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第六讲 三角函数的基本概念(练习题)


第6讲

三角函数的基本概念(练习题)
A级 (时间:40 分钟 满分:60 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.sin 2cos 3tan 4 的值( A.小于 0 ). C. 等于 0 D.不存在

B.大于 0

解析 ∵sin 2>0,cos 3<0,tan 4>

0, ∴sin 2cos 3tan 4<0. 答案 A θ θ ? θ? 2.设 θ 是第三象限角,且?cos2?=-cos2,则2是( ? ? A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ). D.第四象限

θ 解析 由 θ 是第三象限角,知2为第二或第四象限角, θ θ θ ? θ? ∵?cos2?=-cos2,∴cos2≤0,知2为第二象限角. ? ? 答案 B 3.若一扇形的圆心角为 72° ,半径为 20 cm,则扇形的面积为( A.40 π cm2 B.80 π cm2 C.40 cm2 D.80 cm2 ).

2π 1 1 2π 解析 72° = 5 ,∴S 扇形=2αR2=2× 5 ×202=80 π(cm2). 答案 B 3 4.(2012· 安庆质检)若 cos α=- 2 ,且角 α 的终边经过点(x,2),则 P 点的横坐标 x 是( A.2 3 解析 由 cos α= 答案 D ). B.± 2 3 x x2+4 C.-2 2 D.-2 3

3 =- 2 ,解得,x=-2 3.

5.(2011· 厦门质检)已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边 ? 3 4? 过点?-5,5?,则 cos α 的值为( ? ? 4 A.5 3 B.-4 3 -5 ? 3?2 ?4?2 ?-5? +?5? ? ? ? ? ). 4 C.-5 3 =-5. 3 D.-5

解析 依题意得 cos α=

答案 D 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.已知点 P(tan α,cos α)在第三象限,则角 α 的终边在第______象限. 解析 ∵点 P(tan α,cos α)在第三象限,∴tan α<0,cos α<0. ∴角 α 在第二象限. 答案 二 7.已知 α 的顶点在原点,始边与 x 轴非负半轴重合,点 P(-4m,3m)(m>0)是 α 终边上一点,则 2sin α+cos α=________. 3 4 2 解析 由条件可求得 r=5m,所以 sin α=5,cos α=-5,所以 2sin α+cos α=5. 2 答案 5 2 8. (2011· 佛山调研)设 α 为第二象限角, 其终边上一点为 P(m, 5), 且 cos α= 4 m,则 sin α 的值为________. 解析 设 P(m, m 2 5)到原点 O 的距离为 r,则 r =cos α= 4 m,

5 5 10 ∴r=2 2,sin α= r = = 4 . 2 2 答案 10 4

三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数

和弦长 AB. 解 设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm, 1 ? ? lr=1, 则?2 ? ?l+2r=4, ?r=1, 解得? ?l=2.

l ∴圆心角 α=r=2.

如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H.则∠AOH=1 弧度. ∴AH=1· sin 1=sin 1 (cm),∴AB=2sin 1 (cm). 2 10.(12 分)(1)设 90° <a<180° .角 α 的终边上一点为 P(x, 5),且 cos α= 4 x, 求 sin α 与 tan α 的值; (2)已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tan θ=-x,求 sin θ,cos θ. 解 (1)∵r= x2+5,∴cos α= x . x +5
2

2 x 从而 4 x= 2 ,解得 x=0 或 x=± 3. x +5 ∵90° <α<180° ,∴x<0,因此 x=- 3. 5 10 故 r=2 2,sin α= = 4 , 2 2 tan α= 15 =- 3 . - 3 5

(2)∵θ 的终边过点(x,-1), 1 ∴tan θ=-x , 又∴tan θ=-x,∴x2=1,∴x=± 1. 2 2 当 x=1 时,sin θ=- 2 ,cos θ= 2 ; 2 2 当 x=-1 时,sin θ=- 2 ,cos θ=- 2 .

B级 (时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 4 1.已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30° ),且 cos α=-5,则 m 的值为 ( 1 A.-2 解析 ∵r= 1 B.2 3 C.- 2 4 =-5, 64m2+9 -8m 3 D. 2 ). 满分:40 分)

64m2+9,∴cos α=

4m2 1 1 1 ∴m>0,∴ =25,∴m=± . ∵ m > 0 ,∴ m = 2 2 2. 64m +9 答案 B 2π 2. (2012· 北京东城模拟)点 P 从(1,0)出发, 沿单位圆 x2+y2=1 逆时针方向运动 3 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标为( ? 1 3? A.?- , ? ? 2 2? ? 1 3? C.?- ,- ? 2? ? 2 ). ? 3 1? B.?- ,- ? 2? ? 2 ? 3 1? D.?- , ? ? 2 2?

解析 设 α=∠POQ,由三角函数定义可知,Q 点的坐标(x,y)满足 x=cos α,y 1 3 ? 1 3? =sin α,∴x=-2,y= 2 ,∴Q 点的坐标为?- , ?. ? 2 2? 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.若三角形的两个内角 α,β 满足 sin αcos β<0,则此三角形为________. 解析 ∵sin αcos β<0,且 α,β 是三角形的两个内角. ∴sin α>0,cos β<0, ∴β 为钝角.故三角形为钝角三角形.

答案 钝角三角形 4.函数 y= sin x+ 1 2-cos x的定义域是________.

解析

?sin x≥0, 由题意知?1 ?2-cos x≥0,

?sin x≥0, 即? 1 ?cos x≤2.

π ∴x 的取值范围为3+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z. ?π ? 答案 ?3+2kπ,π+2kπ?(k∈Z) ? ? 三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)如图所示,A,B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限,C 是圆与 x ?3 4? 轴正半轴的交点,A 点的坐标为?5,5?,△AOB 为正三角形. ? ?

(1)求 sin∠COA; (2)求 cos ∠COB. 4 解 (1)根据三角函数定义可知 sin∠COA=5. (2)∵△AOB 为正三角形,∴∠AOB=60° , 4 3 又 sin∠COA=5,cos∠COA=5, ∴cos∠COB=cos(∠COA+60° ) =cos∠COAcos 60° -sin∠COAsin 60° 3 1 4 3 3-4 3 =5· 2-5·2 = 10 . 6.(12 分)(2011· 绍兴月考)角 α 终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称(a>0),角 β 终边上的点 Q 与 A 关于直线 y=x 对称,求 sin α· cos α+sin β· cos β+tan α· tan β 的值.

解 由题意得,点 P 的坐标为(a,-2a), 点 Q 的坐标为(2a,a). 所以,sin α= cos α= -2a 2 , 2=- 5 a +?-2a?
2

a 1 , 2= 5 a +?-2a?
2

-2a tan α= a =-2, sin β= cos β= a 1 , 2 2= 5 ?2a? +a 2a 2 , 2 2= 5 ?2a? +a

a 1 tan β=2a=2, 故有 sin α· cos α+sin β· cos β+tan α· tan β= -2 1 1 2 1 · + · +(-2)×2=-1. 5 5 5 5


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