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2015-2016学年山东省济南一中高二(下)期末考试数学(理)试题(解析版)


2015-2016 学年山东省济南一中高二(下)期末考试 数学(理)试题
一、选择题 1.已知 i 是虚数单位,复数 z ? A. ?

2 4 ? i 5 5

2i ,则 z ? ( ) 2?i 2 4 2 4 B. ? i C. ? i 5 5 5 5

D. ?

2 4 ? i 5

5

【答案】C 【解析】试题分析:因 z ?

2i (2 ? i ) 2 4 2 4 ? ? i ,故 z ? ? i ,所以应选 C. 5 5 5 5 5

【考点】复数的有关概念及运算. 2. 有一段“三段论”推理是这样的: 对于可导函数 f ? x ? , 如果 f ' ? x0 ? ? 0 , 那么 x ? x0 是函数 f ? x ? 的极值点. 因为函数 f ? x ? ? x3 在 x ? 0 处的导数值 f ' ? 0? ? 0 , 所以 x ? 0 是函数 f ? x ? ? x3 的极值点.以上推理中( )

A.小前提错误 B.大前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确 【答案】B 【解析】试题分析:因导函数的零点不一定都是函数的极值点,故其大前提是错误的, 所以应选 B. 【考点】推理的形式及三段论. 3.下列值等于 1 的积分是( ) A.

?

1

0

xdx

B.

? ? x ? 1? dx
0

1

C.

? 1dx
0

1

D.

?

1

0

1 dx 2
: 因

【答案】C 【 解


1








1



?

1

0

xdx ?

1 1 1 1 3 1 1 (1 ? 0) ? , ? ? x ? 1? dx ? (1 ? 0) ? 1 ? , ? dx ? (1 ? 0) ? ,故 0 0 2 2 2 2 2 2 2

应选 C. 【考点】定积分及运算. 4.已知随机变量 X 的概率分布列如下所示:

X p

5 0.4

6

7

8 0.1

a


b

且 X 的数学期望 EX ? 6 ,则( A. a ? 0.3, b ? 0.2 C. a ? 0.4, b ? 0.1 【答案】A 【解析】试题分析:由题设可得 ?

B. a ? 0.2, b ? 0.3 D. a ? 0.1, b ? 0.4

?a ? b ? 0.5 ?a ? 0.3 ,解之得 ? ,所以应选 A. ?6a ? 7b ? 3.2 ?b ? 0.2
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【考点】概率分布和数学期望的运算. 5.用反证法证明命题:“已知 a,b∈N,若 ab 可被 5 整除,则 a,b 中至少有一个能 被 5 整除”时,反设正确的是( ) A.a,b 都不能被 5 整除 B.a,b 都能被 5 整除 C.a,b 中有一个不能被 5 整 D.a,b 中有一个能被 5 整除 【答案】A 【解析】试题分析:从反证法的要求来看,须将结论 a , b 中至少有一个能被 5 整除全 部否定,所以应选 A. 【考点】反证法及命题的否定. 6.下列四个函数,在 x ? 0 处取得极值的函数是( ) ① y ? x3 ② y ? x 2 +1 ③y? x ④ y ? 2x

A.① ② B.② ③ C.③ ④ D.① ③ 【答案】B 【解析】试题分析:能不能取得极值要看函数在这个导函数的零点处的两边是否异性单 调. 通过检验函数在这两个函数的零点 x ? 0 处的左右两边情况是左边是增函数,右边是 减函数,因此 x ? 0 是极值点.所以应选 B. 【考点】函数极值的定义. 7.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 a>b>c,且 a+b+c=0,求证

b2 ? ac ? 3a ”索的因应是(
A.a-b>0 B.a-c>0 C. (a-b) (a-c)>0 D. (a-b) (a-c)<0 【答案】C 【 解 析

















b 2 ? ac ? 3a ? b 2 ? ac ? 3a 2 ? (a ? c) 2 ? ac ? 3a 2 ? 2a 2 ? c 2 ? ac ? 0 , 即
2a 2 ? c(c ? a) ? 0 ? 2a 2 ? bc ? 0 ? a 2 ? a 2 ? bc ? 0 ? a 2 ? ab ? ac ? bc ? 0 ? (a ? b)(a ? c) , 故
应选 C. 【考点】分析法及推证格式. 8.某企业为研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系,随机抽取了 72 名员 工进行调查,所得的数据如下表所示: 积极支持改革 工作积极 工作一般 合 计 不太支持改革 合 计

28 16

8

36 36 72


20 28

44

对于人力资源部的研究项目,根据上述数据能得出的结论是(
2

n(n11 n22 ? n12 n21 ) 2 2 (参考公式与数据: ? ? .当 ? ? 3.841 时,有 95% 的把握说事 n1? n2? n?1n? 2

第 2 页 共 12 页

件 A 与 B 有关;当 ? 2 ? 6.635 时, 有 99% 的把握说事件 A 与 B 有关; 当 ? 2 ? 3.841 时 认为事件 A 与 B 无关.) A.有 99% 的把握说事件 A 与 B 有关 B.有 95% 的把握说事件 A 与 B 有关 C.有 90% 的把握说事件 A 与 B 有关 D.事件 A 与 B 无关 【答案】A

n(n11 n22 ? n12 n21 ) 2 72(560? 128) 2 【解析】试题分析:因 ? ? ? ? 8.41 ? 6.635 , n1? n2? n?1n?2 44 ? 28? 36 ? 36
2

故有的把握说事件 A 与 B 有关,所以应选 A. 【考点】 2 ? 2 列联表及卡方统计量的计算. 9.有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组, 则不同的选法共有( ) A . 60 种 B . 70 种 C . 75 种 D.150 种 【答案】C
2 1 【解析】试题分析:因 C6 C5 ? 15? 5 ? 75 ,故应选 C.

【考点】排列数组合数公式及运用. 10. 已知函数 f ? x ? ? 2ln x ? x ? f ' ?1? , 则曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 1 处的切线方程是 ( A. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 【答案】D
/ 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 f ( x) ?



B. x ? y ? 2 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

2 ? f / (1) , 令 x ? 1 可 得 f / (1) ? 1 , 故 x

f ( x) ? 2 ln x ? x , 又 因 f (1) ? 0 ? 1 ? ?1 , 所 以 切 点 为 (1,?1) , 切 线 的 斜 率

k ? f / (1) ? 1 ,故切线方程为 y ? 1 ? x ? 1 ,即 x ? y ? 2 ? 0 ,应选 D.
【考点】导数的几何意义及运用. 11.国庆节放假,甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为 , ,

1 1 1 .假定三人的行动相互 3 4 5
) D.

之间没有影响,那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为( A.

59 60

B.

3 5

C.

1 2

1 60

【答案】B

1 1 1 ,则它们不去旅游的 3 4 5 2 3 4 2 3 4 2 概率分别为 , , , 这段时间内都不去旅游的概率是 P( A) ? ? ? ? , 由对立 3 4 5 3 4 5 5
【解析】 试题分析: 因甲乙丙三人取北京旅游的概率分别是 , , 事 件的 概率 公式 可得 这段 时间 内至 少一 人到 北京 旅游 的概 率是

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?

2 3 ? ,所以应选 B. 5 5
第 3 页 共 12 页

【考点】对立事件独立事件的概率和运算. 【易错点晴】概率是研究某些事件在试验中出现的频率的大小的数学概念.本题中的甲 乙丙三位旅客国庆节放假去北京旅游的概率已知,要求的是这三人中至少有一人去北京 的概率问题.解答这类问题时,由于出现了至少这一词汇,若要分类求解则须分有一人\ 有两人\有三人三类情况求解,解答过程较为繁冗,解答本题时是先从反面求出三人都不 去北京旅游的概率求出,再运用对立事件的概率公式求出三人至少有一人去北京旅游的 概率,简化了求解过程.

1 ? ? 12.设 n ? ? 3x dx ,则 ? x ? ? 的展开式中的常数项为( 0 2x ? ?
2 2

n

) D. 70

A. ?

35 8

B.

35 8

C. ?70

【答案】B 【解析】试题分析:因 n?

1 3x 2 dx ? 2 3 ? 0 ? 8 , 故 Tr ?1 ? C8r x 8? 2 r (? ) r , 令 0 2 1 35 8 ? 4r ? 0 ,得 r ? 4 ,故常数项为 C84 ? ,所以应选 B. 16 8

?

2

【考点】定积分和二项式定理的运用. 13.已知函数 f ? x ? = ( )

1 2 x ? cos x , f ? ? x ? 是 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图象大致是 4

【答案】A
/ 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 f ( x) ?

f / ( x) ?

1 ? x ? sin x 是奇函数,当 x ? (0, ) 时, f // ( x) ? 0 , f / ( x) 单调递减,所以其大 2 3

1 1 x ? sin x , 而 f // ( x) ? ? cos x , 故 2 2

致图象应为 A,应选 A. 【考点】函数的图象和基本性质. 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是 以函数的导数的图象为背景考查的是导数知识的运用和分析问题解决问题的能力. 解答 本题的关键是先对已知函数求导,再研究函数的导函数的奇偶性单调性对称性等图象的
/ 基本性质.特别在研究函数的导函数 f ( x) ?

导,从而确定了它在区间 x ? (0, 14.定积分 A . 9? D.

?
3

1 x ? sin x 的性质时,对其进行了二次求 2

) 上的单调情况,排除了答案 C,而选择了答案 A.
) B . 3? C.

?

3

0

9 ? x 2 dx 的值为(

9 ? 4

9 ? 2
第 4 页 共 12 页

【答案】C

【 解 析 】 试 题 分 析 : 令 x ? 3 sin t , 则

9 ? x 2 ? 3 cos t , dx ? 3 cos t , t ? [0, ] , 则 2

?

?

3

0

9 ? x 2 dx ? 9 ? 2 cos 2 tdt
0

?

? 9?

?

2 0

? ?? 1 ? cos 2t 9?? 1 9 dt ? ? sin 2t 2 ? ? ? ,故应选 C. ? 4 2 2? ?2 2 0 ? ? ?
1 1 1 13 ? ?? ? ? (n ? 2) ” 的过程中, 由n ? k n ?1 n ? 2 2n 24


【考点】定积分及运算. 15. 用数学归纳法证明不等式 “

到 n ? k ? 1 时,不等式的左边( A.增加了一项

1 2(k ? 1) 1 1 ? 2k ? 1 2(k ? 1) 1 1 1 ? ,又减少了一项 k ?1 2k ? 1 2(k ? 1) 1 1 ,又减少了一项 k ?1 2(k ? 1)

B.增加了两项

C.增加了两项

D.增加了一项 【答案】C

【解析】试题分析:因从 n ? k 到 n ? k ? 1 ,左边应添加

1 1 ? ,但却减少了 2k ? 1 2(k ? 1)

一项

1 ,故应添上,这样才能恒等并能符合 n ? k ? 1 是结构,所以应选 C. k ?1
2 x?1

【考点】数学归纳法及运用. 16.函数 f ? x ? ? x e A. 4e
?1

, x ???2,1? 的最大值为(
C. e
2

) D. 3e
2

B.1

【答案】C 【解析】 试题分析: 因 f ( x) ? xe
/ / x ?1

( x ? 2) ,故当 x ? [?2,0] 时, f / ( x) ? 0 ,函数 f ( x)

单 调 递 减 ; 当 x ? [0,1] 时 , f ( x) ? 0 , 函 数 f ( x) 单 调 递 增 , 所 以 函 数 f ( x) 在

x ? ?2, x ? 1取极大值,由于 f (1) ? f (?2) ,所以应选 C.
【考点】导数和最值. 17.某学校组织 5 个年级的学生外出参观包括甲科技馆在内的 5 个科技馆,每个年级任 选一个科技馆参观,则有且只有两个年级选择甲科技馆的方案有( )
2 3 A . A5 种 ? A4 2 B . A5 ? 43 种 2 3 C . C5 种 ? A4

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2 D. C5 ? 43 种

【答案】D
2 【解析】 试题分析: 从五个科技馆的中选两个的可能有 C5 种选法,剩下的三年级任意选

择四个科技馆,每个科技馆的都是等可能的 ,故有 4 ? 4 ? 4 ? 4 ,由分步计数原理可得
3

2 所有可能有 C5 ? 43 种选法,所以应选 D.

【考点】排列数组合数公式及计数原理的运用. 18.已知 e 为自然对数的底数,设函数 f ? x ? ? e x ? 1 ? x ? 1? , ? k ? 1, 2? ,则(
k

?

?



A.当 k ? 1 时, f ? x ? )在 x=1 处取到极小值 B.当 k ? 1 时, f ? x ? 在 x ? 1 处取到极大值 C.当 k ? 2 时, f ? x ? 在 x ? 1 处取到极小值 D.当 k ? 2 时, f ? x ? 在 x ? 1 处取到极大值 【答案】C 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因

f / ( x) ? e x ( x ? 1) k ? k (e x ? 1)(x ? 1) k ?1 ? ( x ? 1) k ?1[e x x ? e x ? ke x ? k ] , 当 k ? 1
时 ,

f / ( x) ? e x ( x ? 1) , 所 以 在 x ? 1 处 取 最 小 值 ;

当 k ?2

/ x x / 时, f ( x) ? [e ( x ? 1) ? 2](x ? 1) , 当 x ? 1 时, e ( x ? 1) ? 2 , f ( x) ? 0 , 函数是增函 x / 数;当 x ? 1 时, e ( x ? 1) ? 2 , f ( x) ? 0 ,函数是减函数;所以在 x ? 1 处取极小值,故

应选 C. 【考点】导数在求极值中的运用.
2 3 4 5 19.若 ?1 ? 2 x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? a4 x ? a5 x ,则 a0 ? a1 ? a3 ? a5 ? ( 5



A . 122 D.244 【答案】B

B . 123

C . 243

【 解 析 】 试 题 分 析 : 令 x ? 1 得 a0 ? a1 ? ? ? ? ? a5 ? 243 ; 令 x ? ?1 得

a0 ? a1 ? ? ? ? ? a5 ? ?1 . 以 上 两 式 两 边 相 加 可 得 2(a1 ? a3 ? a5 ) ? 244 , 则 a1 ? a3 ? a5 ? 122.再令 x ? 0 可得 a0 ? 1 ,故 a0 ? a1 ? a3 ? a5 ? 123,所以应选 B.
【考点】赋值法及运用. 20 . 设 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 其 导 函 数 为 f '( x) , 若 f ( x) ? f '( x ) , ? 1
x x 则不等式 e f ( x) ? e ? 2015 (其中 e 为自然对数的底数) 的解集为 ( f (0) ? 2016 ,



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A. (2015, ??) B. (??, 0) ? (2015, ??) C. (??,0) ? (0, ??) D. ( ??, 0) 【答案】D 【 解 析 】 试 题 分 析 : 构 造 函 数

F ( x) ? e x f ( x) ? e x , 因

F / ( x) ? e x f ( x) ? e x f / ( x) ? e x ? e x [ f ( x) ? f / ( x) ? 1] ? 0 , 故 y ? F ( x) 是单调递减函数,所以 ex f ( x) ? ex ? 2015 等价于 F ( x) ? F (0) ,解之可得 x ? 0 ,应选 D.
【考点】导数及综合运用. 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是 以函数为背景考查的是导数运用的典型问题.解答时充分借助函数 f ( x) 满足的不等式

f ( x) ? f '( x) ? 1,巧妙构造出函数 F ( x) ? e x f ( x) ? e x ,这是本题的难点之所在.达到
这一点需要有较高的思维能力和高度抽象的能力. 只要能看出这一函数的存在其它问题 就容易解决了.

二、填空题 21.设复数 z 满足 Z ? ? 2 ? i ? ? 10 ? 5i , ( i 为虚数单位) ,则 Z 的模为__________. 【答案】 5 【解析】试题分析:因 z ?

5(2 ? i) 5(2 ? i) 2 ? ? 3 ? 4i ,所以 | z |? 32 ? 4 2 ? 5 . 2?i 5

【考点】复数的模及运算.
2 22 . 已 知 随 机 变 量 ? 服 从 正 态 分 布 N 2, ?

?

?

, 且 P ?? ? 4? ? 0 . 8 ,则

P ? 0 ? ? ? 2? ? __________.
【答案】 0.3
2 【解析】试题分析:因 ? 服从 N 2, ? ,故 P(? ? 0) ? P(? ? 4) ? 1 ? 0.8 ? 0.2 ,所以

?

?

P(0 ? ? ? 4) ? 2P(0 ? ? ? 2) ? 2(1 ? 2 ? 0.2) ? 0.6 , 故 P(0 ? ? ? 2) ? 0.3 , 应 填 答
案 0.3 . 【考点】正态分布及运用. 【易错点晴】正态分布是随机变量的概率分布中最有意义最有研究价值的概率分布之 一. 本题这个分布的是最优秀的分布的原因是从正态分布的图象来看服从这一分布的数 据较为集中的分分布在对称轴 x ? 2 的两边,而且整个图象关于 x ? 2 对称. 所以解答这 类问题时一定要借助图象的对称性及所有概率之和为 1 这一性质,否则解题就没了思路, 第 7 页 共 12 页

这一点务必要学会并加以应用. 23.由曲线 y ? 【答案】

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为__________.

10 3

【解析】试题分析:很容易算出 y?

x 与 x 轴 0? x?4 围成的面积为

S??

4

0

3 16 1 10 2 2 4 16 xdx ? x ? .结合图形可知所求图形的面积为 ? ? 2 ? 2 ? ,所 3 2 3 3 0 3

以应填答案

10 . 3
5

【考点】定积分及运用. 24. ? 2 x ? 1?? 3 ? 2 x ? 的展开式中,含 x 次数最高的项的系数是_________(用数字作 答) . 【答案】 ?64 【解析】 试题分析: 由题设可知 ? 2 x ? 1?? 3 ? 2 x ? 展开式中的次数最高项的次数应为 6 ,
5

5 即求 (3 ? 2 x) 中的 x 5 的系数.而该项在展开式的最后一项,即 C5 (?2) 5 ? ?32 ,再乘以

5

(2 x ? 1) 中的 2 可得次数最高项的系数为 ? 64 ,所以应填答案 ? 64 .
【考点】二项式定理及运用. 25.把正整数排列成如图甲所示三角形数阵,然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶 数,得到如图乙所示三角形数阵,设 aij 为图乙三角形数阵中第 i 行第

j 个数,若

amn ? 2015 ,则实数对 ? m, n? 为________.

【答案】 ? 45, 40? 【解析】试题分析:由 amn

? 2015 可以推断必在奇数行,又 2015? 2025? 452 ,因此

必在第 45 行中,这一行中总共有 45 个数,而 2025 ? 2015 ? 10 ,奇数又是相差两个,即 与 2025 相差 5 个数,所以应是第 40 个数,故应填 ? 45, 40? . 【考点】推理与证明. 【易错点晴】解答本题的关键是要研究清楚这个三角矩阵中数的分布规律,特别是第一 第 8 页 共 12 页

个三角数阵中的最后一个数的特征.都是行数 n 的平方,即 n 2 而每一行的个数是奇数 解答好本题除了具有较强的观察能力之外, 1.3,5,7, ,2n ? 1 ,这是解答好本题的关键之处. 还须有较强的推理判断能力. 如在所给的数是 amn

? 2015 ,要确定其必在奇数行 45 行,

再进一步确定在这一行的第几个数,这就容易解决了. 三、解答题 26.某中学号召学生在今年暑假期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动) .该 校合唱团共有 100 名学生,他们参加活动的次数统计如图所示. 参加人数 50 40 30 20 10 1 2 3 活动次数

(Ⅰ)求合唱团学生参加活动的人均次数; (Ⅱ)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率. 【答案】 (Ⅰ) 2 .3 ; (Ⅱ)

41 . 99

【解析】试题分析: (Ⅰ)借助题设运用平均数公式求解; (Ⅱ)借助题设条件运用互斥 事件的概率公式求解. 试题解析: 由图可知,参加活动 1 次、2 次和 3 次的学生人数分别为 10、50 和 40. (Ⅰ)该合唱团学生参加活动的人均次数为

1?10 ? 2 ? 50 ? 3 ? 40 230 ? ? 2.3 . 100 100

2 (Ⅱ)从合唱团中任选两名学生,都参加了 1 次活动有 C10 种选法, 2 都参加了 2 次活动有 C50 种选法,

2 都参加了 3 次活动有 C40 种选法, 2 总 C100 种选法,

他们参加活动次数恰好相等的概率为 P 0 ?

2 2 2 C10 ? C50 ? C40 41 ? . 2 C100 99

【考点】平均数公式及互斥事件的概率公式等有关知识及运用. 【易错点晴】解答本题的关键是要研究清楚这个柱状图所提供的数据信息和规律,为准 确求该合唱团学生参加活动的人均次数奠定基础 ,因为若不清楚这个图中的数据信息 , 就无法求平均数,也无法求第二问中概率.在第二问的求解中运用分类的数学思想方法 进行求解,这里参加次数是分类的标准.

第 9 页 共 12 页

27.设函数 f ( x ) ?

x . , (e ? 2.71828?是自然对数的底数) e2 x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间及最大值; (Ⅱ)设 g ( x ) ? 值 【答案】 (Ⅰ) 递增区间是 ? ? ?,

x ? 1 ? 1 ?? +m ,若 g ( x) 在点 ? ? , g ? ? ? ? 处的切线过点 ?1,3e? ,求 m 的 2x e ? 2 ? 2 ??

? ?

1 ?1 e 1? ?1 ? 递减区间是 ? ,?? ? , 最大值 e ; (Ⅱ)m ? . ?, 2 2 2? ?2 ?

【解析】试题分析: (Ⅰ)借助题设运用导数求解; (Ⅱ)借助题设条件运用导数的几何 意义建立方程求解. 试题解析: (Ⅰ) f ??x? ? ?1 ? 2 x?e?2 x , 由 f ??x ? ? 0 解得 x ? 当x?

1 , 2

1 时, f ??x ? ? 0 , f ?x ? 单调递增; 2 1 当 x ? 时, f ??x ? ? 0 , f ?x ? 单调递减. 2
所以,函数 f ?x ? 的单调递增区间是 ? ? ?,

? ?

1? ?1 ? ? ,单调递减区间是 ? ,?? ? , 2? 2 ? ?

最大值为 f ? ? ?

?1? ?2?

1 ?1 e . 2
?2 x

(Ⅱ) g ' ? x ? ? ?1 ? 2x ? e



所以 g ' ? ? ? ? 2e 为切线的斜率,

? 1? ? 2?

? 1? g ? ? ? ? 3e ? 1 e ? m ? 3e 7e ? 2m 2? 又根据直线上两点坐标求斜率得 ? = 2 ? 1 3 3 ? ?1 ? 2 2
所以 2e ?

7e ? 2m e ,所以 m ? . 3 2

【考点】导数和导数的几何意义等有关知识的运用. 28.医院到某学校检查高二学生的体质健康情况,随机抽取 12 名高二学生进行体质健 康测试,测试成绩(百分制)如下:65,78,90,86,52,87,72,86,87,98,88, 86.根据此年龄段学生体质健康标准,成绩不低于 80 的为优良. (Ⅰ)将频率视为概率,根据样本估计总体的思想,在该学校全体高二学生中任选 3 人 进行体质健康测试,求至少有 1 人成绩是“优良”的概率; (Ⅱ)从抽取的 12 人中随机选取 3 人,记 ? 表示成绩“优良”的人数,求 ? 的分布列 第 10 页 共 12 页

和期望. 【答案】 (Ⅰ)

26 ; (Ⅱ)分布列见解析, 2 . 27

【解析】试题分析: (Ⅰ)借助题设独立试验的概率公式求解; (Ⅱ)借助题设条件运用 随机变量的数学期望公式求解. 试题解析: (Ⅰ)抽取的 12 人中成绩是优良的频率为

2 3 2 3

故从该学校全体高二学生中任选 1 人,成绩是“优良”的概率为

设“在该校全体高二学生中任选 3 人,至少有 1 人成绩是“优良””的事件为 A

1 26 ? 2? 则 P ? A? ? 1 ? C ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? 27 27 ? 3?
0 3

3

(Ⅱ)由题意可知, ? 的可能取值为 0,1,2,3,

P ?? =0 ? ?

1 2 3 C8 C4 C4 4 1 48 12 , ? ? P ? =1 ? ? ? ? ? 3 3 C12 220 55 C12 220 55

1 3 C82C4 C8 112 28 56 14 , P ?? =2 ? ? 3 ? ? P ?? =3? ? 3 ? ? C12 220 55 C12 220 55

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 55

12 55

28 55

14 55

E? ? 0 ?

1 12 28 14 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 55 55 55 55

【考点】对立事件独立事件的概率公式及数学期望公式等有关知识的运用. 29.设函数 f ( x) ? x ? m( x ? 1) ln( x ? 1) ,其中 m ? 0 . (Ⅰ)求 f ( x) 的极大值; (Ⅱ)当 m ? 1 时,若直线 y ? 2t 与函数 f ( x) 在 [? ,1] 上的图象有交点,求实数 t 的 取值范围; (Ⅲ)当 a ? b ? 0 时,试证明: (1 ? a) ? (1 ? b) .
b a

1 2

【答案】 (Ⅰ) me

1? m m

1 ?1 ; (Ⅱ) t ? [ ? ln 2, 0] ; (Ⅲ)证明见解析. 2

【解析】试题分析: (Ⅰ)借助题设运用导数求解; (Ⅱ)借助题设条件运用导数的知识 求解; (Ⅲ)构造函数运用导数的知识推证即可获解. 试题解析: (Ⅰ) f ?( x) ? 1 ? m ln( x ? 1) ? m ,定义域为 (?1, ??) , 第 11 页 共 12 页

m ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 得 m ln( x ? 1) ? 1 ? m ? 0 ? x ? 1 ? e
令 f ?( x) ? 0 得? x ? 1 ? e 调递减, 所以 f ( x ) 极大值= f (e
1? m m
1? m m

1? m m


1? m m

? f ( x) 在 (?1, e
1? m m

1? m m

在 [e ? 1] 上单调递增,

? 1, ??) 上单

? 1) ? me

?1.

(Ⅱ)当 m ? 1 时, f ( x) ? x ? ( x ? 1) ln( x ? 1) , 由题意知,直线 y ? 2t 与函数 f ( x ) 在 [ ?

1 ,1] 上的图象有交点等价于方程 f ( x) ? 2t 在 2

1 [ ? ,1] 上有实数解 2 1 , 0] 上单调递增,在 [0,1] 上单调递减. 2 1 1 1 1 又 f (0) ? 0, f (1) ? 1 ? ln 4, f (? ) ? ? ? ln 2 , ? f (1) ? f ( ? ) ? 0 2 2 2 2 1 ? 当 2t ?[1 ? ln 4,0] 时,即 t ? [ ? ln 2, 0] 时,方程 f ( x) ? 2t 有解, 2 1 即直线 y ? 2t 与函数 f ( x ) 在 [ ? ,1] 上的图象有交点. 2
由(I)知, f ( x ) 在 [ ? (Ⅲ)要证 ?1 ? a ? ? ?1 ? b ?
b a

只需证 b ln ?1 ? a ? ? a ?1 ? b? ,只需证

ln ?1 ? a ? ln ?1 ? b ? ? a b

x ? ln ?1 ? x ? x ? 1 ? x ln 1 ? x ln ?1 ? x ? ? ? ? ? ? , ? x ? 0 ? ,则 g ' ? x ? ? 1 ? x 2 设 g ? x? ? x x 2 ?1 ? x ? x
由(I)知 x ? ( x ? 1) ln( x ? 1) 在 ? 0, ?? ? 单调递减

? x ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ? 0 即 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是减函数,而 a ? b ? 0

? g ? a ? ? g ?b? ,故原不等式成立
【考点】导数在研究函数的单调性极值等方面的综合运用. 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是 以函数为背景考查导数运用的典型问题.问题中的参数 m 的设置给本题的解答带来一 定的难度,也为能力的考查提供了素材. 第一问的解答中直接利用题设中 m ? 0 的条件, 求出其极大值. 第二问中求 t 的范围的问题. 解答中先将问题进行等价转化,然后借助函 数值的符号建立不等式求出其范围. 第三问在求解中也是进行等价转化再运用导数构造 函数 g ( x) ,通过研究其单调性进行推证.

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