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2015届高考数学一轮总复习 数列阶段性测试题六 新人教A版


阶段性测试题(数 列)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.(文)(2014· 甘肃省金昌市二中期中)已知等差数列{an}满足 a1+a2+a3+…+a101=0 则有( ) B.a2+a100<0 D.a51=51

A.a1+a101>0 C.a3+a99=0

(理)(2014· 浙江台州中学期中)公差不为 0 的等差数列{an}的前 21 项的和等于前 8 项的 和.若 a8+ak=0,则 k=( A.20 C.22 ) B.21 D.23 )

2.(2014· 浙江杜桥中学期中)已知等比数列{an}中,a3=16,a4=8,则 a8=( A.128 1 C. 4 B.64 1 D. 2

3.(2014· 湖南长沙实验中学、沙城一中联考)已知{an}是等比数列,对任意 n∈N*,an>0 恒成立,且 a1a3+2a2a5+a4a6=36,则 a2+a5 等于( A.36 C.-6 )

B.± 6 D.6

4.(2014· 抚顺市六校联合体期中)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 2a8=6+a11,则 S9 的值等于( A.54 C.36 ) B.45 D.27

256 1 1 1 5.(2014· 哈六中期中)已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S13= , + + 3 a1 a2 a3 +…+ 1 8 = ,则 log2(a6a8)的值为( a13 3 ) B.5 D.32

A.4 C.16

6.(2014· 山东省德州市期中)已知{an}是首项为 1 的等差数列,Sn 是{an}的前 n 项和, 1 且 S5=a13,则数列{ }的前五项和为( anan+1 10 A. 11 ) 5 B. 11
1

4 C. 5

2 D. 5

7.(2014· 北京海淀期中)已知数列{an}的通项公式 an=2n(3n-13),则数列的前 n 项和 Sn 的 最小值是( A.S3 C.S5 ) B.S4 D.S6

35 8.设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,a2=1,前 6 项的方差为 ,则 a3S3 的 3 值为( ) B.3 D.9

A.-9 C.± 9

9.(2014· 浙江台州中学期中)已知数列{an}是 1 为首项、2 为公差的等差数列,{bn}是 1 为首项、2 为公比的等比数列.设 cn=abn,Tn=c1+c2+…+cn(n∈N*),则当 Tn>2013 时, n 的最小值是( A.7 C.10 ) B.9 D.11

10.(文)(2014· 宝鸡市质检)已知一次函数 f(x)=kx+b 的图象经过点 P(1,2)和 Q(-2,- 1 6 4),令 an=f(n)f(n+1),n∈N*,记数列{ }的前 n 项和为 Sn,当 Sn= 时,n 的值等于( an 25 A.24 C.23 B.25 D.26 )

(理)(2014· 成都七中模拟)已知正项等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 1 9 使得 aman=4a1,则 + 的最小值为( m n 8 A. 3 14 C. 5 ) 11 B. 4 17 D. 6

a ? ??4-2?x+4?x≤6?, 11.(文)(2014· 山西曲沃中学期中)已知函数 f(x)=? (a>0,a≠1), x-5 ? ?a ?x>6?. 数列{an}满足 an=f(n)(n∈N*)且{an}是单调递增数列,则实数 a 的取值范围是( A.[7,8) C.(4,8) B.(1,8) D.(4,7) )

(理)(2014· 湖南长沙实验中学、沙城一中联考)已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an, an+1 是函数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个零点,则 b10 等于( )

2

A.24 C.48

B.32 D.64

12.(2014· 海南省文昌市检测)已知函数 f(x)=x2+bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线 l 1 与直线 3x-y+2=0 平行,若数列{ }的前 n 项和为 Sn,则 S2011 的值为( f?n? 2010 A. 2011 2011 C. 2012 2009 B. 2010 2012 D. 2013 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上.) 13.(2014· 北京海淀期中)已知数列{an}为等比数列,若 a1+a3=5,a2+a4=10,则公比 q=________. 14.(2014· 北京市海淀区期末)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足 a1=b1=-2,a2 =b2=4,则满足 an=bn 的 n 的所有取值构成的集合是________. S4 15.(文)(2014· 三亚市一中月考)设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 = a2 ________. 15 9 1 (理)(2014· 浙江省五校联考)在等比数列{an}中,若 a5+a6+a7+a8= ,a6a7=- ,则 8 8 a5 1 1 1 + + + =________. a6 a7 a8 16.(文)(2014· 浙北名校联盟联考)已知等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn,且 a1>0,S7= S10,则使 Sn 取到最大值的 n 为________. (理)(2014· 鄂南高中、孝感高中联考)已知数列{an},若点(n,an)(n∈N*)在直线 y-3=k(x -6)上,则数列{an}的前 11 项和 S11=________. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分)(文)(2014· 三亚市一中月考)等比数列{an}中, 已知 a1=2, a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Sn. (理)(2014· 北京东城区联考)在公差不为 0 的等差数列{an}中,a4=10,且 a3,a6,a10 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; )

3

(2)设 bn=2an(n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和. 18.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 北京朝阳区期中)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, n∈N*,且 a3+a6=4,S5=-5. (1)求 an; (2)若 Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,求 T5 的值和 Tn 的表达式. (理)(2014· 安徽程集中学期中)Sn 表示等差数列{an}的前 n 项的和, 且 S4=S9, a1=-12. (1)求数列的通项 an 及 Sn; (2)求和 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|. 19.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 山东省德州市期中)已知{an}是等差数列,其前 n 项和 为 Sn,{bn}是等比数列(bn>0),且 a1=b1=2,a3+b3=16,S4+b3=34. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)记 Tn 为数列{anbn}的前 n 项和,求 Tn. 5 1 (理)(2014· 辽宁师大附中期中)已知等比数列{an}中, 公比 q∈(0,1), a2+a4= , aa= , 4 1 5 4 1 设 bn= nan(n∈N*). 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

20. (本小题满分 12 分)(2014· 浙北名校联盟联考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, Sn=2an -2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an· log2an+1,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 21.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校 联考)现在市面上有普通型汽车(以汽油为燃料)和电动型汽车两种. 某品牌普通型汽车车价为 12 万元,第一年汽油的消费为 6000 元,随着汽油价格的不断上升,汽油的消费每年以 20% 的速度增长.其他费用(保险及维修费用等)第一年为 5000 元,以后每年递增 2000 元.而电 动汽车由于节能环保,越来越受到社会认可.某品牌电动车在某市上市,车价为 25 万元, 购买时一次性享受国家补贴价 6 万元和该市市政府补贴价 4 万元.电动汽车动力不靠燃油, 而靠电池.电动车使用的普通锂电池平均使用寿命大约两年(也即两年需更换电池一次),电 池价格为 1 万元,电动汽车的其他费用每年约为 5000 元. (1)求使用 n 年,普通型汽车的总耗资费 Sn(万元)的表达式(总耗资费=车价+汽油费+ 其他费用); (2)比较两种汽车各使用 10 年的总耗资费用. (参考数据:(1.24≈2.1 1.25≈2.5 1.29≈5.2 1.210≈6.2)
4

(理)(2014· 湖南省五市十校联考)学校餐厅每天有 500 名学生就餐,每星期一有 A,B 两 种套餐可选,每个学生任选一种,其中 A 是本校的传统套餐,B 是从外校引人的套餐.调查 1 资料表明,若在这星期一选 A 套餐的学生,下星期一会有 的学生改选 B 套餐;而选 B 套餐 5 4 的学生,下周星期一会有 r(0<r< )的学生改选 A 套餐,用 an,bn 分别表示在第 n 个星期选 A 5 套餐的人数和选 B 套餐的人数. (1)用 an-1 表示 an; 3 (2)若 r= ,且选 A 套餐的学生人数保持不变,求 a1; 10 (3)根据调查,存在一个常数 k,使得数列{an-k}为等比数列,且 k∈[250,300],求 r 的 取值范围. 22.(本小题满分 14 分)(文)(2014· 长安一中质检)已知{an}为等比数列,a1=2,a3=18, {bn}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20. (1)求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Sn; (2)设 Pn=b1+b4+b7+…+b3n-2,Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8,其中 n∈N+,试比较 Pn 与 Qn 的大小,并加以证明. (理)(2014· 北京朝阳区期中)如果项数均为 n(n≥2,n∈N*)的两个数列{an},{bn}满足 ak -bk=k(k=1,2,…,n),且集合{a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn}={1,2,3,…,2n},则称 数列{an},{bn}是一对“n 项相关数列”. (1)设{an},{bn}是一对“4 项相关数列”,求 a1+a2+a3+a4 和 b1+b2+b3+b4 的值,并 写出一对“4 项相关数列”{an},{bn}; (2)是否存在“15 项相关数列”{an},{bn}?若存在,试写出一对{an},{bn};若不存在, 请说明理由; (3)对于确定的 n,若存在“n 项相关数列”,试证明符合条件的“n 项相关数列”有偶 数对.

答案
一 1 文[答案] C[解析] 由条件知,a51=0,∴a3+a99=2a51=0,a1+a101=2a51=0,a2+a100

=2a51=0,故选 C. 理 [答案]C [解析] 由条件知 S21=S8,∴a9+a10+…+a21=0, ∴a15=0,∵a8+ak=2a15=0,∴k=22. 2. [答案] D
5

1 [解析] ∵a4=a3q,∴q= , 2 1 1 ∴a8=a4q4=8×( )4= . 2 2 3. [答案] D
2 [解析] ∵{an}是等比数列,∴a1a3=a2 2,a4a6=a5, 2 2 ∴a2 2+2a2a5+a5=36,∴(a2+a5) =36,

∵an>0,∴a2+a5=6. 4. [答案] A [解析] ∵2a8=a5+a11,2a8=6+a11,∴a5=6, ∴S9=9a5=54. 5. [答案] B 1 13 1-? ?13 q 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 q -1 ∵ + + +…+ = · (1 + + 2 + … + 12 ) = · = · 12 = a1 a2 a3 a13 a1 q q q a1 1 a1 q ?q-1? 1- q

[ 解析 ]

13 1 a1?1-q ? 1 = 2· S , 12· a2 a7 13 1q 1-q

1 256 8 2 2 ∴ 2× = ,∴a7 =32,∴log2(a6a8)=log2a7 =5. a7 3 3 6. [答案] B [解析] ∵a1=1,S5=a13=5a3,∴5(1+2d)=1+12d, ∴d=2. ∴an=1+2(n-1)=2n-1, 1 1 1 1 1 ∴ = = ( - ), 2 anan+1 ?2n-1??2n+1? 2n-1 2n+1 1 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1 1 5 故所求和为 (1- )+ ( - )+ ( - )+ ( - )+ ( - )= (1- )= . 2 3 2 3 5 2 5 7 2 7 9 2 9 11 2 11 11 7. [答案] B [解析] 观察 an=2n(3n-13)可知,随 n 的增大,an=2n(3n-13)由负数增大为正数,其 中,a1,a2,a3,a4 为负数,a5 开始以后各项均为正数,所以,数列的前 n 项和 Sn 的最小值 是 S4,选 B.

6

8. [答案] D 3 - [解析] ∵数列{an}的前 6 项为 1-d,1,1+d,1+2d,1+3d,1+4d,∴ x =1+ d, 2 1 - - - - - 由条件知, S2= [(1-d- x )2+(1- x )2+(1+d- x )2+(1+2d- x )2+(1+3d- x )2+(1 6 - +4d- x )2] = 35 2 35 d = ,∴d2=4,∴d=± 2, 12 3

∵a2=1,∴当 d=2 时,a1=-1,a3=3,S3=3,∴a3S3=9, 当 d=-2 时,a1=3,a3=-1,S3=3,∴a3S3=9,故选 D. 9. [答案] C [解析] an=2n-1,bn=2
n-1

2?2n-1? ,cn=abn=2bn-1=2 -1,Tn=c1+c2+…+cn= 2-1
n

-n=2n+1-n-2,当 n=9 时,T9=210-11=1013,当 n=10 时,T10=211-12=2036>2013, ∴使 Tn>2013 的最小 n 值为 10. 10.文 [答案] A

? ?2=k+b, [解析] ∵一次函数 f(x)=kx+b 的图象经过点 P(1,2)和 Q(-2, -4), ∴? ?-4=-2k+b. ? ?k=2, ? 解得? ? ?b=0.
所以 f(x)=2x,an=f(n)f(n+1)=2n×2(n+1)=4n(n+1), 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n = = ( - ),Sn= (1- + - +…+ - )= (1- )= = an 4n?n+1? 4 n n+1 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4?n+1? 6 ,得 n=24. 25 理[答案] A [解析] 由 a7=a6+2a5 得:q2=q+2,∴q=-1(舍)或 q=2. 由 aman=4a1 得,a1qm-1a1qn-1=16a2 1,∴m+n=6. 1 9 1 1 9 1 n 9m 1 8 所以 + = ( + )(m+n)= (1+9+ + )≥ (10+6)= . m n 6m n 6 m n 6 3

7

n 9m ? ?m= n , 3 9 等号成立时,? ∴m= ,n= ,故选 A. 2 2 ? ?m+n=6, 11.文 [答案] A [解析] ∵an=f(n),且{an}是单调递增数列,

? ∴?a>1, ?×6+4≤a ??4-a 2
∴7≤a<8. 理[答案] D

a 4- >0, 2

6-5



[解析] 由条件知,an+an+1=bn,anan+1=2n,a1=1,a2=a3=2,a4=a5=22;a6=a7 =23;a8=a9=24,…,∴b10=a10+a11=25+25=64. 12. [答案] C [解析] f ′(x)=2x+b,由条件知 f ′(1)=2+b=3, 1 1 1 1 ∴b=1,∴f(x)=x2+x,∴ = 2 = - , f?n? n +n n n+1 ∴Sn= 1 1 1 1 1 1 1 1 n 2011 + +…+ =(1- )+( - )+…+( - )= ,∴S2011= . 2 2 3 n 2012 f?1? f?2? f?n? n+1 n+1

二 13. [答案] 2 [解析] 因为数列{an}为等比数列,且 a1+a3=5,a2+a4=10,所以,由等比数列的通 项公式可得, a2+a4=(a1+a3)q,即 10=5q,∴q=2. 14. [答案] {1,2,4} b2 [解析] 设等差数列{an}公差为 d,设等比数列{bn}公比为 q,所以 d=a2-a1=6,q= b1 =-2,所以 an=-2+6(n-1)=6n-8,bn=-2(-2)n-1=(-2)n,因为等差数列{an}首项为 负,从第二项起均为正数,等比数列{bn}奇数项为负、偶数项为正,所以除首项外当 an=bn 时 n 为偶数,n=4 时,a4=16,b4=(-2)4=16,n=6 时,a6=28<b6=(-2)6=64,因为 n

8

为偶数时,数列{an}、数列{bn}均递增,所以当 n≥2k(k=3,4,5,…)时,an<bn.综上可得满足 an=bn 的 n 的所有取值为 1,2,4. 15.文[答案] 15 2

[解析]

2 3 S4 a1?1+q+q +q ? 15 = = . a2 a1q 2

5 理[答案] - 3 [解析] 由等比数列的性质知 a5a8=a6a7, 15 a + a a + a a + a + a + a 5 8 6 7 5 6 7 8 8 1 1 1 1 5 ∴ + + + = + = = =- . a5 a6 a7 a8 a5a8 a6a7 a6a7 9 3 - 8 16.文[答案] 8 或 9 [解析] ∵S7=S10,∴a8+a9+a10=0,∴a9=0, 又 a1>0,∴当 n=8 或 9 时,Sn 取到最大值. 理[答案] 33 [解析] ∵点(n,an)在直线 y-3=k(x-6)上,∴an=3+k(n-6). ∴an+a12-n=[3+k(n-6)]+[3+k(6-n)]=6,n=1,2,3,…,6, ∴S11=a1+a2+…+a11=5(a1+a11)+a6=5×6+3=33. 三 17.文[解析] (1)设{an}的公比为 q, 由已知得 16=2q3,解得 q=2. ∴an=2×2n-1=2n. (2)由(1)得 a3=8,a5=32,则 b3=8,b5=32,

? ? ?b1+2d=8, ?b1=-16, 设{bn}的公差为 d,则有? 解得? ?b1+4d=32, ? ? ?d=12.
从而 bn=-16+12(n-1)=12n-28. 所以数列{bn}的前 n 项和 Sn= n?-16+12n-28? =6n2-22n. 2

理[解析] (1)设数列{an}的公差为 d,又 a4=10,
9

可得 a3=10-d,a6=10+2d,a10=10+6d. 由 a3,a6,a10 成等比数列得 a3a10=a2 6, 即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2, 整理得 10d2-10d=0,解得 d=0 或 d=1. 由 d≠0,可得 d=1. a1=a4-3d=10-3×1=7, 所以 an=a1+(n-1)d=n+6. (2)由 bn=2an(n∈N*),an=n+6,可得 bn=2n+6. 所以 b1=21+6=128. bn+1 2n+7 因为 = n 6=2, bn 2+ 所以数列{bn}是首项为 128,公比为 2 的等比数列. 所以{bn}的前 n 项和为 Sn= 128?1-2n? n 7 =2 + -128. 1-2

18.文[解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d,则

?a +2d+a +5d=4, ? 5?5-1? ?5a + 2 d=-5,
1 1 1

? ?a1=-5, 解得? ?d=2. ?

则 an=2n-7,n∈N. (2)当 n≥4 时,an=2n-7>0, 当 n≤3 时,an=2n-7<0. 则 T5=-(a1+a2+a3)+a4+a5=13,Sn=n2-6n, 当 n≤3 时,Tn=-Sn=6n-n2; 当 n≥4 时,Tn=Sn-2S3=n2-6n+18.
2 ? n≤3, ?6n-n , 即 Tn=? n∈N*. 2 ? ?n -6n+18, n≥4,

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理[解析] (1)∵S4=S9,a1=-12, ∴4×(-12)+6d=9×(-12)+36d,∴d=2, ∴an=-12+2(n-1)=2n-14, Sn=-12n+n(n-1)=n2-13n. (2)令 an=2n-14≤0,得 n≤7, 当 n≤7 时,Tn=-(a1+a2+…+an)=-Sn=13n-n2, 当 n≥8 时 an>0, Tn=-(a1+a2+…+a7)+(a8+…+an)=Sn-2S7=n2-13n+84. 19.文 [解析] (1)设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q,
2 ? ? ?2+2d+2q =16, ?d=3, 由已知可得? ?? ?8+6d+2q2=34, ? ? ?q=2.

因此 an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1,bn=b1qn-1=2n. (2)Tn=2×2+5×22+…+(3n-1)×2n, 2Tn=2×22+5×23+…+(3n-1)×2n+1, 两式相减得-Tn=4+3×22+…+3×2n-(3n-1)×2n+1 12?1-2n-1? =4+ -(3n-1)×2n+1 1-2 =-8-(3n-4)2n+1, 故 Tn=(3n-4)2n+1+8. 1 理[解析] (1)由题意知:a2· a4=a1· a5= , 4

?a +a =4 联立方程得:? 1 a= . ?a · 4
2 4 2 4

5

∵q∈(0,1),∴a2>a4, 1 1 ∴解方程组得 a2=1,a4= ,∴q= ,a1=2, 4 2

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1 1 ∴an=2×( )n-1=( )n-2. 2 2 1 1 (2)由(1)知:an=( )n-2,所以 bn=n( )n-1. 2 2 1 1 1 1 1 ∴Sn=1×( )0+2×( )1+3×( )2+…+(n-1)· ( )n-2+n( )n-1,① 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Sn=1×( )1+2×( )2+…+(n-2)( )n-2+(n-1)· ( )n-1+n( )n,② 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ∴①-②得: Sn=( )0+( )1+( )2+…+( )n-2+( )n-1-n( )n 2 2 2 2 2 2 2 1 1×[1-? ?n] 2 1 1 1 = -n( )n=2-( )n-1-n· ( )n, 1 2 2 2 1- 2 1 1 1 ∴Sn=4-( )n-2-n( )n-1=4-(n+2)( )n-1. 2 2 2 20. [解析] (1)当 n=1 时,a1=2, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2)=2an-2an-1, 即 =2,∴数列{an}为以 2 为公比的等比数列, an-1 an

∴an=2n. (2)bn=2n· log22n+1=(n+1)· 2n, ∴Tn=2×2+3×22+…+n· 2n-1+(n+1)· 2n, ∴2Tn=2×22+3×23+…+n· 2n+(n+1)· 2n+1, 两式相减得, -Tn=4+22+23+…+2n-(n+1)2n+1=-n· 2n+1, ∴Tn=n· 2n+1. 21.文[解析] (1)依题意,普通型每年的汽油费用为一个首项为 0.6 万元,公比为 1.2 的 等比数列, ∴使用 n 年,汽油费用共计 0.6(1+1.2+1.22+…+1.2n-1)= 0.6?1-1.2n? =3(1.2n-1), 1-1.2

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其他费用为一个首项为 0.5 万元,公差为 0.2 万元的等差数列,故使用 n 年其他费用共 n?n-1? 计 0.5+(0.5+0.2)+…+[0.5+0.2(n-1)]=0.5n+ ×0.2=0.1n2+0.4n, 2 ∴Sn=12+3×1.2n-3+0.1n2+0.4n=3×1.2n+0.1n2+0.4n+9(万元). (2)由(1)知 Sn=3×1.2n+0.1n2+0.4n+9, ∴S10=3×1.210+0.1×102+0.4×10+9≈3×6.2+10+13=41.6(万元), 又设 T10 为电动型汽车使用 10 年的总耗资费用, 10 则 T10=25-6-4+ ×1+0.5×10=25(万元), 2 41.6-25=16.6(万元), ∴使用 10 年,普通汽车比电动型汽车多花费 16.6 万元. 答:(1)使用 n 年,普通型汽车的总耗资费用 Sn=3×1.2n+0.1n2+0.4n+9, (2)使用 10 年,普通型汽车比电动型汽车多花费 16.6 万元. 4 ? ?an=5an-1+rbn-1, 理[解析] (1)由已知得? ? ?an-1+bn-1=500, 4 ∴an= an-1+r(500-an-1), 5 4 得 an=( -r)an-1+500r. 5 (2)∵r= 3 1 ,∴an= an-1+150=an-1, 10 2

∴an-1=300,∴a1=300. (3)∵{an-k}是等比数列, 4 ∴an-k=( -r)(an-1-k),得 5 4 1 an=( -r)an-1+( +r)k, 5 5 1 2500r ∴( +r)k=500r,得 k= , 5 5r+1 2500r ∵k∈[250,300],∴250≤ ≤300, 5r+1

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1 3 ∴ ≤r≤ . 5 10 a3 22.文[解析] (1)设{an}的公比为 q,由 a3=a1q2 得,q2= =9,∴q=± 3. a1 当 q=-3 时,a1+a2+a3=2-6+18=14<20,这与 a1+a2+a3>20 矛盾. 当 q=3 时,a1+a2+a3=2+6+18=26>20,符合题意. 4×3 设{bn}的公差为 d,由 b1+b2+b3+b4=26 得,4b1+ d=26, 2 又 b1=2,∴d=3,∴bn=3n-1. ∴Sn= n?b1+bn? 3 2 1 = n + n. 2 2 2

(2)∵b1、b4、b7,…,b3n-2 组成公差为 3d 的等差数列, n?n-1? 9 5 ∴Pn=nb1+ · 3d= n2- n. 2 2 2 ∵b10,b12,b14,b2n+8 组成公差为 2d 的等差数列, n?n-1? ∴Qn=nb10+ · 2d=3n2+26n, 2 3 ∴Pn-Qn= n(n-19), 2 故当 n≥20 时,Pn>Qn;当 n=19 时,Pn=Qn;当 n≤18 时,Pn<Qn. 理[解析] (1)依题意,a1-b1=1,a2-b2=2,a3-b3=3,a4-b4=4,相加得, a1+a2+a3+a4-(b1+b2+b3+b4)=10, 又 a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b4=36, 则 a1+a2+a3+a4=23,b1+b2+b3+b4=13. “4 项相关数列”{an}:8,4,6,5;{bn}:7,2,3,1(不唯一). (2)不存在. 假设存在“15 项相关数列”{an},{bn}, 则 a1-b1=1,a2-b2=2,…,a15-b15=15,各式相加得, (a1+a2+…+a15)-(b1+b2+…+b15)=120, 又由已知 a1+a2+…+a15+b1+b2+…+b15=1+2+…+30=465,
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两式相加得,2(a1+a2+…+a15)=585,显然不可能,所以假设不成立, 从而不存在“15 项相关数列”{an},{bn}. (3)对于确定的 n,任取一对“n 项相关数列”{an},{bn}, 令 ck=2n+1-bk,dk=2n+1-ak(k=1,2,…,n), 先证{cn},{dn}也必为“n 项相关数列”. 因为 ck-dk=(2n+1-bk)-(2n+1-ak)=ak-bk=k(k=1,2,…,n), 又因为{a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn}={1,2,3,4,…,2n},很显然有: {(2n+1)-a1,(2n+1)-a2,…,(2n+1)-an,(2n+1)-b1,(2n+1)-b2,…,(2n+1) -bn|={1,2,3,…,2n}, 所以{cn},{dn}也必为“n 项相关数列”. 再证数列{cn}与{an}是不同的数列. 假设{cn}与{an}相同,则{cn}的第二项 c2=2n+1-b2=a2, 2n-1 又 a2-b2=2,则 2b2=2n-1,即 b2= ,显然矛盾. 2 从而,符合条件的“n 项相关数列”有偶数对.

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