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阅读材料之一:排列组合解法20例讲


数学竞赛阅读材料一:排列组合解法 20 例讲
排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,首先要认 真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特征,采 用合理恰当的方法来处理. 一、两个基本原理 1.分类计数原理(加法原理) : 完成一件事, n 类办法, 有 在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,

在第 2 类有 m2 种不同的方法, …, 在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有: N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) : 完成一件事, 需要分成 n 个步骤, 做第 1 步有 m1 种不同的方法, 做第 2 步有 m2 种不同的方法, …, 做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有: N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别: 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事. 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 二、解决排列组合综合性问题的一般程序 1.认真审题弄清要做什么事. 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及 多少类. 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个 元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略. 三、例讲常见的解题方法 1.特殊元素和特殊位置优先策略 例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数? 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
1 1 3 先排末位共有 C3 ;然后排首位共有 C4 ;最后排其它位置共有 A4 1 1 3 由分步计数原理得: C3C4 A4 ? 228 .

C4

1

A4

3

C3

1

“位置分析法”和“元素分析法”是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主, 须先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,须先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。 若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件.
1

练习:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里; 问有多少不同的种法? 2.相邻元素捆绑策略 例 2.7 人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法? 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个“大元素” ,同时丙丁也看成一个“大元素” ,再与其
5 2 2 它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排;由分步计数原理可得共有 A5 A2 A2 ? 480 种不

同的排法.

甲 乙

丙 丁

要求某几个元素必须排在一起的问题, 可以用捆绑法来解决问题; 即将需要相邻的元素合并为一 个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习:某人射击 8 枪,命中 4 枪,求 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数. (答案:20) 3.不相邻问题插空策略 例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺 序有多少种?
5 解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 A5 种,第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元 5 素中间包含首尾两个空位共有种 A64 不同的方法, 由分步计数原理, 节目的不同顺序共有 A5 A64 种.

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端. 练习:某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目;如果将这两个 新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,求不同插法的种数. (答案:30) 4.定序问题倍缩空位插入策略 例 4.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法? 解: (倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,
7 3 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是: A7 / A3 .

(空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A74 种方法,其余的三个位置甲乙丙共 有 1 种坐法,则共有 A74 种方法.
3 4 (插入法)先排甲乙丙三个人,共有 C7 种排法,再把其余 4 四人依次插入有 A4 种排法,则有共有

3 4 C7 A4 种方法.

(注:由计算可知:上述三个结果是一样的. ) 定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插空模型处理.
2

练习:10 人身高各不相等,排成前后排,每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?
5 (答案: C10 )

5.重排问题求幂策略 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法? 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法,把第二名实习生分配到车间也有 7 种分法,依此类推,由分步计数原理共有 7 6 种不同的排法. 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个 元素的位置,一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m m 个位置上的排列数为 m n 种. 练习 1:某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目;如果将这两个 节目插入原节目单中,求不同插法的种数. (答案:42) 练习 2:某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,求下电梯的方法总数. (答案: 7 8 ) 6.环排问题线排策略 例 6.8 人围桌而坐,共有多少种坐法?
4 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人 A4 并从此位置把圆

形展成直线其余 7 人共有 (8 ? 1)! 种排法即 7! 种排法.
C D E F G H B A A B C D E F G H A

一般地,n 个不同元素作圆形排列, 共有 (n ? 1)! 种排法; 如果从 n 个不同元素中取出 m 个 元素作圆形排列共有

1 m An . n

练习:6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈?(答案:120) 7.多排问题直排策略 例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法? 解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排;先排前 4 个位置上的两个特殊
2 1 元素甲乙有 A4 种,再排后 4 个位置上的特殊元素丙有 A4 种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列

2 1 5 5 有 A5 种,则共有 A4 A4 A5 种排法.

3

前 排

后 排

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究. 练习:有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不 能坐,并且这 2 人不左右相邻,求不同排法的种数. (答案:346) 8.排列组合混合问题先选后排策略 例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法? 解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 C52 种方法,再把 4 个元素(包含一个复合元素)装
4 4 入 4 个不同的盒内有 A4 种方法,根据分步计数原理装球的方法共有 C52 A4 种装法.

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想. 练习:一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成一种 任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有多少种?(答案:192) 9.小集团问题先整体后局部策略 例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹在 1,5 两个奇数之间, 这样的五位数有多少个?
2 2 2 解:把 1,5,2,4 当作一个小集团与 3 排队共有 A2 种排法,再排小集团内部共有 A2 A2 种排法, 2 2 2 由分步计数原理共有 A2 A2 A2 种排法.

1524

3

小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理. 练习: 1.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,4 幅油画,5 幅国画,排成一行陈列,要求同一品种
2 5 4 的必须连在一起,并且水彩画不在两端,共有多少种陈列方式?(答案: A2 A5 A4 ) 2 5 5 2.5 男生和 5 女生站成一排照像,求男生相邻女生也相邻的排法有多少种?(答案: A2 A5 A5 )

10.元素相同问题隔板策略 例 10.有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个,有多少种分配方案? 解:因为 10 个名额没有差别,把它们排成一排;相邻名额之间形成 9 个空隙,在 9 个空档中选 6 个 位置插个隔板,可把名额分成 7 份,对应地分给 7 个班级,每一种插板方法对应一种分法共有 C96 种分法.

4

一 班

二 班

三 班

四 班

五 班

六 班

七 班

将 n 个相同的元素分成 m 份( n , m 为正整数),每份至少一个元素,可以用 m?1 块隔板,
m 插入 n 个元素排成一排的 n ?1个空隙中,所有分法数为 Cn ??1 . 1

练习: 1.10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法?(答案: C94 )
3 2. x ? y ? z ? w ? 100 ,求这个方程组的自然数解的组数. (答案: C103 )

11.正难则反总体淘汰策略 例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数,使其和为不小于 10 的偶数, 不同的取法有多少种? 解:这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法.这十个数字中有 5 个偶数 5 个
3 1 奇数,所取的三个数含有 3 个偶数的取法有 C5 ,只含有 1 个偶数的取法有 C5C52 ,和为偶数的取

1 3 1 3 法共有 C5C52 ? C5 ;再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种,符合条件的取法共有 C5C52 ? C5 ? 9 种.

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出 它的反面,再从整体中淘汰. 练习:我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多 少种? 12.平均分组问题除法策略 例 12.6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法?
2 2 解:分三步取书得 C62 C4 C2 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF,若第一 2 2 步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF,该分法记为(AB,CD,EF) ,则 C62 C4 C2 中还有: 3 (AB,EF,CD)(CD,AB,EF)(CD,EF,AB)(EF,CD,AB)(EF,AB,CD)共有 A3 , , , , 2 2 2 3 种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有 C6 C4 C2 / A3 种分法.

n 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 An

( n 为均分的组数)避免重复计数. 练习:
5 2 2 1.将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队,有多少分法?(答案: C13C84C4 / A2 )

2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人,另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分

5

组方法?(答案:1540) 3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转入 4 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排 2
2 2 2 2 名,求不同的安排方案种数?(答案: C4 C2 C6 / A2 )

13.合理分类与分步策略 例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人 伴舞的节目,有多少选派方法? 解:10 演员中有 5 人只会唱歌,2 人只会跳舞 3 人为全能演员;选上唱歌人员为标准进行研究只会
1 1 2 唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 C32 C32 种, 只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员 C5C3C4 种,
1 1 2 只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有 C52 C52 种,由分类原理共有 C32C32 ? C5C3C4 ? C52C52 种.

解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做 到标准明确.分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终. 练习: 1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生,求不同 的选法共有多少?(答案:34) 2.3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人,2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船,这 3 人共有多少乘船方法?(答案:27) 14.构造模型策略 例 14.马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关 掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种?
3 解:把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有 C5 种.

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型, 如占位填空模型, 排队模型, 装盒模型等,可使问题直观解决. 练习:某排共有 10 个座位,若 4 人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法有多少种? (答案:120) 15.实际操作穷举策略 例 15.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五 个盒子内, 要求每个盒子放一个球并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同, 有多少投法? 解:从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C52 种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应,利用实际操作法,如果 剩下 3,4,5 号球,3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时,则 4,5 号球有只有 1 种装法,同理 3 号 球装 5 号盒时,4,5 号球有也只有 1 种装法,由分步计数原理有 2C52 种.

5

3

4
6

3 号盒

4 号盒

5 号盒

对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图 会收到意想不到的结果. 练习: 1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的 贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种?(答案:9) 2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的 着色方法有多少种?(答案:72) 16.分解与合成策略 例 16.30030 能被多少个不同的偶数整除? 解:先把 30030 分解成质因数的乘积形式:30030=2×3×5×7×11×13; 依题意可知偶因数必先取 2,再从其余 5 个因数中任取若干个组成乘积,
1 3 5 所有的偶因数为: C5 ? C52 ? C5 ? C54 ? C5 ? 31 (个) .

1 3 2 5 4

练习:正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线? 解:我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四面体,有四面体共: C84 ? 12 ? 58 ,每个四面体有 3 对 异面直线,所以正方体中的 8 个顶点可连成: 3?58 ? 174 对异面直线. 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小 问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从 而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略. 17.化归策略 例 17.有 25 人排成 5×5 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,则不同的选法 有多少种? 解:将这个问题退化成 9 人排成 3×3 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,有 多少选法;这样每行必有 1 人从其中的一行中选取 1 人后,把这人所在的行列都划掉,如此继
1 1 1 续下去, 3×3 方队中选 3 人的方法有 C3C2 C1 种; 从 再从 5×5 方阵选出 3×3 方阵便可解决问题; 3 3 从 5×5 方队中选取 3 行 3 列有 C5 C5 ,选法所以从 5×5 方阵选不在同一行也不在同一列的 3 人 3 3 1 1 1 有 C5 C5 C3C2C1 选法.

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个 简要的问题,通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法, 从而进下一步解决原来的问题. 练习:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路,

B

A

7

3 从 A 走到 B 的最短路径有多少种?(答案: C7 ? 35 )

18.数字排序问题查字典策略 例 18.由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数?
5 4 3 2 1 解: N ? 2 A5 ? 2 A4 ? A3 ? A2 ? A1 ? 297 .

数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求 的个数,根据分类计数原理求出其总数. 练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来, 第 71 个数是什么数?(答案:3140) 19.树图策略 例 19.3 人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5 次传求后,球仍回到甲的手中, 则有多少种不同的传球方式?(答案:10) 对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,树图会收到意想不到的结果. 练习:分别编有 1,2,3,4,5 号码的人与椅,其中 i 号人不坐 i 号椅( i ? 1,2,3,4,5)的不同 坐法有多少种?(答案:44) 20.复杂分类问题表格策略 例 20.有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母,现从中取 5 只,要求各 字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法? 解: 红 黄 兰 取法 1 1 3
1 2 C5C4

1 2 2
1 2 C5C4

1 3 1
1 3 C5C4

2 1 2
1 C52 C3

2 2 1
C52 C32

3 1 1
3 1 C5 C2

一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多,无从入手,经常出现重复遗漏的情况, 用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果.

四、小结 本讲座,对有关排列组合问题的几种常见的解题策略作了例举.排列组合问题历来是学习中的 难点,只有通过多做的练习题才能学会这些解题方法.排列组合题的特点是条件隐晦,不易挖掘, 题目多变,解法独特,数字庞大,难以验证.只有对基本的解题策略熟练掌握,根据所给的条件,

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选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,可以将几种策略结合起来应用把复杂的问 题简单化,举一反三,触类旁通,从而解决问题.

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