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用放缩法证明数列中的不等式


用放缩法证明 数列中的不等式

放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容,在近两 年的高考数列试题中都有考查.放缩法灵活多变,技巧性 要求较高,所谓“放大一点点就太大,缩小一点点又太 小”,这就让同学们找不到头绪,摸不着规律,总觉得高 不可攀!“放缩是一种能力.” 如何把握放缩的“度”, 使得放缩“恰到好处”,这正是放缩法的精髓和关键所在!

/> 常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关, 其基本结构形式有如下 4 种: ①形如 ③形如

?a
i ?1 n i ?1

n

i

;②形如 ? ai ? f (n) ; ? k ( k 为常数)
i ?1

n

?a

i

? f (n) ;④形如 ? ai ? k ( k 为常数).
i ?1

n

一. 放缩目标模型——可求和
(一)形如? a ? k (k为常数)
i i ?1 n

1 1 1 1 例1 求证: ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 (n ? N? ) 2 2 2 2
1 2 3 n 变式1 求证: ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 (n ? N? ) 2 2 2 2
1 1 1 1 变式2 求证: ? 2 ? 3 ??? n ? 1 (n ? N? ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 2 3 n 变式3 求证: ? 2 ? 3 ??? n ? 2 ( n ? N? ) 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2 ?n

1 1 1 1 例1 求证: ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 (n ? N? ) 2 2 2 2
分析 不等式左边可用等比数列前n项和公式求和 . 1 1 (1 ? ) 1 2 2 左边 ? ? 1? n ?1 1 2 1? 2
n

表面是证数列不等式, 实质是数列求和

1 2 3 n 变式1 求证: ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 (n ? N? ) 2 2 2 2
分析 不等式左边可用“错位相减法”求和. 由错位相减法得

1 2 3 n n?2 ? ? ??? ? 2 ? 2 2 2 2 2
2 3 n

n

?2

表面是证数列不等式, 实质是数列求和

1 1 1 1 ? 变式2 求证: ? 2 ? 3 ??? n ? 1 (n ? N ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

分析 左边不能直接求和,须先将其通项放缩后 求和,如何放缩?
1 1 ? 注意到 2 ?1 2
n n

将通项放缩为 等比数列

1 1 1 1 1 1 2 (1 ? 2 ) 1 左边 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? 1? n ?1 1 2 2 2 2 2 1? 2
n

1 2 3 n 变式3 求证: ? 2 ? 3 ??? n ? 2 ( n ? N? ) 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2 ?n

分析 左边不能直接求和,须先将其通项放缩后求
和,如何放缩? n n ? 注意到 2 ?n 2
n n

将通项放缩为 错 位相减模型

n?2 1 2 3 n ?2 ? 2? ?左边 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2
2 3 n n

【方法总结之一】
放缩法证明与数列求和有关的不等式,若

? a 可直
i ?1 i

n

接求和,就先求和再放缩;若不能直接求和的,一般要 先将通项 an 放缩后再求和.

问题是将通项 an 放缩为可以求和且“不大不小”的 什么样的 bn 才行呢?其实,能求和的常见数列模型并不 多,主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项 相消模型等. 实际问题中, bn 大多是等比模型或裂项相 消模型.

例2 (2013广东文19第(3)问 ) 1 1 1 1 1 求证: ? ? ?? ? ? ( n ? N? ) 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1) 2

1 1 1 变式1 求证: 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ( n ? N? ) 2 3 n
变式2 (2013广东理19第(3)问) 1 1 1 7 求证: 1? 2 ? 2 ?? ? 2 ? ( n ? N? ) 2 3 n 4

1 1 1 5 变式3 求证: 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ( n ? N? ) 2 3 n 3

例2 (2013广东文19第(3)问 ) 1 1 1 1 1 求证: ? ? ?? ? ? ( n ? N? ) 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 分析 左边可用裂项相消法求和,先求和再放缩. 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 ? 左边 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 ? (1 ? )? 表面是证数列不等式, 2 2n ? 1 2 实质是数列求和

1 1 1 变式1 求证: 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ( n ? N? ) 2 3 n

分析 左边不能求和,应先将通项放缩为裂项相消
模型后求和. 保留第一项, 1 1 1 1 从第二项开 ? ? (n ? 2) ? ? 始放缩 n n(n ? 1) n ? 1 n 1 1 1 1 1 ? 左边 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 2 3 n ?1 n
2

1 ? 1 ? 1 ? ? 2 (n ? 2) n

当n = 1时,不等式显然也成立.

变式2 (2013广东理19第(3)问) 1 1 1 7 求证: 1? 2 ? 2 ?? ? 2 ? ( n ? N? ) 2 3 n 4

分析 变式2的结论比变式1强,要达目的,须将
变式1放缩的“度”进行修正,如何修正?

思路一 将变式1的通项从第三项才开始放缩.
1 1 1 1 ? ? ? (n ? 3) 2 n n(n ? 1) n ? 1 n
保留前两项,从 第三项开始放缩

1 1 1 1 1 1 1 ? ) 左边 ? 1 ? 2 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 2 3 3 4 n ?1 n

1 1 1 7 1 7 ? 1 ? ? ? ? ? ? (n ? 3) 4 2 n 4 n 4
当n = 1, 2时,不等式显然也成立.

变式2 (2013广东理19第(3)问) 1 1 1 7 求证: 1? 2 ? 2 ?? ? 2 ? ( n ? N? ) 2 3 n 4

分析 变式2的结论比变式1强,要达目的,须将变
式1放缩的“度”进行修正,如何修正?

思路二 将通项放得比变式1更小一点. 保留第一项,
2 n ?1 n ?1 1? 1 1 1 1 1 ? 左边 ? 1 ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? 2? 3 2 4 n ?1 n ? 1 ? 1 1 7 1 1 1 1 ? 1 ? (1 ? ? ? ) ? 1 ? (1 ? ) ? (n ? 2) 2 2 4 2 2 n n ?1 当n = 1时,不等式显然也成立.
1 1 ? 2 2 n n ?1
从第二项开 1 1 1 始放缩 ? ( ? ) (n ? 2)

1 1 1 5 变式3 求证: 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ( n ? N? ) 2 3 n 3

分析 变式3的结论比变式2更强,要达目的,须将
变式2放缩的“度”进一步修正,如何修正?

思路一 将变式2思路二中通项从第三项才开始放缩.
保留前两项, 1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ) (n ? 3) 从第三项开 2 n n ?1 2 n ?1 n ? 1 始放缩

1 1? 1 1 1 1 1 1 ? ? )? 左边 ? 1 ? 2 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 2? 2 4 3 5 n ?1 n ? 1 ? 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ( ? ? ? ) ? 1 ? ? ( ? ) ? (n ? 3) 4 2 2 3 3 4 2 2 3 n n ?1
当n = 1, 2时,不等式显然也成立.

1 1 1 5 变式3 求证: 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ( n ? N? ) 2 3 n 3

分析 变式3的结论比变式2更强,要达目的,须将
变式2放缩的“度”进一步修正,如何修正?

思路二 将通项放得比变式2思路二更小一点.
1 4 4 1 1 ? 2 ? 2 ? 2( ? ) (n ? 2) 2 n 4n 4n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
保留 第一 项, 从第 二项 开始 放缩

1 1 1 1 ? ? 1 1 左边 ? 1 ? 2 ?( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 3 5 1 5 1 1 ? 1 ? 2( ? ) ? 1 ? 2 ? ? (n ? 2) 3 3 3 2n ? 1 当n = 1时,不等式显然也成立.

评注
放缩法的证明过程就像“秋风扫落叶”一样干脆利落!

1 5 7 对 2 放缩方法不同,得到的结果也不同. 显然 ? ? 2 , 3 4 n
故后一个结论比前一个结论更强,也就是说如果证明了变式 3,

1 那么变式 1 和变式 2 就显然成立. 对 2 的 3 种放缩方法体现了 n n 5 1 三种不同“境界” ,得到 ? 2 的三个“上界” ,其中 最接近 3 k ?1 k

1 ?2 (欧拉常数). ? ? 2 6 k ?1 k
?

【方法总结之二】
放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程 中,很多时候要“留一手”, 即采用“有所保留” 的方法,保留数列的第一项或前两项,从数列的第 二项或第三项开始放缩,这样才不致使结果放得过 大或缩得过小.

证明

牛刀小试(变式练习1) 1 1 1 5 求证: 1? ? ??? ? (n ? N ) 3 5 (2n ? 1) 4
* 2 2 2

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ) (n ? 2) ? ? 2 (2n ? 1) 4n ? 4n 4n(n ? 1) 4 n ? 1 n

1? 1 1 1 1 1 ? ? )? ? 左边 ? 1 ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 4? 2 2 3 n ?1 n ? 1 1 ? 1 ? (1 ? ) ? 1 ? 1 ? 5 ? n ? 2 ? 4 n 4 4
当n = 1时,不等式显然也成立.

例3 (2009珠海二模理20第(2)问)

1 1 1 求S ? 1 ? ? ??? 的整数部分. 2 3 100 1 分析 不能直接求和式 S ,须将通项 放缩为裂项相消模型后求和. n
整数之间.

思路 为了确定S的整数部分,必须将S的值放缩在相邻的两个

? 2( n ?1 ? n ) ?

2 1 2 2 ? ? ? ? 2( n ? n ?1) n ? 1 ? n n 2 n n ? n ?1 1 1 1 ? ?? ? 18 ? 2( 101 ?1) ? 1 ? ? 1 ? 2( 100 ?1) ? 19 2 3 100 右边保留 ? S的整数部分是18
第一项

例4 (2012广东理19第(3)问) 1 1 1 1 3 ? 求证: ? 2 2 ? 3 3 ??? n ? ( n ? N ) n 3? 2 3 ? 2 3 ? 2 3 ?2 2

分析 左边不能直接求和,考虑将通项放缩为等比模型
3 后求和, 哪个等比数列的和接近 ? 2

思路
n

利用指数函数的单调性放缩为等比模型
n
n

2 n 21 n ∵ 3 ? 2 ? 3 [1 ? ( ) ] ? 3 [1 ? ( ) ] ? 3n ?1 3 3 1 1 * ∴ n ? ( n ? N ) n n ?1

1 1 1 左边 ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 3 3 3

3 ?2

3

1 1? n 3 3 ? ? 1 2 1? 3

例4 变式 1 1 1 1 17 求证: ? 2 ? 3 ??? n ? ( n ? N? ) 3?2 3 ? 2 3 ? 2 3 ? 2 14

分析 左边不能直接求和,能否仿照例4的方法将通项
也放缩为等比模型后求和?

保留第一项,从 ∴ 1 ? 1 ? 1 (n ? 2) 第二项开始放缩 an 7 3n?2 3 1 1 1 1 左边 ? 1 ? (1 ? ? ? ? n ? 2 ) ? 1 ? (1 ? n ?1 ) 14 3 7 3 3

2 2 n?2 n ∵ 3 ? 2 =3 (1 ? n ) ? 3 (1 ? 2 ) ? 7 ? 3 (n ? 2) 3 3
n
n

3 17 ? 1? ? (n ? 2) 14 14

当n = 1时,不等式显然也成立.

【方法总结之三】
一般地,形如 an ? an ? bn 或 an ? an ? b (这里 a ? b ? 1 )的

1 1 1 数列,在证明 ? ? ? ? ? k ( k 为常数)时都可以提取 a1 a2 an
出 a 利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型.
n

例5 (1985全国) i ?1 n(n ? 1) n(n ? 2) 求证: ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) ? ( n ? N? ) n 2 2 分析 不等式形如 g (n) ? ? ai ? f (n) ,左、右两边的式子都是某
i ?1

(二)形如? a ? f (n)
i

n

等差数列的和,因此考虑将通项 n(n ?1) 放缩为等差模型后求和.

思路

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?? bn

n(n ? 1) n(n ? 2) ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) ? Tn ? ? Rn 2 2

Rn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn

显然不等式的中间是数列 an ? n(n ? 1) 的前 n 项和,设为 Sn , 要证 Tn ? Sn ? Rn ,则只要证 bn ? an ? cn 即可. 1 利用公式 bn ? Tn ? Tn?1 (n ? 2) 易得: bn ? n ,同理 cn ? n ? .

2

1 因此,问题转化为只要证 n ? n(n ? 1) ? n ? 2

证明 ∵


n?

1 n ? ( n ? 1) ? n? n(n ?1) ? 2 2

n( n ? 1) n ? k ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ?? n(n ?1) 2 k ?1

?

1 ? ? (k ? ) ? n( n ? 2) 2 k ?1 2

n

评注 用分析法寻找证明思路显得一气呵成!

【方法总结之四】
形如

?a
i ?1

n

i

? f (n) 的数列不等式证明的思维策略:

设 Sn 和 Tn 分别为数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和, 显然,若 an ? bn (n ? N* ) ,利用不等式的“同向 可加性”这一基本性质,则有 Sn ? Tn . 这启发我们, 要证明不等式

?a
i ?1

n

i

? f (n) ,如果记 Tn ? f (n) 看作

是数列 ?bn ? 的前 n 项和,则 bn ? Tn ? Tn?1 (n ? 2) ,

b1 ? T1 ,那么只要证其通项满足 an ? bn 即可.

二. 放缩目标模型——可求积
放缩法证明与数列求积有关的不等式,方法与上面求和相类 似,只不过放缩后的 bn 是可求积的模型,能求积的常见的数列
n cn ?1 cn ?1 模型是 bn ? (分式型) ,累乘后约简为 ? bi ? . cn c1 i ?1

(三)形如? a ? f (n)
i i ?1

n

例6 (2009广东理21第(2)问) 1 3 5 2n ? 1 1 求证: ? ? ??? ? (n ? N? ) 2 4 6 2n 2n ? 1
分析 我们能否将证明形如 过来呢?

?a
i ?1

n

i

? f (n) 的思维策略类比迁移

思路

1 3 5 2n ? 1 1 ? ? ? ?? ? ? Bn ? b1b2b3 ?bn 2 4 6 2n 2n ? 1

Bn 2n ? 1 利用公式 bn ? (n ? 2) , b1 ? B1 易得: bn ? Bn ?1 2n ? 1

2n ? 1 2n ? 1 因此,问题转化为只要证 ? 2n 2n ? 1

证明 ∵

2 n ? 1 2n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? (n ? N ) 2 4n ? 1 2n 2n ? 1

1 3 5 2n ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ∴ 左边 ? 3 5 7 2n ? 1 2n ? 1

【方法总结之五】
形如

?a
i ?1

n

i

? f (n) 的数列不等式证明的思维策略:

设 An 和 Bn 分别为数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项积, 显然,若 0 ? an ? bn (n ? N* ) ,利用不等式的“正数 同向可乘性”这一基本性质,则有 An ? Bn . 这启发我 们,要证明不等式

?a
i ?1

n

i

? f (n) ,如果记 Bn ? f (n)

Bn 看作是数列 ?bn ? 的前 n 项积,则 bn ? (n ? 2) , Bn ?1 b1 ? B1 ,那么只要证其通项满足 0 ? an ? bn 即可.

证明

牛刀小试(变式练习2)(1998全国理25第(2)问) 1 1 1 求证: (1 ? 1)(1 ? )(1 ? )?(1 ? ) ? 3n ? 1 (n ? N ) 4 7 3n ? 2
3 *

3 3n ? 1 ? 1? ? 3n ? 2 3n ? 2 1 3n ? 1 3 ?1 ? ? 3n ? 2 3n ? 2
3

1 3 3 3 1 ? (1 ? ) ? 1? ? ? 2 3n ? 2 3n ? 2 (3n ? 2) (3n ? 2)3

4 3 7 3 10 3 3n ? 1 3 ? 左边 ? ? ? ? ? 3n ? 1 1 4 7 3n ? 2

放缩目标模型
可求和 可求积

等差模型

等比模型

错位相减模型

裂项相消模型

又如:我们可以这样总结本节课学到的放缩方法: 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ( n ? 2) 平方型: ? n(n ? 1) n ? 1 n n n ? 1 n(n ? 1) n

1 1? 1 1 ? 1 ? ? ? ? 2 ? (n ? 2) 2 n ? 1 2 ? n ?1 n ?1 ? n
1 4 4 1 ? ? 1 ? ? ? 2? ? 2 2 2 n 4 n 4 n ? 1 ? 2n ? 1 2 n ? 1 ? ?
1 1? 1 1? 1 ? ? ? ? ? (n ? 2) 2 4n(n ? 1) 4 ? n ? 1 n ? (2n ? 1)

1 1? 1 1 ? 1 ? ? ? (n ? 2) 立方型: 3 ? ? 2 n(n ? 1) 2 ? (n ? 1)n n(n ? 1) ? n

2 2 1 ? ? 根式型:2( n ? 1 ? n ) ? n ?1 ? n n 2 n 2 ? ? 2( n ? n ?1) n ? n ?1 平方型、 1 1 立方型、 ? n ?1 (a ? b ? 1); 指数型: n 根式型都 a ? b n a ( a ? b) 可放缩为 1 1 ? n ?1 (a ? b ? 1). 裂项相消 n a ( a ? b ) a ?b
模型

2n 2 n ? 1 2 n ? 1 奇偶型: ? ? ; 2n 2n ? 1 2n ? 1

2n ? 1 2n ? 1

奇偶型放缩为可求积

指数型可放缩 为等比模型


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