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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)必修二练习:1.5.2 平行关系的性质]


第一章

§5

5.2

一、选择题 1. 有四个命题: ①若 a α,b β,a∥b,则 α∥β ②c 为直线,α,β 为平面,若 c∥α,c∥β,则 α∥β ③若 a α,b β,α∥β,则 a、b 无交点 ④若 a α,α∥β,则 a∥β 其中正确命题的个数为( A.0 C.2 [答案] C [解析] ①②中的 α、β 可能平行也可能相交;③④正确. 2.在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别为 AB、AD 上的点,且 AE∶EB=AF∶FD=1∶ 4,又 H、G 分别为 BC、CD 的中点,则( ) ) B.1 D.3

A.BD∥平面 EFGH,且四边形 EFGH 是矩形 B.EF∥平面 BCD,且四边形 EFGH 是梯形 C.HG∥平面 ABD,且四边形 EFGH 是菱形 D.EH∥平面 ADC,且四边形 EFGH 是平行四边形 [答案] B 1 1 [解析] 因 EF 綊 BD,HG 綊 BD,故四边形 EFGH 为梯形. 5 2 3.过平面 α 外的直线 l,作一组平面与 α 相交,如果所得的交线为 a,b,c,…,则这 些交线的位置关系为( A.都平行 C.都相交但不一定交于同一点 [答案] D [解析] ∵l?α,∴l∥α 或 l∩α=A, 若 l∥α,则由线面平行性质定理可知, l∥a,l∥b,l∥c,…,∴由公理可知,a∥b∥c…; 若 l∩α=A,则 A∈a,A∈b,A∈c,…,a∩b∩c=A. 4.设 a,b 表示直线,α,β,γ 表示平面,则下列命题中不正确的是( A.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b ) ) B.都相交且一定交于同一点 D.都平行或交于同一点

B.a∥c,b∥α,a?α?a∥α C.α∥β,β∥γ?α∥γ D.α∥β,a∥α?a∥β [答案] D [解析] 当 α∥β 且 a∥α 时,可能有 a∥β,也可能有 a β,因此选项 D 中的命题不正 确. 5.如图所示,已知四棱柱 ABCD-A′B′C′D′,过棱 A′B′的平面 α 与底面 AC 交于 EF,则直线 AB 与直线 EF 的位置关系是( )

A.相交 C.异面 [答案] B [解析] ∵A′B′∥AB, ∴A′B′∥平面 AC.

B.平行 D.不确定

又 A′B′ 平面 α,α∩平面 AC=EF,∴A′B′∥EF, ∴AB∥EF.故选 B. 6.下列说法中正确的个数有( )

①两平面平行,夹在两平面间的平行线段相等; ②两平面平行,夹在两平面间的相等的线段平行; ③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行,那么它和另一个平面也平行 ④三个平行平面把两条直线截得的线段对应成比例 A.1 个 C.3 个 [答案] B [解析] 如图知 AC=BD,但 AC 与 BD 不平行,②不正确;若 α∥β,a∥α,则 a∥β 或 a β,③不正确.①④正确. B.2 个 D.4 个

二、填空题 7.过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的三个顶点 A1、C1、B 的平面与底面 ABCD 所在平面的 交线为 l,由 l 与 A1C1 的位置关系是________. [答案] 平行 [解析] 因为过 A1、C1、B 的平面与底面 A1B1C1D1 的交线为 A1C1,与底面 ABCD 的交 线为 l,又正方体的两底面互相平行,则由两个平面平行的性质定理知 l∥A1C1. 8.如图,A 是△BCD 所在平面外一点, ,M 是△ABC 的重心,N 是△ADC 的中线 AF 4 上的点.并且 MN∥平面 BCD.当 MN= 时,BD=________. 3

[答案] 4 [解析] 如图, 取 E 为 BC 的中点, 连接 AE、 EF, 则 M 在 AE 上, 并且 AM∶AE=2∶3. ∵MN∥平面 BCD,∴MN∥EF. ∴MN∶EF=2∶3. 1 而 EF= BD,∴BD=3MN=4. 2 三、解答题 9.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 在 AB1 上,F 在 BD 上,且 B1E=BF.

求证:EF∥平面 BB1C1C. [解析] 证法一:连接 AF 并延长交 BC 于 M,连接 B1M. ∵AD∥BC,∴△AFD∽△MFB, ∴ AF DF = . FM BF

又∵BD=B1A,B1E=BF, ∴DF=AE. ∴ AF AE = .∴EF∥B1M, FM B1E

又 B1M 平面 BB1C1C,EF?平面 BB1C1C, ∴EF∥平面 BB1C1C. 证法二:作 FH∥AD 交 AB 于 H,连接 HE. ∵AD∥BC,∴FH∥BC,BC 平面 BB1C1C, FH?平面 BB1C1C,∴FH∥平面 BB1C1C, BF BH 由 FH∥AD 可得 = . BD BA B1E BH 又 BF=B1E,BD=AB1∴ = ,∴EH∥B1B, AB1 BA B1B 平面 BB1C1C,EH?平面 BB1C1C, ∴EH∥平面 BB1C1C,EH∩FH=H, ∴平面 FHE∥平面 BB1C1C,EF 平面 FHE, ∴EF∥平面 BB1C1C.

一、选择题 1.已知 a,b 表示直线,α,β,γ 表示平面,下列推理正确的是( A.α∩β=a,b α?a∥b B.α∩β=a,a∥b?b∥α 且 b∥β C.a∥β,b∥β,a α,b α?α∥β D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b [答案] D [解析] A 中 α∩β=a,b α,则 a,b 可能平行也可能相交; B 中 α∩β=a,a∥b,则可能 b∥α 且 b∥β,也可能 b 在平面 α 或 β 内; C 中 a∥β,b∥β,a α,b α,根据面面平行的判定定理,需再加上条件 a∩b=A,才 能得出 α∥β. D 为面面平行性质定理的符号语言. 2.如图,若 Ω 是长方体 ABCD—A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几 何体 EFGHB1C1 后得到的几何体, 其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点, F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH∥A1D1,则下列结论中不正确 的 ... 是( ) A.EH∥FG B.四边形 EFGH 是矩形 C.Ω 是棱柱 )

D.Ω 是棱台 [答案] D [解析] ∵EH∥A1D1,∴EH∥B1C1,∴B1C1∥面 EFGH,B1C1∥FG,∴Ω 是五棱柱, 故选 D. 二、填空题 3.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上, 若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于________.

[分析] 本题主要考查了立体几何中线面平行的性质定理、三角形中位线定理. [答案] 2

[解析] 由于在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,∴AC=2 2.又 E 为 AD 中点,EF ∥平面 AB1C,EF 平面 ADC,平面 ADC∩平面 AB1C=AC,∴EF∥AC,∴F 为 DC 中点, 1 ∴EF= AC= 2. 2 4.已知 m、n 是不同的直线,α、β 是不重合的平面,给出下列结论:①若 α∥β,m α, n β,则 m∥n;②若 m、n α,m∥β,n∥β,则 α∥β;③m、n 是两条异面直线,若 m∥α, m∥β,n∥α,n∥β,则 α∥β. 上面的结论中,正确的是________(写出所有正确结论的序号). [答案] ③ [解析] ①m、n 两条直线可能异面;②若 m,n 两条直线平行,则平面 α,β 可能相交; ③正确. 三、解答题 5.如图所示,棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形,设 D 是 A1C1 上的一点,且 A1B∥平面 B1CD,求 A1D∶DC1 的值.

[证明] 如图所示, 设 BC1 交 B1C 于点 E, 连接 DE, 则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线,因为 A1B∥平面 B1CD,所以 A1B∥DE.

又 E 是 BC1 的中点,所以 D 为 A1C1 的中点,即 A1D∶DC1=1. 6.如图所示,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是 BC 上一点,且 A1B∥平面 AC1D,D1 是 B1C1 的中点.

求证:平面 A1BD1∥平面 AC1D. [证明] 如图,连接 A1C 交 AC1 于点 E,

∵四边形 A1ACC1 是平行四边形, ∴E 是 A1C 的中点.连接 ED, ∵A1B∥平面 AC1D,平面 A1BC∩平面 AC1D=ED, ∴A1B∥ED. ∵E 是 A1C 的中点, ∴D 是 BC 的中点. 又∵D1 是 B1C1 的中点, ∴BD1∥C1D,A1D1∥AD, ∴BD1∥平面 AC1D,A1D1∥平面 AC1D. 又 A1D1∩BD1=D1, ∴平面 A1BD1∥平面 AC1D. 7.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是 BC 的中点.

(1)若 E 为 A1C1 的中点,求证:DE∥平面 ABB1A1;

A1E (2)若 E 为 A1C1 上一点,且 A1B∥平面 B1DE,求 的值. EC1 [解析] (1)证明:取 B1C1 的中点 G,连接 EG,GD,

则 EG∥A1B1,DG∥BB1, 又 EG∩DG=G, 所以平面 DEG∥平面 ABB1A1, 又 DE 平面 DEG, 所以 DE∥平面 ABB1A1. (2)解:设 B1D 交 BC1 于点 F,则平面 A1BC1∩平面 B1DE=EF. 因为 A1B∥平面 B1DE,A1B 平面 A1BC1, 所以 A1B∥EF. A1E BF 所以 = . EC1 FC1 又因为 BF BD 1 A 1E 1 = = ,所以 = . FC1 B1C1 2 EC1 2


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