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2015年中国女子数学奥林匹克试题(二天)


2015 年中国女子数学奥林匹克试题 (第一天)
1.如图, 在锐角 ?ABC 中,AB ? AC ,O 为外心,D 为边 BC 的中点.以 AD 为直径作圆与边 AB、AC 分别交于点 E、F .过 D 作 DM / / AO 交 EF 于点 M , 求证: EM ? MF .

2.设 a ? (0,1) ,且

f ( x)

? ax3 ? (1 ? 4a) x2 ? (5a ?1) x ? (3 ? 5a), g ( x) ? (1 ? a) x 3 ? x2 ? (2 ? a) x ? (3a ? 1) .
求证:对于任意实数 x , f ( x) 和 g ( x) 中至少有一个不小于 1 ? a . 3.把 12 ? 12 的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色, 使得由方格线围成的任意一个 3 ? 4 或 4 ? 3 的 长方形内部至少有一个黑色单位方格.试求黑色单位方格个数的最小值.

4.对每个正整数 n ,记 g (n) 为 n 与 2015 的最大公约数,求满足下列条件的有序三元组 ? a, b, c ? 的个 数: 1) a, b, c ??1, 2,L , 2015?; 2) g (a), g (b), g (c), g (a ? b), g (b ? c), g (c ? a), g (a ? b ? c) 这七个数两两不同.

2015 年中国女子数学奥林匹克
(第二天) 5.有多少个不同的边长为整数的直角三角形,其面积值是周长值的 999 倍? (全等的两个三角形看作相同的)

6.如图,两圆 ?1 、 ?2 外离,他们的一条外公切线与 ?1 、 ?2 分别切于点 A、 B ,一条内公切线与 ?1 、

?2 分别切于点 C、D ,设 E 是直线 AC、BD 的交点,F 是 ?1 上一点,过 F 作 ?1 的切线与线段 EF 的
中垂线交于点 M ,过 M 作 MG 切 ?2 于 G ,求证: MF ? MG .

7.设 x1 , x2 ,L , xn ? (0,1) , n ? 2 .求证:

1 ? xn 1 ? x1 1 ? x2 n ?1 ? ?L ? ? x1 x2 xn x1 x2 K xn

8.给定整数 n ? 2 ,黑板上写着 n 个集合,然后进行如下操作:选取黑板上两个互不包含的集合
A、 B ,擦掉它们,然后写上 A ? B 和 A ? B ,这称为一次操作.如此操作下去,直到任意两个集合

中都有一个包含另一个为止.对所有的初始状态和操作方式,求操作次数的最大可能值.


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