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高中数学必修1-5知识点归纳及公式大全


高一数学常用公式及结论
必修 1: 一、集合 1、含义与表示: (1)集合中元素的特征:确定性,互异性,无序性 (2)集合的分类;有限集,无限集 (3)集合的表示法:列举法,描述法,图示法 2、集合间的关系:子集:对任意 x ? A ,都有 x ? B ,则称 A 是 B 的子集。记作 A ? B 真子集:若 A 是 B 的子集,且在 B 中至少存在一个元素不属于 A,

则 A 是 B 的真子集, 记作 A ? B 集合相等:若: A ? B, B ? A ,则 A ? B
3. 元素与集合的关系:属于 ?
?

不属于: ?

空集: ?

4、集合的运算:并集:由属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合叫并集,记为 A ? B 交集:由集合 A 和集合 B 中的公共元素组成的集合叫交集,记为 A ? B 补集:在全集 U 中,由所有不属于集合 A 的元素组成的集合叫补集, 记为 CU A 5.集合 {a1 , a2 ,?, an } 的子集个数共有 2
n

个;真子集有 2 –1 个;非空子集有 2
*

n

n

–1 个;

6.常用数集:自然数集:N 正整数集: N 整数集:Z 有理数集:Q 实数集:R 二、函数的奇偶性 1、定义: 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ,偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )(注意定义域) 2、性质: (1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形; (2)偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形; (3)如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数; (4)如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 二、函数的单调性 1、定义:对于定义域为 D 的函数 f ( x ),若任意的 x1, x2∈D,且 x1 < x2 ① f ( x1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减 三、二次函数 y = ax2 +bx + c( a ? 0 )的性质 1、顶点坐标公式: ? ??

?

b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 ? ? x ? ? , 对称轴: ,最大(小)值: , 2a 4a 4a ? ? 2a ?

2.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ; (3)两根式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 四、指数与指数函数 1、幂的运算法则: (1)a m ? a n = a m + n , (2) a ? a ? a
m n m?n

, (3)( a m ) n = a m n (4)( ab ) n = a n ? b n
n

? 1 1 an ?a? ?n m n (5) ? ? ? n (6)a 0 = 1 ( a≠0)(7) a ? n (8) a m ? a (9) a m ? m n a b ?b? a

n

n

2、根式的性质 (1) ( n a )n ? a . (2)当 n 为奇数时, n an ? a ; 当 n 为偶数时, a n ?| a |? ?
n

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

4、指数函数 y = a x (a > 0 且 a≠1)的性质:
-1-

(1)定义域:R ; 值域:( 0 , +∞) Y a>1 1 0 X

(2)图象过定点(0,1) Y 0<a<1 1 0 X

5.指数式与对数式的互化: loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . 五、对数与对数函数 1 对数的运算法则: log N (1)a b = N <=> b = log a N(2)log a 1 = 0(3)log a a = 1(4)log a a b = b(5)a a = N (6)log a (MN) = log a M + log a N (8)log a N b = b log a N (10)推论 log a m b ?
n

(7)log a (

M ) = log a M -- log a N N

(9)换底公式:log a N =

logb N logb a

n log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m
(12) 常用对数: lg N = log 10 N (13) 自然对数: ln A = log e A (其中 e = 2.71828?)

(11) log a N =

1 log N a

2、对数函数 y = log a x (a > 0 且 a≠1)的性质: (1)定义域:( 0 , +∞) ; 值域:R Y a >1 X 1

(2)图象过定点(1,0) Y 0<a<1 1 0 X

0

六、幂函数 y = x a 的图象:(1) 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 . a>1 0<a<1 a<0

1

例如: y = x 2

y ? x ? x2

y?

1 ? x ?1 x

七.图象平移:若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位, 得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象; 规律:左加右减,上加下减 八. 平均增长率的问题
x 如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,有 y ? N (1 ? p) .

九、函数的零点:1.定义:对于 y ? f ( x) ,把使 f ( x) ? 0 的 X 叫 y ? f ( x) 的零点。即

y ? f ( x) 的图象与 X 轴相交时交点的横坐标。
2.函数零点存在性定理:如果函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b? 上的图象是连续不断的一条
-2-

曲线,并有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 内有零点,即存在 c ? ? a, b ? , 使得 f (c) ? 0 ,这个 C 就是零点。 3.二分法求函数零点的步骤: (给定精确度 ? )

a?b 2 (3)计算 f ( x1 ) ①若 f ( x1 ) ? 0 ,则 x1 就是零点;②若 f (a) ? f ( x1 ) ? 0 ,则零点
(1)确定区间 ? a, b? ,验证 f (a) ? f (b) ? 0 ;(2)求 ? a, b ? 的中点 x1 ?

x0 ? ? a, x1 ? ③若 f ( x1 ) ? f (b) ? 0 ,则零点 x0 ? ? x1 , b ? ;

(4)判断是否达到精确度 ? ,若 a ? b ? ? ,则零点为 a 或 b 或 ? a, b ? 内任一值。否 则重复(2)到(4)

必修 2:一、直线与圆

1、斜率的计算公式:k = tanα=

y 2 ? y1 (α ≠ 90° ,x 1≠x 2) x2 ? x1

2、直线的方程(1)斜截式 y = k x + b,k 存在 ; (2)点斜式 y – y 0 = k ( x – x 0 ) ,k 存在; (3)两点式

y ? y1 x ? x1 x y ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ;4)截距式 ? a b y 2 ? y1 x2 ? x1

(5)一般式 Ax ? By ? c ? 0( A, B不同时为0) 3、两条直线的位置关系: l1:y = k1 x + b1 l2:y = k 2 x + b2 重合 平行 垂直 k1= k 2 且 b1= b2 k1= k 2 且 b1≠ b2 k1 k 2 = – 1

l1: A1 x + B1 y + C1 = 0 l2: A2 x + B2 y + C2 = 0 A1 B C ? 1 ? 1 A2 B2 C 2 A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2 A 1 A 2 + B1 B2 = 0

4、两点间距离公式:设 P1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 ),则 | P1 P2 | = 5、点 P ( x 0 , y 0 )到直线 l :A x + B y + C = 0 的距离: d ? 7、圆的方程 圆的方程 标准方程 x +y =r
2 2 2 2 2 2

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y 2 ?2

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2
半径 r r

圆心 (0,0) (a,b)

(x – a ) + ( y – b ) = r

一般方程

x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0

? D E? ? ? ,? ? ? 2 2?

1 D 2 ? E 2 ? 4F 2
(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 , 则 d ? r ?点P 在

8.点与圆的位置关系
2 2 2 点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种若 d ?

圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内. 9.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为 d)
2 2 2 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
10.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d
-3-

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
11.圆的切线方程 (1)已知圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . ①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是

D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0. 2 2 D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0 表示过两个切点的切点弦方程. 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, x0 x ? y0 y ? 2 2 ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必有两条切线,注意不 x0 x ? y0 y ?
要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x2 ? y 2 ? r 2 .
2 ①过圆上的 P 0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r ;

②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k 2 二、立体几何 (一) 、线线平行判定定理:1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。 2、垂直于同一平面的两直线平行。3、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那 么这条直线和交线平行。 4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (二) 、线面平行判定定理 1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 2、若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。 (三) 、面面平行判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 (四) 、线线垂直判定定理: 若一直线垂直于一平面,则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。 (五) 、线面垂直判定定理 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。 2、如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 (六) 、面面垂直判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 (七) .证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. (八) .证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. (九) .证明平面与平面平行的思考途径(1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. (十) .证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)利用三垂线定理或逆定理; (十一) .证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;
-4-

(十二) .证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 三、空间几何体 (一) 、正三棱锥的性质 1、底面是正三角形,若设底面正三角形的边长为 a,则有 A D B 图形 A 正三角形
B

P

C
O

外接圆半径

内切圆半径

面积

O
D

OA ?

3 a 3

OD ?

3 a 6

S?

3 2 a 4

2、正三棱锥的辅助线作法一般是: 作 PO⊥底面 ABC 于 O,则 O 为△ABC 的中心,PO 为棱锥的高, 取 AB 的中点 D,连结 PD、CD,则 PD 为三棱锥的斜高,CD 为△ABC 的 AB 边上的高, 且点 O 在 CD 上。∴△POD 和△POC 都是直角三角形,且∠POD =∠POC = 90° (二) 、正四棱锥的性质 1、底面是正方形,若设底面正方形的边长为 a,则有 P 图形 外接圆半径 内切圆半径 面积

正方形

O

A B

OB =

2 a 2

OA =

a 2

S=a2 D

C

O A

B E

2、正四棱锥的辅助线作法一般是: 作 PO⊥底面 ABCD 于 O,则 O 为正方形 ABCD 的中心,PO 为棱锥的高,取 AB 的中点 E,连结 PE、OE、OA, 则 PE 为四棱锥的斜高,点 O 在 AC 上。∴△POE 和△POA 都是直角三角形,且∠POE =∠POA = 90° (三) 、长方体 长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和。 特殊地,若正方体的棱长为 a ,则这个正方体的一条对角线长为 3 a 。 (四) 、正方体与球 1、设正方体的棱长为 a,它的外接球半径为 R1,它的内切球半径为 R2,则 3a ? 2R1 , a ? 2R2 D1
O

C1 B1

A1 D

C B

(五)几何体的表面积体积计算公式 1、圆柱: 表面积:2π R +2πRh 体积:πR?h
2

A

2、圆锥: 表面积:πR?+πRL 体积: πR?h/3 (L 为母线长) 3、圆台:表面积:

? r 2 ? ? R2 ? ? (r ? R)l

体积:V=πh(R?+Rr+r? )/3
-5-

4、球:S 球面 = 4π R2

V球 =

4 π R3 (其中 R 为球的半径) 3

5、正方体: a-边长, S=6a? ,V=a? 6、长方体 a-长 ,b-宽 ,c-高 S=2(ab+ac+bc) V=abc V=Sh V=Sh/3 7、棱柱:全面积=侧面积+2X 底面积 8、棱锥:全面积=侧面积+底面积

9、棱台:全面积=侧面积+上底面积+下底面积

1 V ? ( s1 ? s 1? s 2? s )2h 3

四、三视图 1.投影:把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。 把在一束平行光线照射下形成的投影,称为平行投影。平行投影按照投射方向是否正对着投影面,可以分为斜投 影和正投影两种。 2、光线从几何体的前面向后面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的正视图(也叫主视图);光线从几何 体的上面向下面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的俯视图; 光线从几何体的左面向右面正投影,得到投 影图,这种投影图叫做几何体的侧视图(或左视图) 3、“长对正,高平齐,宽相等”是三视图之间的投影规律,是画图和读图的重要依据. 画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。

必修 4 一、三角函数与三角恒等变换
1、三角函数的图象与性质 函数 正弦函数 余弦函数 正切函数

图象

定义域 值域 周期性 奇偶性 增区间[单调性

R [-1,1] 2π 奇函数

R [-1,1] 2π 偶函数 增区间[-π +2kπ , 2kπ ] 减区间[2kπ ,π +2kπ ] ( k ∈Z )

{x| x≠

? +kπ ,k∈Z} 2
R π 奇函数

对称轴 对称中心

? ? +2kπ , +2kπ ] 2 2 3? ? 减区间[ +2kπ , +2kπ ] 2 2 ? x= + kπ ( k∈Z ) 2
( kπ ,0 ) ( k∈Z ) sin 2α + cos 2α = 1

增区间 (-

? ? +kπ , +kπ ) 2 2


( k∈Z ) x = kπ ( k∈Z ) (

2、同角三角函数公式

? ? + kπ ,0 )( k∈Z ) ( k ,0 ) ( k∈Z ) 2 2 sin ? tan ? ? tanα cotα =1 cos ?
tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

3、二倍角的三角函数公式 sin2α = 2sinα cosα cos2α =2cos2α -1 = 1-2 sin2α = cos2α - sin2α
-6-

4、降幂公式 cos ? ?
2

1 ? cos 2? 2

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 2
1- cos2α = 2 sin2α

5、升幂公式 1±sin2α = (sinα ±cosα ) 2 6、两角和差的三角函数公式 sin (α ±β ) = sinα cosβ 土 cosα sinβ

1 + cos2α =2 cos2α

cos (α ±β ) = cosα cosβ 干 sinα sinβ

tan?? ? ? ? ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

7、两角和差正切公式的变形: tanα ±tanβ = tan (α ±β ) (1 干 tanα tanβ )

1 ? tan ? tan 45 ? ? tan ? ? = = tan ( +α ) 1 ? tan ? 1 ? tan 45 ? tan ? 4
8、两角和差正弦公式的变形(合一变形)

1 ? tan ? tan 45? ? tan ? ? = = tan ( -α ) 1 ? tan ? 1 ? tan 45? tan ? 4
(其中 tan ? ?

a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ?
9、半角公式: sin

b ) a

?
2

??

1 ? cos? 2

cos ?? 2

?

1? c o ? s 2

tan

?
2

??

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?
“奇变偶不变,符号看象限。 ” cos (π -α ) = -cosα , tan (π -α ) = -tanα ; cos (π +α ) = -cosα tan (π +α ) = tanα cos (2π -α ) = cosα tan (2π -α ) = -tanα cos (-α ) = cosα tan (-α ) = -tanα cos (

10、三角函数的诱导公式 sin (π -α ) = sinα , sin (π +α ) = -sinα sin (2π -α ) = -sinα sin (-α ) = -sinα

? -α ) = cosα 2 ? sin ( +α ) = cosα 2
sin ( 11.三角函数的周期公式

? -α ) = sinα 2 ? cos ( +α ) = -sinα 2

? -α ) = cotα 2 ? tan ( +α ) = -cotα 2
tan (

函数 y ? sin(? x ? ? ) , x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) , x∈R(A,ω , ? 为常数, 且 A≠0, ω >0)的周期 T ? 函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?

2?

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ?

? . ?

?



二、平面向量

(一) 、向量的有关概念

1、向量的模计算公式: (1)向量法:| a | = a ? a ?

a ;

2

2 2 (2)坐标法:设 a =(x,y) ,则| a | = x ? y

2、单位向量的计算公式: (1)与向量 a =(x,y)同向的单位向量是 ?

?

x

? x2 ? y2 ?

,

? ?; 2 2 ? x ?y ? y

-7-

(2)与向量 a =(x,y)反向的单位向量是 ? ?

? ? ?

x x2 ? y2

,

?

? ?; 2 2 ? x ?y ? y

3、平行向量 规定:零向量与任一向量平行。设 a =(x1,y1) , b =(x2,y2) ,λ 为实数 向量法: a ∥ b ( b ≠ 0 )<=> a =λ b 坐标法: a ∥ b ( b ≠ 0 )<=> x1 y2 – x2 y1 = 0 <=> 4、垂直向量 规定:零向量与任一向量垂直。设 a =(x1,y1) , b =(x2,y2) 向量法: a ⊥ b <=> a ? b = 0 5.平面两点间的距离公式 坐标法: a ⊥ b <=> x1 x 2 + y1 y 2 = 0

x1 x 2 (y1 ≠0 ,y 2 ≠0) ? y1 y 2

??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).

(二) 、向量的加法 (1)向量法:三角形法则(首尾相接首尾连) ,平行四边形法则(起点相同连对角) (2)坐标法:设 a =(x1,y1) , b =(x2,y2) ,则 a + b =(x1+ x2 ,y1+ y2) (三) 、向量的减法 (1)向量法:三角形法则(首首相接尾尾连,差向量的方向指向被减向量) (2)坐标法:设 a =(x1,y1) , b =(x2,y2) ,则 a - b =(x1 - x2 ,y1- y2) (3) 、重要结论:| | a | - | b | | ≤ | a ± b | ≤ | a | + | b | (四) 、两个向量的夹角计算公式: (1)向量法:cos ? =

a ?b | a || b | x1 x 2 ? y1 y 2
2 2 x ? y12 x 2 ? y2 2 1

(2)坐标法:设 a =(x1,y1) , b =(x2,y2) ,则 cos ? =

(五) 、平面向量的数量积计算公式: (1)向量法: a ? b = | a | | b | cos ? (2)坐标法:设 a =(x1,y1) , b =(x2,y2) ,则 a ? b = x1 x2 + y1 y2 (3) a?b 的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. (六).1、实数与向量的积的运算律:设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a;(2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 2.向量的数量积的运算律:(1) a?b= b?a (交换律); (2)( ? a) ?b= ? (a?b)= ? a?b= a? ( ? b);(3)(a+b) ?c= a ?c +b?c. 3.平面向量基本定理:如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有 且只有一对实数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2.不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (七).三角形的重心坐标公式
-8-

△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐 标是 G (

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ) 3 3

必修 5

一、解三角形:Δ ABC 的六个元素 A, B, C, a , b, c 满足下列关系:

1、角的关系:A + B + C = π , 特殊地,若Δ ABC 的三内角 A, B, C 成等差数列,则∠B = 60?,∠A +∠C = 120? 2、诱导公式的应用:sin ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = --cosC , sin (

A B A B C C ? ) = cos , cos ( ? ) = sin 2 2 2 2 2 2

3、边的关系:a + b > c , a – b < c(两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。 ) 4、边角关系: (1)正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R (R 为Δ ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C

a : b : c = sinA : sinB : sinC 分体型 a = 2R sinA , b = 2R sinB , c = 2R sinC , 2 2 2 (2)余弦定理:a = b + c – 2bc?cosA , b 2 = a 2 + c 2 – 2a c?cosB , c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b?cosC

cos A ?

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 , cos B ? , 2bc 2ac

cosC ?

a2 ? b2 ? c2 2ab

5、面积公式:S =

1 1 1 1 ah= ab sinC = bc sinA = ac sinB 2 2 2 2

二、数列 (一) 、等差数列{ a n } 1、通项公式:a n = a 1 + ( n – 1 ) d ,推广:a n = a m + ( n – m ) d ( m , n∈N ) 2、前 n 项和公式:S n = n a 1 +

n( a1 ? a n ) 1 n(n–1)d= 2 2

3、等差数列的主要性质 ① 若 m + n = 2 p,则 a m + a n = 2 a p(等差中项)( m , n∈N ) ② 若 m + n = p + q,则 a m + a n = a p + a q ( m , n , p , q∈N ) ③S n , S 2 n -- S n , S 3 n – S 2 n 组成等差数列,公差为 n d。 (二) 、等比数列{ a n }1、通项公式:a n = a 1 q n – 1 ,推广:a n = a m q n – m 2、等比数列的前 n 项和公式: 当 q≠1 时,S n =

( m , n∈N )

a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q = , 当 q = 1 时,S n = n a 1 1? q 1? q

3、等比数列的主要性质 ① 若 m + n = 2 p,则 a p2 = a m ? a n(等比中项)( m , n∈N ) ② 若 m + n = p + q,则 a m ? a n = a p ? a q ( m , n , p , q∈N ) ③S n , S 2 n -- S n , S 3 n – S 2 n 组成等比数列,公比为 q n。

(三)、一般数列{ a n }的通项公式:记 S n
三.数列求和方法总结:

= a 1 + a 2 + ? + a n ,则恒有 a n ? ?

?

?S n ? S n ?1 ?n ? 2, n ? N ?

S1

?n ? 1?

1.等差等比数列求和可采用求和公式(公式法). 2.非等差等比数列可考虑(分组求和法) ,(错位相减法)等转化为等差或等比数列再求和, 若不能转化为等差或等比数列则采用(拆项相消法)求和. 注意(1):若数列的通项可分成两项之和(或三项之和)则可用(分组求和法) 。
-9-

(2)若一个等差数列与一个等比数列的对应相乘构成的新数列求和,采用(错位相减法). 过程:乘公比再两式错位相减 (3)若数列的通项可拆成两项之差,通过正负相消后剩有限项再求和的方法为(拆项相消法). 常见的拆项公式: 1.

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

2. 4.

1 1 1 1 ? ( ? ) n( n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

3.

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 n ? n ?1 ? ( n ?1 ? n )

5.

四.数列求通项公式方法总结:

1..找规律(观察法). 2..若为等差等比(公式法) 3.已知 Sn,用(Sn 法)即用公式 an ? ? (四)4. 叠加法 5.叠乘法等 三、不等式 (一) 、均值定理及其变式(1)a , b ∈ R , a 2 + b 2 ≥ 2 a b (2)a , b ∈ R , a + b ≥ 2 ab
+

?n ? 1? ?S1 ?S n ? S n?1 ?n ? 2?

?a?b? (3)a , b ∈ R , a b ≤ ? ? ? 2 ?
+

2

a?b ? ab ? ? (4) 1 1 2 ? a b 2
2

a2 ? b2 ,以上当且仅当 a = b 时取“ = ”号。 2
2

2 2 (二).一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b ? 4ac ? 0) ,如果 a 与 ax ? bx ? c 同号,则其解

集在两根之外;如果 a 与 ax ? bx ? c 异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间. 设

x1 ? x2 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 ? x1 ? x ? x2 ;
(三).含有绝对值的不等式:当 a> 0 时,有

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 ? x ? x1, 或x ? x2

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .

(四).指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时,

a f ( x) ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ; ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?

a f ( x) ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ; ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? (五). Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域: 直线定界,特殊点定域。
(2)当 0 ? a ? 1 时, 一.解一元二次不等式三部曲:1.化不等式为标准式 ax +bx+c>0 或 ax +bx+c<O(a>0)。 2.计算△的值,确定方程ax2 ? bx ? c ? 0的根。 3.根据图象写出不等式的解集. 特别的:若二次项系数 a 为正且有两根时写解集用口决: (不等号)大于 0 取两边,小于 0 取中间
- 10 2 2

二.分式不等式的求解通法:
(1)标准化:①右边化零,②系数化正. (2)转 换:化为一元二次不等式(依据:两数的商与积同号)

常用的解分式不等式的同解变形法则为 f ( x) () 1 ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) f ( x) (2) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0且g ( x) ? 0 g ( x) f ( x) f ( x) (3) ?a? ? a ? 0,再通分 g ( x) g ( x)

三.二元一次不等式 Ax+By+C>0(A、B 不同时为 0) ,确定其所表示的平面区域用口诀:同上异下
(注意:包含边界直线用实线,否则用虚线)

四.线性规划问题求解步骤:画(可行域)移(平行线)求(交点坐标,最优解,最值)答. a?b ? ab ( a ? 0, b ? 0) ( 当 且 仅 当 a=b 时 , 等 号 成 立 ) 五 . 基 本 不 等 式 : 2 a?b 2 变形 (1)a ? b ? 2 ab(积定和最小):变形 ; (2)ab ? ( ) (和定积最大) . 2
利用基本不等式求最值应用条件:一正数
2

二定值

三相等

旧知识回顾:1. 求方程ax ? bx ? c ? 0的根方法: (1)十字相乘法:左列分解二次项系数 a,右列分解常数项 c,交叉相乘再相加凑成一次项系数 b。

(2)求根公式:x1, 2 ?

?b ? b2 ? 4ac 2a
2

0 a ? 0)的两根,则有x1 ? x2 ? ? 2.韦达定理: 若x1 , x2是方程ax ? bx ? c ? (

3.对数类:logaM+logaN=logaMN

M logaM-logaN=loga N

b c , x1 ? x2 ? a a

logaMN=NlogaM(M.>0,N>0)

- 11 -


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