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第八节 函数与方程


第八节

函数与方程

基础盘查一

函数的零点

(一)循纲忆知

1.了解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.
2.掌握函数零点存在的条件,并会判断函数零点的个数.

(二)小题查验
1.判断正误
(1)函数的零点是函数y=f(x)与x轴的交点 ( × )

(2)若f(x)在(a,b)上有零点,一定有f(a)· f(b)<0
(3)函数y=2sin x-1的零点有无数多个

( × )
( √ )

2.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,2)

(

)

3.函数 f(x)=kx+1 在[1,2]上有零点,则 k

? 1? ?-1,- ? 2? . ? 的取值范围是__________

基础盘查二

二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系

(一)循纲忆知
结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.

(二)小题查验
1.判断正误
(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点 ( √ )
(2)已知函数 f(x)=x2+x+a 在区间(0,1)上有零点,则实数 a 的取 值范围是(-2,0) (√ )

- 2, 2,1,2 2.函数 f(x)=(x2-2)(x2-3x+2)的零点为___________________ .

考点一

函数零点所在区间的判定 (基础送分型考点——自主练透)

[必备知识]
零点存在性定理 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条 曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方 程 f(x)=0 的根.

[提醒] 此定理只能判断出零点存在,不能确定零点的个数.

[题组练透]
6 1.已知函数f(x)=x-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是 ( A.(0,1) C.(2,4) B.(1,2) D.(4,+∞) )

解析: 因为 f(1)=6-log21=6>0, f(2)=3-log22=2>0, f(4) 3 1 = -log24=- <0,所以函数 f(x)的零点所在区间为(2,4). 2 2

2 2.函数f(x)=2 - x -a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取
x

值范围是 A.(1,3) C.(0,3) B.(1,2) D.(0,2)

(

)

解析:由条件可知f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即 a(a-3)<0,解得0<a<3.

存在 3.函数f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上________( 填“存在”或
“不存在”)零点.

解析:法一:∵f(1)=12-3×1-18=-20<0, f(8)=82-3×8-18=22>0,∴f(1)· f(8)<0, 又 f(x)=x2-3x-18 在区间[1,8]的图象是连续的, 故 f(x)=x2-3x-18 在区间[1,8]存在零点. 法二:令 f(x)=0,得 x2-3x-18=0,∴(x-6)(x+3)=0. ∵x=6∈[1,8],x=-3?[1,8], ∴f(x)=x2-3x-18 在区间[1,8]存在零点.

[类题通法]

确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是否连续, 再看是否有 f(a)· f(b)<0.若有, 则函数 y=f(x) 在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与 x 轴在给定区间 上是否有交点来判断.

考点二

判断函数零点个数 (重点保分型考点——师生共研)

[必备知识]
1.函数零点的定义 对于函数y=f(x),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的 零点.

2.几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函 数 y=f(x)有零点.

[典题例析] 1.(2013· 天津高考)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为
A.1 B. 2

(

)

C.3 D.4 解析:由f(x)=2x|log0.5x|-1=0,可得
?1? |log0.5x|=?2?x. ? ? ?1? 设g(x)=|log0.5x|,h(x)= ?2? x,在同一坐标 ? ?

系下分别画出函数g(x),h(x)的图象,可以发现两个函数图象一 定有2个交点,因此函数f(x)有2个零点.

2.(2014· 福建高考)函数f(x)=

2 ? ?x -2,x≤0, ? ? ?2x-6+ln x,x>0

的零点个数是

2 ________ .
解析:当 x≤0 时,令 x2-2=0,解得 x=- 2(正根舍去), 1 所以在(-∞,0]上有一个零点.当 x>0 时,f′(x)=2+x>0 恒成立,所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数.又因为 f(2)=-2 +ln 2<0,f(3)=ln 3>0,所以 f(x)在(0,+∞)上有一个零点, 综上,函数 f(x)的零点个数为 2.

[类题通法]

判断函数零点个数的方法 (1)解方程法:若对应方程 f(x)=0 可解时,通过解方程,则有 几个解就有几个零点.
(2)零点存在性定理法: 利用定理不仅要判断函数在区间[a, b]上是 连续不断的曲线,且 f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单 调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.

(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出 两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的个数,就是函数零点 的个数.

[演练冲关]

1.(2015· 莱芜一模)已知函数 零点为 1 A. ,0 2 1 C. 2

x ? ?2 -1,x≤1, f(x)=? ? ?1+log2x,x>1,

则函数 f(x)的 ( )

B.-2,0 D.0

解析:当 x≤1 时,由 f(x)=2x-1=0,解得 x=0;当 x>1 时,由 1 f(x)=1+log2x=0, 解得 x= , 又因为 x>1, 所以此时方程无解. 综 2 上,函数 f(x)的零点只有 0.

2.(2015· 北京丰台二模)函数 f(x)=x A.0 C.2

1 2

?1? -?2?x 的零点个数为 ? ?

(

)

B.1 D.3
1 2

解析:令 f(x)=0,得 x 数 y= x 与
1 2

?1? =?2?x,在平面直角坐标系中分别画出函 ? ?

?1? y=?2?x 的图象,可得交点只有一个,所以零点只有一 ? ?

个,故选 B.

考点三

函数零点的应用 (题点多变型考点——全面发掘)
[一题多变]

[典型母题]

若函数 f(x)=xln x-a 有两个零点,则实数 a 的取值范围 为________.

[解析]

令 g(x)=xln x,h(x)=a,则问

题可转化成函数 g(x)与 h(x)的图象有两个交 点.g′(x)=ln x+1,令 g′(x)<0,即 ln x< 1 -1,可解得 0<x< ;令 g′(x)>0,即 ln x> e 1 1 1 -1,可解得 x> ,所以,当 0<x< 时,函数 g(x)单调递减;当 x> 时, e e e 1 1 函数 g(x)单调递增,由此可知当 x= 时,g(x)min=- .在同一坐标系中 e e 1 作出函数 g(x)和 h(x)的简图如图所示,据图可得- <a<0. e

[答案]

? 1 ? ?- ,0? ? e ?

[题点发散 1]

若本例中 f(x)有且只有一个零点,则实数 a 的取值范 ? 1? [0,+∞)∪?- e ? ? ? 围是_______________________ .

1 解析:由本例解析知a=- 或a≥0. e

[题点发散 2]

fx (x )= xln xx - aa 有两个零点,则 a 的取值 )= ln x- - 若函数 f(

(-∞,-1) . 范围是____________
解析:函数f(x)=ln x-x-a的零点,即 为关于x的方程ln x-x-a=0的实根,

将方程ln x-x-a=0,化为方程ln x=x +a,令y1=ln x,y2=x+a,由导数知

识可知,直线y2=x+a与曲线y1=ln x相切时有a=-1,所以关 于x的方程ln x-x-a=0有两个不同的实根,实数a的取值范围 是(-∞,-1).

[题点发散 3]

若函数变为

? ?xln x-a,x>0, f(x)=? 2 ? - x -2x-a,x≤0, ?

若函数 y=

f(x)有三个零点,则实数 a

? 1 ? ?- ,1? ? e ?. 的取值范围是________

? ?xln x,x>0, 解析:令g(x)= ? 2 ? - x -2x,x≤0, ?

h(x)=a,则问题转化为g(x)

1 与h(x)的图象有三个交点,g(x)图象如图.由图象知- <a<1. e

[类题通法]

已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再 通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加 以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系 中,画出函数的图象,然后数形结合求解.

第八节

函数与方程

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