s ? 1, k ? 10; s ? 10, k ? 9; s ? 90, k ? 8; s ? 720, k ? 7 ,要使此时程 序结束需有 k ? 8 . 考点:流程图的应用。 11. 【答案】B 【解析】

6

试题分析: 由





? M ?
? 2? O 3

? ? ??? ? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ??? 2? ? OA ? OB ? OA ? O N ? BC ? M ?? 3 2 3 ???? ? ??? ? ? ? ??? ?1 ? ???? ? ? 2? 1? 1? 1 A ? MN ? ? a ? b ? c . ; 又 ?? ? a ,??? 故 ? O ?b , ?C ? c , 2 3 2 2 2

? A

选 B. 考点:平面向量的基本定理. 12. 【答案】A 【解析】 试题分析: 由题意过 F1 (c, 0) 且垂直于 y ? ? 的交点坐标为 (

bx a bx 的直线方程为 y ? ( x ? c ) , 它与 y ? ? a b a

a 2 ab 2a 2 2ab , ? ) ,所以点 P 的坐标为 ( ? c, ? ) ,因为点 P 在双曲线上, c c c c

(

2a 2 2ab 2 ? c) 2 ( ? ) c2 c 2 2 2 2 2 c c ? ? 1,? a ? b ? c ,可得 c ? 5a ,? 2 ? 5,? e ? ? 5 ,所以选 2 2 a a a b

A. 考点:双曲线的性质的应用. 第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 【答案】充分不必要条件 【解析】 试题分析: 2 ? m 与 1 ? m 同号,所以 ?2 ? m??1 ? m? ? 0 ,解得 m ? ?2 或 m ? ?1 . 考点:双曲线的标准方程 14.【答案】 ?

5 4

【解析】 试题分析:第一圈,y=4,x=y=4,y=1,否;

1 ,否; 2 1 5 5 第三圈,x= ? ,y= ? ,s 是,输出 y= ? 2 4 4
第二圈,x=1,y= ? 考点:本题主要考查程序框图功能识别。 点评: 简单题, 算法问题已成为高考必考内容, 一般难度不大, 像这种程序框图的填充问题, 通过逐步运行结果,计算即可。 15. 【答案】 ? ?2,1? 【解析】 试 题 分 析: 椭圆

x2 ? y 2 ? 1 两 个 焦 点 分 别 是 F1 (? 3,0), F2 ( 3,0) , 设 P( x , y ), 则 4
7

PF1 ? (? 3 ? x ,?y ),
PF2 ? ( 3 ? x ,?y ),PF1 ? PF2 ? (? 3 ? x )( 3 ? x ) ? y 2 ? x 2 ? y 2 ? 3 ,因为
y2 ? 1 ? x2
4


??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

代入可得 PF1 ? PF2 ? 考点:椭圆的几何性质 16.【答案】 5 ? 1 【解析】

??? ? ??? ?

???? ???? ? 3 2 x ? 2 ,而 ?2 ? x ? 2 , PF1 ? PF2 的取值范围是[?2,1] 4

试题分析:由抛物线的定义得 | PA | ? | PM |?| PF | ?1? | PA |?| AF | ?1 ? 5 ?1 . 考点:抛物线. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 【答案】 ?? 【解析】 试题解析:解:由 4x ? 1 ? 1 得, ? 1 ? 4 x ? 1 ? 1 , 故 0 ? x ?

? 1 ? ,0? . ? 2 ?

1 2

3分

2 由 x ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 ? ? x ? a ? ? ? x ? ? a ? 1? ? ? ? 0 ? a ? x ? a ?1

6分

? 若 ? p 是 ? q 的必要而不充分条件,
? 1? ? q是p 的必要而不充分条件, 即 ?0, ? ? ?a, a ? 1? ? 2?
9分

?a ? 0 1 ? ?? 1 ?? ?a?0 2 a ?1 ? ? 2 ?
故所求 a 的取值范围是 ??

11 分

? 1 ? ,0? ? 2 ?

12 分.

考点:充分必要条件的判断. 18. 【答案】(1) 【解析】
8

3 10 5 (2) 10 3

试题解析:(1)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,

则 A(0, 0, 0) , B(2, 0, 0) , C (0, 2,0) , D(1,1, 0) , A 1 (0,0, 4) ,

C1 (0, 2, 4) ,
∴A 1B ? (2,0, ?4) , C1D ? (1, ?1,4) , ∵

????

???? ?

???? ???? ? ???? ???? ? A1 B ? C1 D (2, 0, ?4) ? (1, ?1, ?4) 18 3 10 , ? ? cos ? A1 B, C1 D ?? ???? ???? ? ? 2 2 2 2 2 10 | A1 B | ? | C1D | 20 ? 18 2 ? (?4) ? 1 ? (?1) ? (?4)
∴异面直线 A 1B 与 C1 D 所成角的余弦值为

3 10 . 10

(2)设平面 ADC1 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,因为 AD ? (1,1,0) , AC1 ? (0, 2, 4) ,

?

????

???? ?

? ???? ? ? n ?x ? y ? 0 ? ? AD ? 0 ∴ ? ? ???? ,即 ? ,取 z ? 1 ,得 x ? 2 , y ? ?2 ,∴ n ? (2, ?2,1) , ? ? y ? 2z ? 0 ? ?n ? AC1 ? 0 ?? 取平面 AA1 B 的一个法向量为 m ? (0,1,0) , 设平面 ADC1 与平面 AA1 B 所成的二面角的大小
为? ,

? ?? 5 | n ? m | (2, ?2,1) ? (0,1,0) 2 2 由 | cos ? |? ? ?? ? , ? ? ,得 sin ? ? 3 | n |?| m| 9? 1 9? 1 3
故平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值

5 . 3

考点:1.空间向量;2.异面直线所成角;3.二面角的计算. 19. 【答案】 (1) 坐标原点 O. 【解析】

y2 11 ? x 2 ? 1; (2)存在实数 k ? ? 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过 4 2

? a?2 ? 试题解析: (1)设椭圆的焦半距为 c,则由题设,得 ? c 3, ? ? 2 ?a
解得 ?

? ? a?2 2 2 2 ,所以 b ? a ? c ? 4 ? 3 ? 1 , ? ?c ? 3

9

故所求椭圆 C 的方程为

y2 ? x 2 ? 1. 4

(2)存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O. 理由如下: 设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 将直线 l 的方程 y ? kx ? 3 代入

y2 ? x 2 ? 1, 4

并整理,得 (k 2 ? 4) x2 ? 2 3kx ?1 ? 0 . (*) 则 x1 ? x2 ? ?

1 2 3k , x1 x2 ? ? 2 . 2 k ?4 k ?4

因为以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O, 所以 OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 又 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 3 ,

??? ? ??? ?

1? k 2 6k 2 11 ? 2 ? 3 ? 0 ,解得 k ? ? 于是 ? 2 , k ?4 k ?4 2
经检验知:此时(*)式的 Δ >0,符合题意. 所以当 k ? ?

11 时,以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O. 2

考点:椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系. 20. 【答案】 (1)详见解析; ( 2)

? 4 5 ; (3) AE ? 6 5

【解析】 试题解析: (1)∵ M 、 N 分别为 PC 、 PB 的中点, AD ∥ BC ∴ AD ∥ MN ,即 A, D, M , N 四点共面 ∵N 是 PB 的中点,PA=AB, ∴AN⊥PB. ∵AD⊥面 PAB, ∴AD⊥PB. 又∵ AD ? AN ? N ∴PB⊥平面 ADMN. (2)连结 DN,∵PB⊥平面 ADMN, ∴∠BDN 是 BD 与平面 ADMN 所成的角. 在 Rt ?BDN 中, sin ?BDN ?

BN 1 ? , BD 2

10

∴BD 与平面 ADMN 所成的角是

? . 6

(3)作 AF ? CD 于点 F ,连结 EF ∵ PA ⊥底面 ABCD ∴ CD ? PA ∴ CD ? 平面PAF ∴ CD ? EF ∴ ?AFE 就是二面角 A ? CD ? E 的平面角 若 ?AFE ? 45? ,则 AE ? AF 由 AF ? CD ? AB ? AD 可解得 AF ?

4 5 5

∴当 AE ?

4 5 时,二面角 A ? CD ? E 的平面角为 45° 5

考点:1.线面垂直的判定;2.线面所成角;3.二面角

21. 【答案】 (1) 【解析】

x2 y 2 ? ? 1, (2) 2 8 2

? 2a ? 4 2 ? c 3 ? 试题解析: (1)由条件得: ? e ? ? ,解得 a ? 2 2 , c ? 6, b ? 2 ,所以椭圆的方 ? 2 a 2 22 ? ?a ? b ? c
程为

x2 y 2 ? ?1 8 2
1 x ? m ,点 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 2

(2)设 l 的方程为 y ?

1 ? y? x?m ? ? 2 2 2 由? 2 消去 y 得 x ? 2m x ? 2m ? 4 ? 0 . 2 x y ? ? ?1 ? 2 ?8
11

令 ? ? 4m2 ? 8m2 ? 16 ? 0 ,解得 m ? 2 ,由韦达定理得 x1 ? x2 ? ?2m, x1x2 ? 2m2 ? 4 . 则由弦长公式得 AB ? 1 ?

1 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 5(4 ? m2 ) . 4
m 1 1? 4 ? 2m 5


又点 P 到直线 l 的距离 d ?

∴ S?PAB ?

1 1 2m m2 ? 4 ? m2 AB d ? ? ? 5(4 ? m2 ) ? m2 (4 ? m2 ) ? ?2, 2 2 2 5

2 当且仅当 m ? 2 ,即 m ? ? 2 时取得最大值.∴△PAB 面积的最大值为 2.

考点:待定系数法求椭圆的标准方程;韦达定理、弦长公式及利用基本不等式求最值.

1 1 3 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? ? ? 1 ? ? 1 ;(Ⅱ) k1k2 ? 1;(Ⅲ) 22. 【答案】 (Ⅰ) , . AB CD 8 8 4 4 4
【解析】 试题解析:解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,由题意知: a=2 2 ,c=2,
2 2 2 又 a = b ? c ,因此 b=2。故椭圆的标准方程为

c 2 ,2a+2c=4( 2 +1)所以 ? a 2

x2 y 2 ? ?1 8 4

x2 y 2 由题意设等轴双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? 1 ? m ? 0? ,因为等轴双曲线的顶点是椭圆的 m m
焦点。 所以 m=2, 因此双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 4 4

(Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) ,F 1 ? ?2, 0? , F 2 ? 2, 0? 则 k1 =

y0 y0 , k2 ? 。 x0 ? 2 x0 ? 2
2 2

2 2 因为点 P 在双曲线 x ? y ? 4 上,所以 x0 ? y0 ?4。

12

因此 k1k2 ?

y0 y y2 ? 0 ? 2 0 ? 1 ,即 k1k2 ? 1 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4

(Ⅲ)设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,由于 PF1 的方程为 y ? k1 ? x ? 2? ,将其代入椭圆方程 得

? 2k

2 1

? 1 x 2 ? 8k12 x ? 8k12 ? 8 ? 0

?

所以 x1 ? x2 ? ?

8k12 8k12 ? 8 ,所以 , x ? x ? 1 2 2k12 ? 1 2k12 ? 1

AB ? 1 ? k12
? 1? k
2 1

? x1 ? x2 ?
2

2

? 4 x1 x2

? 8k12 ? 8k12 ? 8 ? 4 ? ? 2 ? 2k12 ? 1 ? 2k1 ? 1 ?

k12 ? 1 ?4 2 2 2k1 ? 1
同理可得 CD ? 4 2

k2 2 ? 1 . 2k 2 2 ? 1



1 1 1 2k12 ? 1 2k22 ? 1 ? ? ( ? ), AB CD 4 2 k12 ? 1 k22 ? 1

又 k1k2 ? 1,

2 ?1 1 1 1 2k ? 1 k12 2 2k12 ? 1 k12 ? 2 3 2 ? ? ( ? )? 所以 . ( ? )? 1 AB CD 4 2 k ? 1 8 k12 ? 1 k12 ? 1 8 k12
2 1 2 1



1 1 3 2 ? ? 恒成立. AB CD 8

考点:1.椭圆与双曲线的标准方程;2.直线与圆锥曲线的位置关系.

13


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