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高中数学20分钟专题突破04


高中数学 20 分钟专题突破 03 立体几何初步 一.选择题 1.已知直线 ① ③ ; ② ; ④ ; 则下列四个命题:

其中正确的是 ( ) A.①② B.③④ C.②④ D.①③ 2.如图,一个几何体的正视图和侧视图是腰长为 1 的等腰三角形,俯视图 是一个圆及其圆心,当这个几何体的体积最大时圆的半径是 ( )

A.

r />B.

C.

D.

3.如图,ABCD 中,AB⊥BD,沿 BD 将△ABD 折起,使面 ABD⊥面 BCD,连结 AC,则在四面体 ABCD 的四个面中,互相垂直的平面有( )对

A.1 B.2 C.3 D.4 4.(广东省中山市 2009 年四校联考数学,数学理科,5)给出下列关于互 不相同的直线 ①若 ②若 是异面直线, 和平面 的四个命题: ; ;

③若 ④若 其中为假命题的是 ( ) A.① B.② C.③ D.④ 二.填空题:



1.正三棱锥 P-ABC 的四个顶点同在一个半径为 2 的球面上,若正三棱锥的 侧棱长为 2,则正三棱锥的底面边长是____________. 2、正三棱柱的底面边长为2,高为2,则它的外接球的表面积为______;

3.在北纬 60°圈上有 A,B 两地,它们在此纬度圈上的弧长等于 球的半径),则 A,B 两地的球面距离为______________. 三.解答题: 如图, 、 分别是正四棱柱 中点,


(

是地

上、下底面的中心, 是



(Ⅰ)求证:

∥平面



(Ⅱ)当

时,求直线

与平面

所成角的大小; 的重心?

(Ⅲ) 当 取何值时, 在平面 答案: 一.选择题

内的射影恰好为

1.〖解析〗本题考查线面位置关系的判断,②④显然不正确 〖答案〗D

2. 〖解析〗本题考查三视图及椎体的体积计算。设底面半径为 ,高位 ,



,则 【答案】C

,当



时,体积最大。

3.〖解析〗本题考查图形的翻折,和面面垂直的判定,显然面 ABD⊥面 BCD, 面 ABC⊥面 BCD,面 ABD⊥面 ACD, 【答案】C 4.〖解析〗本题考查线线,线面及面面位置关系的判定 【答案】C 二.填空题: 1. 【答案】3

2.【答案】

3. 【答案】 三.解答题: 解法一:(Ⅰ)过 P 作 MN∥B1C1,分别交 A1B1、D1C1 于 M、N,则 M、N 分别为 A1B1、D1C1 的中点,连 MB、NC,则四边形 BCNM 是平行四边形 …………… 2 分

∵E、M 分别为 AB、A1B1 中点,∴A1E∥MB 又 MB 平面 PBC,∴A1E∥平面 PBC。………… 4 分 (Ⅱ) 过 A 作 AF⊥MB,垂足为 F,连 PF, ∵BC⊥平面 ABB1A1,AF 平面 ABB1A1, ∴AF⊥BC, BC∩MB=B,∴AF⊥平面 PBC,

∴∠APF 就是直线 AP 与平面 PBC 所成的角,…… 7 分

设 AA1=a,则 AB=

a,AF=

,AP=



sin∠APF=

。所以,直线 AP 与平面 PBC 所成的角是

。 ………… 9 分 (Ⅲ)连 OP、OB、OC,则 OP⊥BC,由三垂线定理易得 OB⊥PC,OC⊥PB,所 以 O 在平面 PBC 中的射影是△PBC 的垂心,又 O 在平面 PBC 中的射影是△PBC 的 重心,则△PBC 为正三角形。即 PB=PC=BC,所以 反之,当 k= 时,PA=AB=PB=PC=BC,所以三棱锥 的重心 。 为正三棱锥,

∴O 在平面 PBC 内的射影为


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