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厦门市2012-2013学年(上)高二质量检测数学(文科)试题参考答案


厦门市 2012-2013 学年(上)高二质量检测

数学(文科)试题参考答案
A 卷(共 100 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1-5:CBADB 6-10:CBADA 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 11. 3 13. 12. 2n-1 14. 6

r />p : x ? A , (1,3] ? A

三、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分. 15. (本题满分 10 分) 解: (Ⅰ)依题意有 a ? c ? 2 ? 1, a ? c ? 2 ? 1 , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分

解得 a ? 2 , c ? 1 , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分 ∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,椭圆 C 的标准方程是

x ? y ? 1 。┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分 2
2

2

(Ⅱ)不妨设短轴的端点 M (0, ?1) ,MN 所在直线方程为 y ? 2 x ? 1 , ┄┄┄┄┄┄6 分

x 8 ? y ? 1 中化简得 9 x ? 8 x ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 。┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 2 9 8 8 5 ∴ | MN |? 1 ? 2 | ? 0 |? 。 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 9 9
代入
2
2

2

2

16. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的首项 a1 ,公差 d ,

?2a1 ? 3d ? 10 则? ,解得 a1 ? 2 , d ? 2 ,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分 ?2a1 ? 5d ? 14
∴通项公式 an ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分

Sn ?

n(2 ? 2n) ? n(n ? 1) 。 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分

(Ⅱ) bn ?

1 1 1 1 ? ? ? , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 S n n(n ? 1) n n ? 1

∴数列 {bn } 的前 n 项和

1 1 1 1 1 1 n 。┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ?1? ? 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? 2 x ? 3x ? 2 ? 0
2
2

1 ? x ? 2 , x2 ? ? ,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 2
1

又? cos C 是方程 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的一个根,

? cos C ? ?

1 2? ,??C ? 。 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 2 3

2 ? 1? (Ⅱ)由余弦定理可得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? ? ? ? ? ? a ? b ? ? ab ,┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 ? 2?

∵ a ? b ? 10 ,∴ c 2 ? 100? a?10 ? a? ? ?a ? 5? ? 75 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分
2

当 a ? 5 时, c 2 取最小值 75,即 c 的最小值是且 5 3 ,此时 a ? b ? c ? 10? 5 3 ∴△ABC 周长的最小值为 10 ? 5 3 。┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

B 卷(共 50 分)
四、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 18. 10 20. 19. 500m 21.
t ? ?1 或 t ? 1

7 2

五、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分, 22. (本题满分 10 分) 解: (Ⅰ)每件产品所需成本费用为

1 2 P 1000 ? 5 x ? 10 x ? ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 x x

?

1 1000 x? ? 5 ? 2 100 ? 5 ? 25 10 x

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分

当且仅当

1 1000 P 即 x ? 100 时取等号,即 的最小值是 25. ┄┄┄┄┄┄4 分 x? 10 x x

答:生产 100 件产品时,每件产品所需平均成本费用最低为 25 元。 ┄┄┄┄5 分

(Ⅱ)生产利润为 x ? Q ? P ? x(a ? ) ? (1000 ? 5 x ?

x b

x2 ) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分 10

1 1 ? ( ? ) x 2 ? (a ? 5) x ? 1000 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 b 10 150 5?a ? 30 ,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分 由题意, ? 150 且 a ? 1 1 b 2( ? ) b 10
解得 a ? 25, b ? 30 。 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分

答:所求的 a ? 25, b ? 30 。

23. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意,得 an ? 2 ? (n ?1)d ? nd ? 2 ? d , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1 分 ∵ b4 ? 8 ,根据 bm 的定义可知 nd ? 2 ? d ? 4 ? n ? ∴7 ?

2?d 2 1 ? 8 ? ? d ? 。┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分 d 7 3 m ?1 (Ⅱ)由题意,得 an ? 2n ? 1,对于正整数,由 an ? m ,得 n ? .┄┄┄┄┄6 分 2
根据 bm 的定义可知
* 当 m ? 2k ? 1 时, bm ? k k ? N ;┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 * 当 m ? 2 k 时, bm ? k ? 1 k ? N . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分

2?d ,┄┄┄┄┄┄┄3 分 d

?

?

?

?

∴ b1 ? b2 ??? b2m ? ?b1 ? b3 ? ?? b2m?1 ? ? ?b2 ? b4 ? ?? b2m ?

? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? m ? 1? ? ? ?

?

m ? m ? 1? m ? m ? 3? ? ? m2 ? 2m .┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 2 2

24. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设抛物线 G 的方程是 x = ay,焦点 F(0, 1)
Q
2

y

a 则 ? 1, 即 a = 4 . 4

┄┄┄┄┄┄┄2 分

故所求抛物线 C 的方程为 x2 = 4y . ┄┄┄4 分
P O (第 24 题) x

(Ⅱ)设存在 P 符合题意,设 P(x1,

x12 x2 ),Q(x2, 2 ) , 4 4
x12 ? k ( x ? x1 ) 。 4

依题意过 P 的切线斜率存在,设切线方程 y ?

2 代入抛物线 G 的方程, 得 x2 ? 4kx ? 4kx1 ? x1 ? 0

2 ∴ ? ? 16k 2 ? 4(4kx1 ? x1 ) ? 0 得 k ?

x1 。┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分 2

∴直线 PQ 的方程是 y ? ?

x2 2 x ? 2 ? 1 ,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 x1 4
2

将上式代入抛物线 G 的方程,化简得 x ?

8 x ? 8 ? x12 ? 0 , x1

故 x1 ? x2 ? ?

8 2 , x1 x2 ? ?8 ? x1 ,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 x
1

∵OP⊥OQ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 x1 x2 ?
2 得 x1 ? 8 故 y1=2 ,

1 2 2 x1 x2 ? 0 ,┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 16

此时, 点 P 的坐标是( ?2 2 ,2) 。┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 经检验, 符合题意.所以, 满足条件的点 P 存在, 其坐标为 P( ?2 2 ,2)。


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