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2013高考数学(文)一轮复习课件:直线、平面平行的判定及性质


第4讲 直线、平面平行的判定及性质

【2013年高考会这样考】 1.考查空间平行的判断与命题或充要条件相结合. 2.以解答题的形式考查线面关系的平行. 3.考查空间中平行关系的探索性问题. 【复习指导】 1.在高考中,线、面平行关系的考查仅次于垂直关系的考 查,是高考重点内容,在要求上不高,属容易题,平时训练难 度不宜过大,抓好判定定理的掌握与应用即可.

2.学会应用“化归思想”进行“线线问题,线面问题,面面 问题”的互相转化,牢记解决问题的根源在“定理”.

基础梳理 1.直线与平面的位置关系有 在平面内、 相交 、 平行 三种情 况. 2.平面与平面的位置关系有 相交 、 平行 两种情况.

3.直线和平面平行的判定 (1)定义:直线和平面没有公共点,则称直线平行于平面; (2)判定定理:a?α,b?α,且a∥b? a∥α ; (3)其他判定方法:α∥β;a?α? a∥β 4.直线和平面平行的性质定理:a∥α,a?β,α∩β=l?a∥l .

5.两个平面平行的判定 (1)定义:两个平面没有公共点,称这两个平面平行;

α∥β ; (2)判定定理:a?α,b?α,a∩b=M,a∥β,b∥β?
(3)推论:a∩b=M,a,b?α,a′∩b′=M′,a′,b′?

α∥β . β,a∥a′,b∥b′?
6.两个平面平行的性质定理 (1)α∥β,a?α? a∥β ; (2)α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b? a∥b . 7.与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α,b⊥α? a∥b ;

α∥β (2)a⊥α,a⊥β?

.

一个关系 平行问题的转化关系:

两个防范 (1)在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则, 会出现错误. (2)把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的 平面与已知平面相交,则直线与交线平行.

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)下面命题中正确的是( ).

①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行,则这两个平面 平行; ②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平 面平行; ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个 平面平行; ④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这 两个平面平行. A.①③ B.②④ C.②③④ D.③④

解析 ①②中两个平面可以相交,③是两个平面平行的定义, ④是两个平面平行的判定定理. 答案 D

2.平面α∥平面β,a?α,b?β,则直线a,b的位置关系是 ( A.平行 C.异面 答案 D B.相交 D.平行或异面 ).

3.在空间中,下列命题正确的是( A.若a∥α,b∥a,则b∥α

).

B.若a∥α,b∥α,a?β,b?β,则β∥α C.若α∥β,b∥α,则b∥β D.若α∥β,a?α,则a∥β 解析 若a∥α,b∥a,则b∥α或b?α,故A错误;由面面平行 的判定定理知,B错误;若α∥β,b∥α,则b∥β或b?β,故C 错误. 答案 D

4.已知m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则 下列命题中正确的是( A.m∥n,m⊥α?n⊥α B.α∥β,m?α,n?β?m∥n C.m⊥α,m⊥n?n∥α D.m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β ).

解析

选项A中,如图①,n∥m,m⊥α?n⊥α一定成立,A正

确;选项B中,如图②,α∥β,m?α,n?β?m与n互为异面 直线,∴B不正确;选项C中,如图③,m⊥α,m⊥n?n?α, ∴C不正确;选项D中,如图④,m?α,n?α,m∥β,n∥β? α与β相交,∴D不正确.

答案

A

5.(2012· 衡阳质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是DD1的中 点,则BD1与平面ACE的位置关系为________. 解析 如图. 连接AC、BD交于O点,连结OE, 因为OE∥BD1,而OE?平面ACE,BD1? 平面ACE,所以BD1∥平面ACE. 答案 平行

考向一

直线与平面平行的判定与性质

【例1】?(2011· 天津改编)如图,在四棱锥PABCD中,底面 ABCD为平行四边形,O为AC的中点,M为PD的中点. 求证:PB∥平面ACM. [审题视点] 连接MO,证明PB∥MO即可.

证明 连接BD,MO.在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中 点,所以O为BD的中点.又M为PD的中点,所以PB∥MO.因 为PB?平面ACM,MO?平面ACM,所以PB∥平面ACM.

利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线.可 先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考 虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面 找其交线.

【训练1】 如图,若PA⊥平面ABCD, 四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB、 PD的中点,求证:AF∥平面PCE. 证明 如图,取PC的中点M,连接ME、MF,

1 则FM∥CD且FM=2CD. 1 又∵AE∥CD且AE=2CD, ∴FM綉AE,即四边形AFME是平行四边形.

∴AF∥ME,又∵AF?平面PCE,EM?平面PCE, ∴AF∥平面PCE.

【例2】?如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N、P分别为 所在边的中点. 求证:平面MNP∥平面A1C1B. [审题视点] 证明MN∥A1B, MP∥C1B.

证明

连接D1C,则MN为△DD1C的中位线,

∴MN∥D1C. 又∵D1C∥A1B,∴MN∥A1B.同理,MP∥C1B. 而MN与MP相交,MN,MP在平面MNP内,A1B,C1B在平面 A1C1B内.∴平面MNP∥平面A1C1B.

证明面面平行的方法有: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面,那么这两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互 转化.

【训练2】 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别 是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证: (1)B,C,H,G四点共面; (2)平面EFA1∥平面BCHG.

证明

(1)∵GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC, ∴B,C,H,G四点共面. (2)∵E、F分别为AB、AC的中点,∴EF∥BC, ∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG, ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綉EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,

∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG. ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.

考向三 线面平行中的探索问题 【例3】?如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,A1A⊥平面 ABC,若D是棱CC1的中点,问在棱AB上是否存在一点E,使 DE∥平面AB1C1?若存在,请确定点E的位置;若不存在,请 说明理由. [审题视点] 取AB、BB1的中点分别为E、F,证明平面DEF∥

平面AB1C1即可.

解 存在点E,且E为AB的中点. 下面给出证明: 如图,取BB1的中点F,连接DF, 则DF∥B1C1. ∵AB的中点为E,连接EF, 则EF∥AB1. B1C1与AB1是相交直线, ∴平面DEF∥平面AB1C1. 而DE?平面DEF,∴DE∥平面AB1C1.

解决探究性问题一般要采用执果索因的方法,假设求解的结 果存在,从这个结果出发,寻找使这个结论成立的充分条件, 如果找到了符合题目结果要求的条件,则存在;如果找不到符 合题目结果要求的条件(出现矛盾),则不存在.

【训练3】 如图,在四棱锥PABCD中,底面是平行四边形,PA ⊥平面ABCD,点M、N分别为BC、PA的中点.在线段PD上是 否存在一点E,使NM∥平面ACE?若存在,请确定点E的位 置;若不存在,请说明理由.

解 在PD上存在一点E,使得NM∥平面ACE. 证明如下:如图,取PD的中点E,连接NE,EC,AE, 1 因为N,E分别为PA,PD的中点,所以NE綉2AD.

1 又在平行四边形ABCD中,CM綉 AD.所以NE綉MC,即四边形 2

MCEN是平行四边形.所以NM綉EC.

又EC?平面ACE,NM?平面ACE,所以MN∥平面ACE, 即在PD上存在一点E,使得NM∥平面ACE.

规范解答12——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合 性问题 【问题研究】 高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平 行、线面垂直为核心,以多面体为载体结合平面几何知识,考 查判定定理、性质定理等内容,难度为中低档题目. 【解决方案】 利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的 结构特征,尤其注意对正棱柱、正棱锥等特殊几何体性质的灵 活运用,进行空间线面关系的相互转化.

【示例】?(本题满分12分)(2011· 山东)如图,在四棱台 ABCDA1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边 形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60° . (1)证明:AA1⊥BD; (2)证明:CC1∥平面A1BD.

第(1)问转化为证明BD垂直A1A所在平面;第(2)问在平面A1BD 内寻找一条线与CC1平行.

[解答示范] ABCD,

证明 (1)因为D1D⊥平面ABCD,且BD?平面

所以D1D⊥BD.(1分) 又因为AB=2AD,∠BAD=60° , 在△ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD· ABcos =3AD2,所以AD2+BD2=AB2, 因此AD⊥BD.(4分) 又AD∩D1D=D, 所以BD⊥平面ADD1A1.又AA1?平面ADD1A1, 故AA1⊥BD.(6分) 60°

(2)如图,连结AC,A1C1, 设AC∩BD=E,连结EA1, 因为四边形ABCD为平行四边形, 1 所以EC= AC.(8分) 2 由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知A1C1∥EC且A1C1=EC,所以 四边形A1ECC1为平行四边形,(10分) 因此CC1∥EA1. 又因为EA1?平面A1BD,CC1?平面A1BD, 所以CC1∥平面A1BD.(12分)

证明线面关系不能仅仅考虑线面关系的判定和性质,更要注 意对几何体的几何特征的灵活应用.证明的依据是空间线面关 系的判定定理和性质定理.另外根据几何体的数据,通过计算 也可得到线线垂直的关系,所以要注意对几何体中的数据的正 确利用.

【试一试】 (2010· 安徽)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC= 90° ,BF=FC,H 为 BC 的中点. (1)求证:FH∥平面 EDB; (2)求证:AC⊥平面 EDB; (3)求四面体 BDEF 的体积.

[尝试解答]

(1)证明 设AC与BD交于点G,则G为AC的中

1 点.连EG,GH,由于H为BC的中点,故GH綉 AB. 2

1 又EF綉2AB,∴EF綉GH. ∴四边形EFHG为平行四边形. ∴EG∥FH,而EG?平面EDB,∴FH∥平面EDB.

(2)证明 由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC. 又EF∥AB,∴EF⊥BC. 而EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC,∴EF⊥FH. ∴AB⊥FH.又BF=FC,H为BC的中点, ∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD. ∴FH⊥AC.又FH∥EG,∴AC⊥EG. 又AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB.

(3)解

∵EF⊥FB,∠BFC=90° ,∴BF⊥平面CDEF.

∴BF为四面体BDEF的高. 又BC=AB=2,∴BF=FC= 2. 1 1 1 VB-DEF=3×2×1× 2× 2=3.

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