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2012年嵊州市“天乐杯”初中生数学思维风暴活动九年级试题


2012 年 嵊 州 市 “天 乐 杯 ”初 中 生 数 学 思 维 风 暴 活 动

九年级试题
(2012 年 12 月 22 日 题 号 得 分 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1、一同 学根据下表,作了四个推测: 一 1----10 二 11---20 21 22 上午 8:30—10:30) 三 23 24 25

r />总分

结分人

x x?2 2? x
①2?

1 3

lO 1.2

100 1.0 2

1000

10000 ?

1.002 1.0002

x?2 x?2 ? x ? 0 ? 的值随着 x 的增大越来越小; ② 2 ? ? x ? 0 ? 的值有可能等于 1; x x x?2 x?2 ③2? ④ ? x ? 0 ? 的值随着 x 的增大越来越接近于 1; 2 ? ? x ? 0 ? 的值最大值是 3. x x
则推测正确的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4 个 2、如图,西安路与南京路平行,并且与八一街垂直,曙光路 与环城路垂直。如果小明站在南京路与八一街的交叉口,准 备去书店,按图中的街道行走,最近的路程约为( ) A 500m B 525 m C 575 m D 625 m

? ? 3、如图,在⊙O 中, CD ? DA ? ? ,给出下列三个结论: AB
(1)DC=AB; (2)AO⊥BD; (3)当∠BDC=30°时,∠ DAB=80°.其中正确的个数是( ) A 0 B 1 C 2 D 3 4、已知非零实数 a , b 满足 a ? 2 ? b ? 1 ? a ? 3 ? a ? 2 ,则

第 3 题图

C

B

O D
第 4 题图

a ? b 等于(
A -1

) B
2

0

C

1

D

A

5、已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示,有以下结论:①

a ? b ? c ? 0 ;② a ? b ? c ? 1 ;③ abc ? 0 ;④ 4a ? 2b ? c ? 0 ;⑤ c ? a ? 1 其中所有正确
结论的序号是( ) A.①② B. ①③④ C.①②③⑤ D.①②③④⑤ 6、如图所示,一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的,矩形 ABCD 沿 EF 对折后,再把矩 形 EFCD 沿 MN 对开,依此类推,若各种开本的矩形都相似,那么

AD ?( AB



A

2 2

B y 1 1

2

C

3

D

2 D1 A1 B1 D A C B (第 10 题)

C1

?1 O

x

第6题

第7题

?? x ? 1?2 ? 1? x≤3? ? 7、 已知函数 y ? ? , 则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个, k 的值为( 则 2 ?? x ? 5? ? 1? x>3? ?
A.0 B.1 C.2 D.3

)

8、如图,设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,黑、白两个甲壳虫同时从 A 点出发,以相 同的速度分别沿棱向前爬行,黑甲壳虫爬行的路线是 AA1→A1D1→??,白甲壳虫爬行的路 线是 AB→BB1→??,并且都遵循如下规则:所爬行的第 n ? 2与第n 条棱所在的直线必须 是既不平行也不相交(其中 n 是正整数) .那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第 2013 条棱分 别停止在所到的正方体顶点处时,它们之间的距离是( )

2 A 0 B 1 C 二、填空题(每小题 5 分,共 40 分)
9、若关于 x,y 的二元一次方程组 ? ______. 10、设 a ?

D

3

?3x ? y ? 1 ? a 的解满足 x ? y<2 ,则 a 的取值范围为 ?x ? 3y ? 3

5 ? 1 ,则代数式 a 3 ? 3a 2 ? 2a ? 14 的值为

11、读一读:式子“1+2+3+4+??+100”表示从 1 开始的 100 个连续自然数的和,由于式 子比较长,书写不方便,为了简便起见,我们将其表示为

? n ,这里“ ?
n ?1

100

”是求和符号,

2012

通过以上材料的阅读,计算

? n(n ? 1) =
1
n ?1

.

12、在直角坐标系中,点 A 是抛物线 y=x2 在第二象限上的点,连接 OA,过点 O 作 OB⊥ OA, 交抛物线于点 B, OA、 为边构造矩形 AOBC。 以 OB 如图,当点 A 的横坐标为 ? 则点 B 的坐标为 ;

1 时, 2

? 13、如图,矩形 ABCD 中,AD=2,AB=3,AM=1, DE 是以点 A 为圆心 2 为半径的

1 圆弧, 4

1 ? NB 是 以 点 M 为 圆 心 2 为 半 径 的 圆 弧 , 则 图 中 两 段 弧 之 间 的 阴 影 部 分 的 面 积 4
为 .

? 14、如图, MN 是 ? O 的直径, MN ? 2 ,点 A 在 ? O 上,∠AMN ? 30 , B 为 ? 的中 AN

点, P 是直径 MN 上一动点,则 PA ? PB 的最小值为



A B M O P 第 14 题 N

第 12 题 15、如图,已知动点 A 在函数 y ?

第 13 题

4 ( x ? 0) 的图象上, AB ? x 轴于点 B, AC ? y 轴于点 x C,延长 CA 至点 D,使 AD=AB,延长 BA 至点 E,使 AE=AC。直线 DE 分别交 x 轴
于点 P,Q。当 QE : DP ? 4 : 9 时,图中阴影部分的面积等于_______

16、在△ABC 中,BC=6, S?ABC ? 12 , B1C1 所在四边形是△ABC 的内接正方形, B2C2 所在四 边形是△ AB1C1 的内接正方形, B3C3 所在四边形是△ AB2C2 的内接正方形,依此类推,则

BnCn 的长为



A B2 B1 B3 C3 C2 C1

B
第 19 题 题: (共 70 分) 第 20 题

C
三、解答

17、(10 分)如图,有长为 24m 的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度 a 为 10m),围成 中间隔有一道篱笆(平行于 AB)的矩形花圃.设花圃的一边 AB 为 xm,面积为 Sm . (1)求 S 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围; (2)要围成面积为 45 m 的花圃,AB 的长是多少米?
2 2

(3)能围成面积比 45 m 2 更大的花圃吗?如果 能,请求出最大面积,并说明围法;如不能,请说明理由。

18、(12 分)某人在电车路轨旁与路轨平行的路上骑车行走,他留意到每隔 6 分钟有一部 电车从他后面驶向前面, 每隔 2 分钟有一部电车从对面驶向后面。 假设电车和此人行驶的速 度都不变(分别为 v1 , v2 表示),请你根据下面的示意图,求电车每隔几分钟(用 t 表示) 从车站开出一部?

19、 (本题 12 分)阅读理解:对于任意正实数 a、b, ∵ ( a ? b )2 ≥0,∴ a ? 2 ab ? b ≥0,∴ a ? b ≥ 2 ab ,只有当 a=b 时,a ? b = 2 ab . 根据上述内容,回答下列问题: (1)若 m>0, 只有当 m= 时, ? m

1 有最小值 m



(2)探索应用:已知,点 Q(-3,-4)是反比例函数图象

k 的一点,过点 Q 作 QA⊥x 轴于点 A,作 QB⊥y x k 轴于点 B, 点 P 为反比例函数图象 y ? ( x>0) 上的 x y?
任意一点, 连接 PA、 求四边形 AQBP 面积的最小值, PB, ( 3 ) 已 知 ( x>0) , 则 自 变 量 x 为 何 值 时 , 函 数

y?

x 取到最大值,最大值为多少? x ? 2 x ? 25
2

20、 (12 分)如图,AB 是半⊙O 的直径,点 C 是半圆弧的中点,点 D 是弧 AC 的中点,连 结 BD 交 AC、OC 于点 E、F。 (1) 在图中与△BOF 相似的三角形有 (2)求证:BE=2AD; (3)求 个;

DE 的值。 BE

21、 (12 分)如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为 C(1,4) ,交 x 轴于 A、B 两点, 交 y 轴于点 D,其中点 B 的坐标为(3,0) 。 (1)求抛物线的解析式; (2)过点 A 的直线与抛物线交于点 E,交 y 轴于点 F,其中点 E 的横坐标为 2,若直线 PQ 为抛物线的对称轴,点 G 为直线 PQ 上的一动点,在 x 轴上找一点 H,使 D、G、H、F 四点所围成的四边形周长最小。求出这个最小值及点 G、H 的坐标。

? 22、 (12 分)如图,扇形 OMN 的半径为 1,圆心角是 90° .点 B 是 MN 上一动点,

BA⊥OM 于点 A,BC⊥ON 于点 C,点 D、E、F、G 分别是线段 OA、AB、BC、CO 的中点,GF 与 CE 相交于点 P,DE 与 AG 相交于点 Q. (1)求证:四边形 EPGQ 是平行四边形; (2)探索当 OA 的长为何值时,四边形 EPGQ 是矩形; (3)连结 PQ,求 3PQ2 ? OA2 的值.

2012 年 嵊 州 市 “天 乐 杯 ”初 中 生 数 学 思 维 风 暴 活 动

九年级试题
参考答案与评分标准 一、选择题: 1、 B 2、 C 二、填空题: 9、 a <4 3、D 4、 D 5、C 6、 B 7、 D 8、 A

10、2012
n

11、
n ?1

2012 2013

12、 ? ,

? 3 17 ? ? ?2 4 ?

13、2

14、 2

15、

13 3

12 ? 2 ?2? 16、 6 ? ? ? 或 5n ?5?

三、解答题: 17、(10 分)解:(1)∵BC= 24 ? 3x , ∴ S ? x?24 ? 3x ? ? ?3x 2 ? 24x ,由 0< 24 ? 3x ≤10,得

14 ? x <8。----(3 分) 3

2 (2)由 s ? 45 ,得 x ? 8 x ? 15 ? 0 ,∴ x1 ? 3 (舍去) x2 ? 5 , ,

∴AB=5。------------------(3 分) (3) S ? ?3?x ? 4? ? 48,∵
2

14 ? x <8, 3 14 2 ∴x ? 时, s 有最大值是 46 。----------------------(4 分) 3 3
故能围成面积比 45 m 更大的花圃,围法是花圃的长为 10 m ,宽为 18、 (12 分)解:根据题意得:
2

14 m。 3

?6(u1 ? u2 ) ? u1t -------------(5 分) ,解得 u1 ? 2u2 .------------------(3) ? ? 2(u1 ? u2 ) ? u1t
∴ t ? 3 (分钟)------------------(3 分)
答:电车每隔 3 分钟从车站开出一部.-----------(1 分) 19、 (12 分)(1) 1, 2.-------------- (4 分) (2)解:由题意得, S AQBO ? 3 ? 4 ? 12 ,反比例函数解析式为 y ? 连接 PO,过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M,作 PN⊥y 轴于点 N,设点 P 的坐标为 ( x, ) N A O Q B M x ∴ S △ AOP ?

12 ,----(1 分) x
y P

12 x

S △ BOP

1 1 12 18 ? AO ? PM ? ? 3 ? ? , 2 2 x x 1 1 ? ? BO ? PN ? ? 4 ? x ? 2 x 2 2

S AQBP ? S AQBO ? S △ AOP ? S △ BOP ? 2 x ?
当 2x ?

18 ? 12 x

18 ,时 S AQBP 的面积最小,解得 x1 ? 3, x2 ? ?3(舍去) x 18 ? 12 ? 24 ∴当 x=3 时, S AQBP ? 2 ? 3 ? 3
∴四边形 AQBP 面积的最小值为 24。 ------------ (3 分) (3)设 y ? ? 当x ?

x 2 ? 2 x ? 25 25 ? x?2? x x

(2 分)

25 1 ? ? 时 y最小 ,∴当 x=5 时, y最小 =8 ∴当 x=5 时, y 最大 ? ( 2 分) 8 x

20、(12 分)解:(1)△BAD;△EAD;△BEC。--------------(3 分) (2)延长 AD 与 BC 相交于 G,∵点 C 是半圆弧的中点,点 D 是 弧 AC 的 中点,∴ ∠CBE=∠GAC , ∠ BCE=∠ACG=90 °, AC=BC,则△ACG≌△BCE ∴BE=AG,而 AG=2AD,∴BE=2AD。----------(5 分) (3)连结 OD 交 AC 于点 H,则 OD⊥AC,∴DH∥BC, ∴△DHE≌△BCE,∴

DE DH = BE BC

设 BC=2,则 OD=OB= 2 ,∴OH=1,DH= 2 ? 1 ,



DE 2 ?1 = 。---------(4 分) BE 2
2

21、 (12 分)解: (1)设 y=a(x-1) +4,将点 B(3,0)代入解得:a=-1 ∴所求抛物线的解析式为:y=-(x-1) +4
2

------------------------(4 分)

(2)如图,在 y 轴的负半轴上取一点 I,使得点 F 与点 I 关于 x 轴对称, 在 x 轴上取一点 H,连接 HF、HI、HG、GD、GE,则 HF=HI 设过 A、E 两点的一次函数解析式为:y=kx+b(k≠0) , ∵点 E 在抛物线上且点 E 的横坐标为 2,将 x=2 代入抛物线 y=-(x-1) +4,得
2

-----------①

y=-(2-1 )2+4=3

∴点 E 坐标为(2,3)
2

y

P
C

又∵抛物线 y=-(x-1) +4 图 像分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B、D ∴当 y=0 时,-(x-1) +4=0,∴ x=-1 或 x=3 当 x=0 时,y=-1+4=3, ∴点 A(-1,0) ,点 B(3,0) ,点 D(0,3)---------(2 分) 又∵抛物线的对称轴为:直线 x=1, ∴点 D 与点 E 关于 PQ 对称,GD=GE ---------------②
F A O I H Q B x G
2

D

E

分别将点 A(-1,0) 、点 E(2,3)代入 y=kx+b,得:

图6

??k ? b ? 0 ? ?2k ? b ? 3

解得: ?

?k ? 1 ?b ? 1

过 A、E 两点的一次函数解析式为:y=x+1 --------------(2 分) ∴当 x=0 时,y=1 ∴点 F 坐标为(0,1) ∴ DF ? 2 ----------------③, 又∵点 F 与点 I 关于 x 轴对称, ∴点 I 坐标为(0,-1) ,∴ EI ? DE 2 ? DI 2 ? 22 ? 42 ? 2 5 ------------④ 又∵要使四边形 DFHG 的周长最小,由于 DF 是一个定值,∴只要使 DG+GH+HI 最小即可 由图形的对称性和①、②、③,可知,DG+GH+HF=EG+GH+HI, 只有当 EI 为一条直线时,EG+ GH+HI 最小 设过 E(2,3) 、I(0,-1)两点的函数解析式为:y=k1x+b1(k1≠0) , 分别将点 E(2,3) 、点 I(0,-1)代入 y=k1x+b1,得:
y C

?2k1 ? b1 ? 3 ? ?b1 ? ?1

?k ? 2 解得: ? 1 ?b1 ? ?1
D

T N

过 I、E 两点的一次函数解析式为:y=2x-1 ∴当 x=1 时,y=1;当 y=0 时,x= ∴点 G 坐标为(1,1) ,点 H 坐标为(

1 ; 2 1 ,0) 2
A O B

M

x

∴四边形 DFHG 的周长最小为:DF+DG+GH+HF=DF+EI 由③和④,可知: DF+EI= 2 ? 2 5 ∴四边形 DFHG 的周长最小为 2 ? 2 5 。-----------(4 分) 22、 (12 分)解: (1)证明:如图①, ∵∠AOC=90° ,BA⊥OM,BC⊥ON, ∴四边形 OABC 是矩形. ∴ AB // OC, AB ? OC . ∵E、G 分别是 AB、CO 的中点, ∴ AE // GC, AE ? GC. C P G Q E F B N 图7

∴四边形 AECG 为平行四边形. ∴ CE // AG . ???????????4 分 O A D 连接 OB, 图① ∵点 D、E、F、G 分别是线段 OA、AB、BC、CO 的中点, ∴ GF∥OB,DE∥OB, ∴ PG∥EQ, ∴四边形 EPGQ 是平行四边形.??????????????????6 分 (2)如图②,当∠CED=90° 时,□EPGQ 是矩形.

M

此时 ∠AED+∠CEB =90° . 又∵∠DAE=∠EBC =90° ,∴∠AED=∠BCE. ∴△AED∽△BCE.????????????8 分 ∴

N C P G Q O D A 图② M E F B

AD AE ? . BE BC

x y y 设 OA=x,AB=y,则 ∶ = ∶ x ,得 y 2 ? 2 x 2 .?10 分 2 2 2
又 OA ? AB ? OB ,即 x2 ? y 2 ? 12 .
2 2 2

∴ x ? 2 x ? 1 ,解得 x ?
2 2

3 . 3

∴当 OA 的长为

3 时,四边形 EPGQ 是矩形.????????????12 分 3

(3)如图③,连结 GE 交 PQ 于 O? ,则 O?P ? O?Q, O?G ? O?E. .过点 P 作 OC 的平行 线分别交 BC、GE 于点 B? 、 A? .

PG PE GE 2 ? ? ? , PF PC FC 1 2 1 1 1 ∴ PA? = A?B? = AB, GA? = GE= OA, 3 3 3 3 1 1 ∴ A?O? ? GE ? GA? ? OA . 2 6 2 在 Rt△ PA?O ? 中, PO? ? PA?2 ? A?O?2 ,
由△PCF∽△PEG 得,

N C B' F P G A' O' E B

PQ2 AB2 OA2 O D 即 , 又 AB 2 ? OA2 ? 1 , ? ? 4 9 36 图③ 1 ∴ 3PQ2 ? AB2 ? , 3 1 4 ∴ OA2 ? 3PQ2 ? OA2 ? ( AB2 ? ) ? .??????????????18 分 3 3

Q

A

M


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