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2.4等比数列2



授课时间: 年级: 课题: 教 学 目 标 重 点 难 点 课时:2













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等比数列复习
1、等比数列的判断方法:定义法

an ?1 a a ,其中 q ? 0, an ? 0 或 n ?1 ? n (n ? 2) 。 ? q(q为常数) an an an ?1

【例题】 (1)一个等比数列{ an }共有 2n ? 1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,则 an ?1 为____ (答:

5 ) ; 6

【变式练习】 (2)数列 {an } 中, Sn =4 an ?1 +1 ( n ? 2 )且 a1 =1,若 bn ? an?1 ? 2an ,求证:数列{ bn }是 等比数列。 教 学 内 容 2、等比数列的通项: an ? a1qn?1 或 an ? amqn?m 。 【例题】 等比数列 {an } 中,a1 ? an ? 66 ,a2 an?1 ? 128 , 前 n 项和 Sn =126, 求n和q . (答:n ? 6 ,q ? 或 2)

1 2

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 3、等比数列的前 n 和:当 q ? 1 时, Sn ? na1 ;当 q ? 1 时, Sn ? 。 1? q 1? q



【例题】 等比数列中, q =2,S99=77,求 a3 ? a6 ? ? ? a99 (答:44) ;

【特别提醒】:等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先要判断公比 q 是
否为 1,再由 q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时,要对 q 分 q ? 1 和 q ? 1 两种情形 讨论求解。 4、等比中项:若 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项。【提醒】:不是任何两数都有等比 中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个 ? ab 。 提醒: (1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 q 称 作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2; (2)为减少运算量,要 注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为…,

a a , , a, aq, aq 2 …(公比为 q ) ;但偶数个数成等比时,不 q2 q

能设为…

a a , , aq, aq3 ,…,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为 q2 。 3 q q

【例题】 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16, 第二个数与第三个数的和为 12,求此四个数。 (答:15,,9,3,1 或 0,4,8,16)

5.等比数列的性质: ※(1)当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? ap 2 . 【例题】 (1)在等比数列 {an } 中, a3 ? a8 ? 124, a4a7 ? ?512 ,公比 q 是整数,则 a10 =___(答:512) ;



【变式练习】 ( 2 ) 各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? (答:10) 。

※(2) 若 {an } 是等比数列,则 {| an |} 、 {a p?nq }( p, q ? N * ) 、 {kan } 成等比数列; 若 {an }、 {bn } 成等比数列,则 {anbn } 、 {

an } 成等比数列; bn

若 {an } 是等比数列,且公比 q ? ?1 ,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,…也是等比数列。当 q ? ?1 ,且 n 为偶数时,数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,…是常数数列 0,它不是等比数列. 【例题】 (1) 已知 a ? 0 且 a ? 1 , 设数列 {xn } 满足 log a xn?1 ? 1 ? log a xn (n ? N *) , 且 x1 ? x2 ? ? ? x100 ? 100 , 则 x101 ? x102 ? ? ? x200 ? . (答: 100a
100

) ;

【变式练习】 (2)在等比数列 {an } 中, S n 为其前 n 项和,若 S30 ? 13S10 , S10 ? S30 ? 140 ,则 S 20 的值为 ______(答:40)

※(3)若 a1 ? 0, q ? 1 ,则 {an } 为递增数列; 若 a1 ? 0, q ? 1 , 则 {an } 为递减数列; 若 a1 ? 0,0 ? q ? 1 ,则 {an } 为递减数列;



若 a1 ? 0,0 ? q ? 1 , 则 {an } 为递增数列; 若 q ? 0 ,则 {an } 为摆动数列;若 q ? 1 ,则 {an } 为常数列. ※(4) 当 q ? 1 时, S n ?

? a1 n a q ? 1 ? aqn ? b ,这里 a ? b ? 0 ,但 a ? 0, b ? 0 ,是等比数列前 n 项 1? q 1? q

和公式的一个特征,据此很容易根据 Sn ,判断数列 {an } 是否为等比数列。 【例题】若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r = (答:-1)

【例题】 Sm?n ? Sm ? qm Sn ? Sn ? qn Sm .如设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,若 Sn?1 , Sn , Sn? 2 成等差数列,则 q 的值为_____(答:-2)

※(6) 在等比数列 {an } 中,当项数为偶数 2 n 时, S偶 ? qS奇 ;项数为奇数 2n ? 1时, S奇 ? a1 ? qS偶 . ※(7)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an } 是非零常数数列。 【例题】 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n( n ? N ) , 关于数列 ? an ? 有下列三个命题: ①若 a n ? a n?1

( n ? N) ,
n

则 ? an ? 既是等差数列又是等比数列; ②若 S n ? a n 2 ? b n ? a 、 则 ? an ? 是等差数列; ③若 S n ? 1 ? ? ? 1 ? , b?R ? , 则 ? an ? 是等比数列。这些命题中,真命题的序号是 (答:②③)

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