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2014高考总复习数列理科测试卷


2014 高考第一轮总复习数列理科测试卷(一)(20 班)
班别: 姓名: 座号 : 成绩: 本试卷第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 3 5 7 9 1.数列 1,-2,3,-4,5,?的一个通项公式是

( ) 2n-1 2n-1 2n-1 2n+1 A. n B.(-1)n n C.(-1)n-1 n D.(-1)n+1 n 2.若等差数列{an}的前 3 项和 S3=9,且 a1=1,则 a2 等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.已知正项数列{an}满足 a1=2,且 log2an+1+log2(n+1)=log2an+log2n,则数列{an}的通项 公式为( ) 2 2 1 1 A. B.n C. D.n n+1 n+1 d+3a 4.若 a,b,c,d 是公比为 3 的等比数列,则 等于( ) c+3b 1 3 5 A.2 B.2 C.3 D.2 5.如果 a1,a2-a1,a3-a2,?,an-an-1 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,那么 an=( ) n+1 n n-1 n A.2 -1 B.2 -1 C.2 D.2 +1 5 6.已知实数等比数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和,若 a2· a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为4, 则 S5 等于( ) A.35 B.33 C.31 D.29 7.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图 1 的规律拼成若干个图案,则第 n 个图案中有白色 地面砖的块数是( )

图1 A.4n+2 B.4n-2 C.2n+4 D.3n+3 8.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和, n∈N*,则 S10 的值为( ) A.-110 B.-90 C.90 D.110 → =a OA → +a OC → ,且 A、B、C 三点共线(该直线 9.已知等差数列{a }的前 n 项和为 S ,若OB
n n 1 200

不过点 O),则 S200 等于( ) A.100 B.101 C.200 D.201 a1 a2 an 10.若数列{an}满足 3 +32+?+3n=2n,则 a2 012=( ) A.62 011 B.62 012 C.2×62 011 D.3· 62 011 11.等比数列{an}中,an<0,且 a4a6+2a5· a7+a6· a8=121,那么 a5+a7=( ) A.-11 B.-22 C.-33 D.-44 12.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=( ) 3 2 1 A.2n-1 B.(2)n-1 C.(3)n-1 D. n-1 2
1

选择题: (5 分×12=60 分)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) S2n 13. 设 Sn 是数列{an}的前 n 项和, 若 S (n∈N*)是非零常数, 则称数列{an}为“和等比数列”. 若 n 数列{2bn}是首项为 2,公比为 4 的等比数列,则数列{bn}________(填“是”或“不是”)“和 等比数列”. 14.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则使 Sn 达到最大值的 n 是 ____________. 15. 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树, 每人植一棵, 相邻两棵树相距 10 米. 开 始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返 所走 .. 的路程总和最小,这个最小值为________米. 16.将全体正整数排成一个三角形数阵:

图2 按照以上排列的规律,第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为__________. 三、解答题(本大题有 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) n+2 17.(本小题满分 10 分)已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn= 3 an. (1)求 a2,a3; (2)求{an}的通项公式. 4 解:(1)由 S2=3a2 得 3(a1+a2)=4a2,解得 a2=3a1=3. 5 3 由 S3=3a3 得 3(a1+a2+a3)=5a3,解得 a3=2(a1+a2)=6. n+2 n+1 (2)由题设知 a1=1. 当 n>1 时,有 an=Sn-Sn-1= 3 an- 3 an-1, n+1 n+1 3 4 n 整理得 an= an-1. 于是 a2=1a1,a3=2a2,?,an-1= an-2,an= a . n-1 n-2 n-1 n-1 n?n+1? 将以上 n-1 个等式中等号两端分别相乘,整理得 an= 2 . n?n+1? 综上可知,{an}的通项公式 an= 2 . 18.(本小题满分 12 分)已知数列{an}中,a1=5,an=2an-1+2n-1(n∈N*且 n≥2). ?an+λ? ? ? (1)求 a2、a3 的值;(2)是否存在实数 λ,使得数列? n ?为等差数列?若存在,求出 λ 的值; ? 2 ? ? ? 若不存在,请说明理由. 解:(1)依题意,有 a2=2a1+22-1=10+4-1=13,a3=2a2+23-1=26+8-1=33. (2)∵an=2an-1+2n-1(n∈N*且 n≥2), an+λ 2an-1+2n-1+λ an-1+λ 1+λ ∴ 2n = = n n-1 +1- 2 2n . 2
2

? 1+λ ?an+λ? ? 显然,当且仅当 2n =0,即 λ=-1 时,数列? n ?为等差数列. 2 ? ? ? ? 19.(本小题满分 12 分)已知{an}为等差数列,且 a1+a3=8,a2+a4=12. (1)求{an}的通项公式; (2)记{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1,ak,Sk+2 成等比数列,求正整数 k 的值. 解:(1)设数列{an}的公差为 d,由题意知 ?2a1+2d=8 ?a1=2 ? 解得? ?2a1+4d=12, ?d=2. 所以 an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. n?a1+an? n?2+2n? (2)由(1)可得 Sn= = =n(n+1). 2 2 因为 a1,ak,Sk+2 成等比数列,所以 a2 k =a1Sk+2. 2 2 从而(2k) =2(k+2)(k+3),即 k -5k-6=0, 解得 k=6 或 k=-1(舍去),因此 k=6. 20.(本小题满分 12 分)已知数列{an}满足 a1=p,a2=p-41,an+2-2an+1+an=n-20,其中 p 是给定的实数,n 是正整数,bn=an+1-an. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)试求 n 的值,使得 an 的值最小. 解:(1)由 an+2-2an+1+an=n-20,得 an+2-an+1-(an+1-an)=n-20. ∴bn+1-bn=n-20,b1=a2-a1=-41, 即 b2-b1=1-20,b3-b2=2-20,?,bn-bn-1 =(n-1)-20, ?n-1?n 以上 n-1 个等式相加得 bn-b1=1+2+3+?+(n-1)-20(n-1)= -20n+20, 2 n2-41n ∴bn= 2 -21. (2)由 an+1-an>0 得 bn>0,即 n2-41n-42>0, ∴n>42 或 n<-1(舍去), 故 n>42 时,an+1-an>0,即 an+1>an; n<42 时,an+1-an<0,即 an+1<an; n=42 时,a43=a42. 故 n=42 或 n=43 时,an 的值最小. 21.(本小题满分 12 分)已知{an}是等比数列,a1=2,a3=18,{bn}是等差数列,b1=2,b1+ b2+b3+b4=a1+a2+a3>20. (1)求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn 的公式;(3)设 Pn=b1+b4+b7+?+ b3n-2,Qn=b10+b12+b14+?+b2n+8,其中 n∈N*,试比较 Pn 与 Qn 的大小,并证明你的结论. a3 解:(1)设{an}的公比为 q,由 a3=a1q2 得 q2=a =9,∴q=± 3. 1 当 q=-3 时,a1+a2+a3=2-6+18=14<20,这与 a1+a2+a3>20 矛盾,故舍去. 当 q=3 时,a1+a2+a3=2+6+18=26>20,故符合题意. 4×3 设数列{bn}的公差为 d,由 b1+b2+b3+b4=26,得 4b1+ 2 d=26, 又 b1=2,解得 d=3,所以 bn=3n-1. n?b1+bn? n?2+3n-1? 3 2 1 (2)Sn= = =2n +2n. 2 2 3

(3)b1,b4,b7,?,b3n-2 组成以 3d 为公差的等差数列, n?n-1? 9 5 所以 Pn=nb1+ 2 · 3d=2n2-2n; b10,b12,b14,?,b2n+8 组成以 2d 为公差的等差数列,b10=29. n?n-1? 所以 Qn=nb10+ 2 2d=3n2+26n. 9 5 所以 Pn-Qn=(2n2-2n)-(3n2+26n) 3 =2n(n-19). 所以,对于正整数 n,当 n≥20 时,Pn>Qn; 当 n=19 时,Pn=Qn;当 n≤18 时,Pn<Qn. 22.(本小题满分 12 分)已知在等差数列{an}中,a1=1,公差 d>0,且 a2,a5,a14 分别是等比 数列{bn}中的第二项、第三项、第四项. c1 c2 cn (1)求{an}与{bn}的通项公式;(2)数列{cn}对任意的 n∈N*,都有b +b +?+b =an+1,求{cn} 1 2 n 的通项公式;(3)求数列{an· cn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)由题意可得 a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d.
2 ∵a5 =a2a14,∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d),整理得 3d2=6d, ∴d=2(d=0 舍去), an=1+2(n-1)=2n-1,b2=a2=3,b3=a5=9. b3 ∴q=b =3,b1=1,则 bn=b1qn-1=3n-1. 2 综上可知,an=2n-1,bn=3n-1. cn-1 cn c1 c2 (2)当 n≥2 时,b +b +?+ + =an+1, bn-1 bn 1 2 cn-1 c1 c2 + + ? + =a , b1 b2 bn-1 n cn 两式相减,得b =an+1-an=d=2,∴cn=2bn=2×3n-1. n 当 n=1 时,c1=b1a2=3. ? n=1 ?3, 综上可知,cn=? n-1 ?2×3 ,n≥2. ? (3)Sn=1×3+3×2×31+5×2×32+?+(2n-1)×2×3n-1, 3Sn=3×31+3×2×32+?+(2n-3)×2×3n-1+(2n-1)×2×3n, 两式相减,得- 2Sn = 12 + 4(32 + 33 + ? + 3n - 1) - (2n - 1)×2×3n = 12 + 9?3n-2-1? 4× -(2n-1)×2×3n, 3-1 3n-9 ∴Sn=-6-2× 2 +(2n-1)×3n=2(n-1)×3n+3.

4


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