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2016届江苏省徐州市高三高考前模拟考试数学试题 解析版


一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.已知全集 U ? ??1,0,1? ,集合 A ? ?0,| x |? ,则 CU A = 【答案】 ??1? 【解析】 试题分析:由题意得 | x |? 1 ,因此 CU A = ??1? 考点:集合补集 2.在复平面内,复数 【答案】 2 【解析】 试题分析: ▲ .

2i ( i

为虚数单位)对应的点到原点的距离为 1? i





2i 2i(1 ? i) ? ? i ? 1 ,到原点的距离为 1 ? 1 ? 2. 1? i 2

考点:复数几何意义 3.某校高一、高二、高三分别有学生 1600 名、1200 名、800 名,为了解该校高中学生的牙 齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取 20 名学生,则高一、高二共 抽取的学生数为 【答案】70 【解析】 试题分析:高一、高二共抽取的学生数为 20 ? 考点:分层抽样 4.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各参加其中一个小组,且他们参加各个兴趣小组是等可 能的,则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 【答案】 ▲ . ▲ .

1600 ? 1200 ? 70. 800

1 3

考点:古典概型概率 5.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 ▲ .

【答案】124

考点:循环结构流程图 6.已知等比数列 ?a n ?满足 a 2 ? 2a1 ? 4 , a3 ? a5 ,则该数列的前 5 项的和为
2





【答案】31 【解析】
2 试题分析:由等比数列性质得 a3 ? a5 a1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 2,q ? 2, S ?

1 ? 25 ? 31. 1? 2

考点:等比数列性质

7.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F1 作垂直于实轴的弦 MN , A 为右顶点,若 a 2 b2 ???? ? ???? AM ? AN ? 0 ,则该双曲线的离心率为 ▲ .

【答案】 2 【解析】 试题分析:由题意得

AF1 ? MF1 ? a ? c ?
考点:双曲线离心率

b2 ? a (a ? c ) ? c 2 ? a 2 ? a ? c ? a ? c ? 2a ? e ? 2. a

8.若指数函数 f ( x) 的图象过点 (?2, 4) ,则不等式 f ( x) ? f (? x) ? 【答案】 ( ?1,1) 【解析】 试题分析:设 f ( x) ? a x ,则 a?2 ? 4 ? a ?

5 的解集为 2





5 1 ,从而由 f ( x) ? f (? x) ? 得 2 2

2? x ? 2x ?

5 1 ? 2(2x )2 ? 5(2x ) ? 2 ? 0 ? ? 2x ? 2 ? ?1 ? x ? 1 ,即解集为 ( ?1,1) 2 2

考点:指数不等式 9.如图, 在正方体 ABCD ?A 1 则三棱锥 E ? A1 BC 的 BC D 1 中,AB ? 2cm ,E 为 C1 D1 的中点, 1 1 体积为 ▲ cm .
3

【答案】 【解析】

2 3

1 1 1 1 1 2 试题分析: VE ? A1BC ? VC1 ? A1BC ? VA1 ? BCC1 ? ? ? 2 ? ? 22 ? . 2 2 2 3 2 3
考点:三棱锥体积 10.已知点 A(1,1) ,B(1,3) , 圆 C :( x ? a)2 ? ( y ? a ? 2)2 ? 4 上存在点 P , 使 PB 2 ? PA2 ? 32 , 则圆心横坐标 a 的取值范围为 【答案】 [6,10] ▲ .

考点:直线与圆位置关系 11.设过曲线 f ? x ? ? x ? ln x 上任意一点处的切线为 l1 , 总有过曲线 g ? x ? ? ax ? 2sin x 上一点 处的切线 l2 ,使得 l1 ? l2 ,则实数 a 的取值范围为 【答案】 ? ?2,1? 【解析】 试题分析:由题意得 ?x1 ? 0, ?x2 ,(1 ? ▲ .

1 )(a ? 2cos x2 ) ? ?1, 因为 x1

?1 ? (?1,0), a ? 2cos x2 ?[a ? 2, a ? 2] 1 ,所以 a ? 2 ? ?1, a ? 2 ? 0 ? ?2 ? a ? 1 1? x1
考点:导数几何意义 12.已知 S n 为数列 {an } 的前 n 项和, a1 ? 1 , 2Sn ? (n ? 1)an ,若关于正整数 n 的不等式

an 2 ? tan ≤ 2t 2 的解集中的整数解有两个,则正实数 t 的取值范围为
【答案】 [1, ) 【解析】 试题分析:由 2Sn ? (n ? 1)an 得 2Sn?1 ? nan?1 ,(n ? 2) ,两式相减得:





3 2

2an ? (n ? 1)an ? nan?1 ? (n ? 1)an ? nan?1 ?

an an?1 a a ? ,即 2an ? n ? 1 =1, an ? n. ,因此不 n n ?1 n 1

2 2 等式 an ? tan ≤ 2t 为 n2 ? tn ≤ 2t 2 ? ?t ? n ? 2t ,因为整数解有两个,所以

2 ? 2t ? 3 ? 1 ? t ?

3 2

考点:数列通项,不等式正整数解 13.已知△ ABC 中,M为线段BC上一点, AM ? BM , AM ? AB ? 2 , AC 2 ? 3BC 2 ? 4 ,则 △ ABC 的面积最大值为 【答案】 ▲ .

???? ??? ?

1 2

考点:向量投影,圆方程 14. 对任意的实数 m, n ,当 0 ? n ? m ? ▲ .
m 1 n na ,恒有 ? a 成立,则实数 a 的最小值为 n a m m

【答案】1 【解析】
m n na ln n lnm 1 1 1 ? ? a , n m ? ma ? 1 试题分析: 0 ? n ? m ? ? ? ,即函数 1 ?a ?a a n m n m

a ? ln x ln x ? ? 1 ( a , ?? ) a ? [ x(1 ? lnx)]max , f ( x) ? 在 上为增函数, x f ?( x) ? ? 0 ,也即 x?a 2 ( x ? a)
令 y ? x(1 ? ln x) ,则 y? ? ? ln x ? 0 ? x ? 1 ,即 ymax ? 1 ,从而 a ? 1 ,因此实数 a 的最小 值为 1. 考点:利用导数研究不等式恒成立 15.(本小题满分 14 分) 在Δ ABC 中,角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b , c ,已知 a cos2 (1)求证: a , b , c 成等差数列;

C A 3 ? c cos2 ? b . 2 2 2

(2)若 b ? 2 2 , B ?

π ,求Δ ABC 的面积. 3

【答案】 (1)详见解析(2) 2 3

1 ? cos C 1 ? cos A 3 C A 3 ?c? ? b ? c cos2 ? b ,∴ a ? 2 2 2 2 2 2 1 ? cos C 1 ? cos A 3 ? sin C ? ? sin B ……………………2 分 由正弦定理得, sin A ? 2 2 2
试题解析: (1)证明:∵ a cos2 化简得, sin A ? sin C ? sin A cos C ? sin C cos A ? 3sin B ∴ sin A ? sin C ? sin( A ? C ) ? 3sin B ∴ sin A ? sin C ? sin B ? 3sin B ∴ sin A ? sin C ? 2sin B ∴ a ? c ? 2b ∴ a , b , c 成等差数列. (2)解:∵ b ? 2 2 , B ? ……………………6 分 ……………………4 分

π , 3

由余弦定理得 a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? b 2 , 即 a2 ? c2 ? 2ac cos ∴ 又∵ ∴ ……………………12 分

π ? (2 2)2 ? 8 3

……………………8 分 ……………………10 分

∴Δ

的面积

.

……………………14 分

考点:正余弦定理,三角形面积公式

16.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 平面 (1)求证: (2)求证: ; 平面 . 中, , .点 是 上一点,且平面

【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【解析】 试题分析:(1)先根据面面垂直性质定理,转化到线面垂直: ,则 ,又由直三棱柱性质得 ,从而根据线面垂直性质定理得 ,最后根据线面垂直判定定理得

(2)线面平行的证明,一般利用线面平行判定定理,即 从线线平行出发给予证明,而线线平行的寻找与证明,往往结合平几条件,如本题利用三角 形中位线得证

试题解析:证明:(1) 平面 平面 ,

,,

……………………2 分

又在直三棱柱

中,

, ,



……………………6 分 平面 ; (2)连结 ,设 且 是等腰直角三角形 , 的斜边 ,连结 , 上的高线,且 ……………………10 分 也是斜边 上的中线,即点 为边 的中点, ……………………12 分 , ……………………8 分

的中位线 ,

平面



……………………14 分

考点:面面垂直性质定理,线面垂直性质与判定定理,线面平行判定定理

17.(本小题满分 14 分) 如图,有一块等腰直角三角形的草坪 扩大此草坪的规模,在线段 参观,现将铺设三条观光道路 (1)用 表示出道路 (2)当点 距离点 的长度; ,其中 ,使 . ,根据实际需要,要 为平行四边形. 为方便游客

上选取一点 .设

多远时,三条观光道路的总长度最小?

【答案】(1) 【解析】 试题分析: (1) 因为四边形



(2)

为平行四边形, 所以



中可得

, 从而



(2)

先确定角范围

,再化简三条观光道路的总长度

,最后利用导数求其最值

(2)设三条观光道路的总长度为

,则

……………………8 分





,由







时,

是减函数,当

时,

是增函数;



时,

取得最小值,此时

.

……………………14 分

考点:利用导数求函数最值

18.(本小题满分 16 分)

已知椭圆 . (1)求椭圆 (2)设 的方程;

的离心率为



分别为椭圆

的上、下顶点,

是椭圆 ①若点 ②过点

上的两点(异于点 ,求直线 ,交椭圆

),

的面积为 的方程;



坐标为 作直线

于点

,求证:



【答案】(1) 【解析】

(2)①



.②详见解析

试题分析: (1) 求椭圆标准方程, 一般利用待定系数法: 由 ①先求三角形底边边长 ,再根据面积得 点到直线 :

解得:

(2) 的距离为

,从而

点在直线



上,与椭圆方程联立方程组

解得

点坐标



因此直线

的方程为



.②因为易证

,因此只需证 直线 的方程为 ,可得

,可得

,由

的面积为

,设

试题解析:解:(1)由题意得:

解得:

故椭圆

的方程为:

.

…………………………………4 分

②先证明 若直线

.设 的斜率不存在,易得

, ,



从而可得 若直线

.………………11 分 的斜率存在,设直线 的方程为 ,

代入

,得



解得



……………………………………………12 分

所以 立) 即 ,得

,(

在 轴同(异)侧都成

.………………………13 分

所以



所以

…………………………14 分

又设 因为 所以

,得 , ,即 ,



.………………………………………………………16 分

考点:直线与椭圆位置关系 19.(本小题满分 16 分)

已知函数 (1)求

( 为自然对数的底数) 的单调区间; ,若存在求出 ,否则说明理由;

(2)是否存在正 实数 使得 .

(3)若存在不等实数 【答案】(1)减区间是 【解析】

,使得 ,增区间为

,证明:

.

.(2)不存在(3)详见解析

试题分析:(1)先求函数导数: (2)由(1)知当 ,有

,再由导函数零点及符号得函数单调区间 ,因此转化为求函数



上是否有零点,先求导数得

,从而可得

,无零点(3)利用(2)的结论,可得

,即

,这就说

明函数



上单调递减,所以

(3)若存在不等实数 个在 ,不妨设

,使得 , .

,则



中,必有一个在

,另一

①若

,则

,由(Ⅰ)知:函数



上单调递减,所

以 ②若 所以 而

; ,由(Ⅱ)知:当 ,则有 ,即 ,由(Ⅰ)知:函数 在 上单调递减,所以 , ,而

即有

,由(Ⅰ)知:函数



上单调递减,所以



综合①,②得:若存在不等实数

,使得

,则总有

.

考点:利用导数求函数单调区间,利用导数研究函数零点 20.(本题满分 16 分) 已知数列 设数列 (1)若 , 满足 , , . ; , ,其中 ,

的前 项和分别为 对任意的恒成立,求

(2)若常数

且对任意的

,恒有

,求 的值; 的值满足 ,若存在,求 ; (ⅱ) 的值;若不

(3) 在 (2) 的条件下且同时满足以下两个条件 (ⅰ) 若存在唯一 恒成立.问:是否存在正整数 存在,说明理由. ,使得

【答案】(1)

(2)

(3)

,或者

(3)由于含绝对值,因此分类讨论:因为 满足 因此 ,所以仅有一次

,所以 ,从而

,因为存在唯一

的值 ,

,由于左右两边增减幅度不同,左边大于右边,因此当

时,不等

式不成立,从而

,逐个验证得

,或者 构成以 为首项,2 为公差的等差数列

试题解析:解:(1)由题设可知数列



-----------3 分

(2)因为

,所以







所以

因为 (3)因为

,所以 ,所以

,所以 或者

,故

---9 分



时,

舍去

当 故

时, -----------9 分

因为

所以

令 故满足 当 若 若 若 当 若 若 当 ,若

,则 的 值为 1,2,3

,得 ---------12 分 满足

,则数列

前 4 项为:

,则数列 ,则数列 ,则数列 ,若 ,则数列 ,则数列 ,若

前 4 项为: 前 4 项为: 前 4 项为: ,则数列

不满足舍去; 不满足舍去; 不满足舍去; 不满足舍去;

前 3 项为:

前 3 项为: 前 3 项为: ,则数列

不满足舍去; 不满足舍去; 满足;

前 2 项为:



,则数列

前 2 项为:

不满足舍去;

所以存在正整数

,使得

, 此时

,或者

-----------16 分

考点:等差、等比数列定义,方程正整数解 附加题 21.A(本小题满分 10 分) 如图, . 求证: 是圆 的直径,弦 , 的延长线相交于点 , 垂直 的延长线于点

【答案】详见解析 【解析】

考点:四点共圆,三角形相似 21.B(本小题满分 10 分)

变换 是逆时针旋转

的旋转变换,对应的变换矩阵是

;变换

对应用的变换矩

阵是 【答案】 【解析】

.求函数

的图象依次在 ,

变换的作用下所得曲线的方程.

试题分析:先写出旋转矩阵 后利用相关点法求轨迹方程

,再根据矩阵变换得

,最

试题解析:解:



,…………………………5 分



是变换后图像上任一点,与之对应的变换前的点是

,则



也就是

,即

, …………………………10 分

所以,所求曲线的方程是

考点:旋转矩阵,相关点法 21.C(本小题满分 10 分)

在极坐标系中,直线 的极坐标方程为

,以极点为原点,极轴为 轴的正

半轴建立平面直角坐标系,曲线 线 与曲线 【答案】(0,0). 【解析】 的交点

的参数方程为



为参数),求直

的直角坐标.

试题分析:先将直线 的极坐标方程化为直角坐标方程: 方程:

,再将参数方程化为普通

,注意参数取值范围,最后根据解方程组得 P 点的直角坐标 ,

试题解析:解:直线 的普通方程为 ① 曲线 的直角坐标方程为

……………………3 分 ,② ……………………6 分

联立①②解方程组得



根据 x 的范围应舍去 故 P 点的直角坐标为(0,0). 考点:极坐标方程化为直角坐标方程,参数方程化为普通方程 21.D(本小题满分 10 分) ……………………10 分

已知

都是正实数,且

,求证:

.

【答案】详见解析

考点:柯西不等式 22.(本小题满分 10 分) 高三年级成立篮球、足球、排球活动兴趣小组,学生是否参加哪个兴趣小组互不影响. 已知某同学只参加篮球兴趣小组的概率为 0.08,只参加篮球和足球兴趣小组的概率为 0.12,至少参加一个兴趣小组的概率是 0.88.若学生参加的兴趣小组数为 ,没有参加 的兴趣小组数为 ,记 .

(1)求该同学参加排球活动兴趣小组的概率; (2)求 的分布列和数学期望. 【答案】(1)0.5(2) 【解析】 试题分析:(1)先求出参加篮球、足球、排球活动兴趣小组的概率,列三个独立方程

即可,(2)先确定随机变量所有可能取值为 个求对应概率,最后根据公式求数学期望 试题解析:解:(1)设该同学参加篮球、足球、排球活动兴趣小组的概率分别为

,再逐

依题意得



解得

, ……………………4 分

所以该同学参加排球活动兴趣小组的概率为 0.5. (2)依题意知 的所有可能取值为 ,

则 的分布列为 -3 0.12 所以 的数学期望为 考点:概率分布和数学期望 23.(本小题满分 10 分) 设 ① ② ③ 设 (1)设 ,求证: , , . ; 个实数 ; ; ; . 满足下列条件: -1 0.38 1 0.38 3 0.12 …………10 分

(2)如果

,求证:



【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【解析】

试题解析:证明:⑴因为



则由条件①,知 要证明 如果 ⑵当 (ⅰ)当 ,由 时. 时,

,由②③,知 ,只要证明 知对于一切 ,有

, . ,从而



成立.………………………4 分

;当

时,



所以结论成立.……………………………………………………………………………6 分 (ⅱ)假设 时结论成立,下面证明 时结论也成立.

令 由 及

, ,知

,则 , ,



而当

时,



故知对于

关于

时的条件

成立.……………………………………………8 分 ,即 ,即 .………………………10 分

因此由归纳假设知 由(ⅰ)(ⅱ)可知, 考点:数学归纳法


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