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一道全国高中数学联赛预赛试题的解法探究


l 1 6  

数 学通 讯 … ~2 0 1 5年 第 1 、 2期 ( 上半月)  

?课 外 园地 ?  



道 全 国 高 中 数 学联 赛 预 赛 试 题 的解 法 探 究 
陈新伟  
( 山东 省 宁 阳第 一 中学 .2 7 1 4 0 0 )  

/>
题目

( 2 0 1 4 年全 国高 中数学联赛 山东赛 区预 



t 在[ 一l , 1 ] 上 有解 , 即 函数 Y一 

的图象 

赛第 2 题) 已知函数 (   ) 一s i n  + J — l +c — o s  ̄ x ( x∈  
R ) , 则函数 (   ) 的取值范围为 
1 .解 法 探 究 

与 直线  一  一t 在 区问 [ 一l , 1 ] 有交点 ,   即为直 
线 Y= T n . 一t 在 Y轴上 的截 距.  


42 一t  可 化 为 



、  

设s i n   —t . 一1 ≤ t ≤ 1 , 则 原 函数 可 化 为 

t : +. ) , :一 2 , t ∈[ 一1 . 1 ] 。  
其 图象 是 以原 点 为 圆 心 、  


g ( f ) 一r +~  二了 , 一1 ≤t ≤l , 原题 转化 为求解 

\ A  一  
f 、 、  


、   ≤  
一  


函数 g ( f ) 在[ 一1 , 1 ]上 的值域 问题. 以下将 从不 同 
角度给 出本题 六 种解法 .  
解法 l  ( 导数 应 用 ) g P ( £ )一 
√ 2一 t  

半 径 为√ 2的一 段 弧 . , 如 
图l , 采 用 数形结 合易得 0   ≤  ≤ 2 , 故 函数 厂 (  )的 

\  、   1( )   \ 1  
,  
。  

\,  
、  

、 

、 
、  




, 因 

取 值 范 围为[ O , 2 ] .  
解法 5 ( 双元 代 换 )  
图 1  

为 ~l ≤t ≤l 。 1 ≤  ̄ / 2一 t : ≤2 , 故 0≤ J2一t  
-- 一

t ≤1 , 则g   ( £ ) ≥0 , 函数 g ( £ )一 t + ̄ / 2 一t 。 在  1 . 1 ]上 单调递 增 , g ( 一1 )一 0≤ g ( £ ) ≤g ( 1 )  
2 , 故 函数 . 厂 ( - r )的取值 范 围为[ O , 2 ] .   解法2 ( 分 段探 究 ) 当一I ≤t ≤0 时, g ( £ ) 一 

设t 一7 7 1 ,  ̄ / 2 一t  一  , 一1 ≤ m≤ 1 , , 故  + :  




2 , 原 题 可转化 为 当 m 。 十1 " 1 。一 2 , 一 1≤ 卅 ≤ 1   将图 1 的t 、 Y轴 改 为  、  轴 , 视  为 直 线  一  



时。 求  一  +   的取值 范 围.   十  在  轴 上的 截距可 得 函数  (  )的取 值范 围 

t ÷V / 2 一t !单调递 增 , 故 0≤ g (   )≤ √ 2 ;  

当0 ≤t ≤1 时. 显然g ( £ ) 一t + 42一t ! >0 ,  
则g   ( £ )一 2+2   ̄ / 2一 £ 。≤ 2 +t 。 +(  ̄ / 2 一t ! ) !  
一4 , 故 0< g ( t ) ≤ 2 .  

为[ O , 2 ] .  
解法 6 ( 向 量 解 法 )设 a 一 ( 1 , 1 ) , b一 (   ,  
) , 一 l≤ t ≤ l -  

综 上可得 0≤ g ( z )≤ 2 , 所 以 函数 , (  )的取 

因为 J   b   I 一4 2 t 。 +(  2 一t   )  一√ 2 , 一l ≤ 
t ≤ 1 , 则 b的起 点 在 坐 标 原 点 , 终 点 在 以 原 点 为 圆  心、 半 径 为  的 一 段 弧 上 , 并 且 Z AO B一   ( 如图  
厶 

值范 围为[ o , 2 ] .  
解法 3  ( 重要 不等 式 ) 由于 一 1 ≤t ≤1 . 1 ≤ 

 ̄ / 2 一f !≤ 2 , 鼹然 g ( £ ) ≥0 , 当且仅 当 t 一一 l时 ,  

g ( f )一 0 ,故 [ g ( f ) ]   i  一 0 , 由 基 本 不 等 式 

1 ) , 知0 ≤<a , b > ≤  , 故0 ≤C O S <a , b >≤ 1 .  
厶 

√  
≥ 

厶 

≥   ( 当 且 仅 当 “ 一 b 时 取 等 号 ) 知1  
山 

又 1   a   I 一√ 2 ,l   b   I = = = 2 , 则 a? b— l   a     l l   b   l   C O S <  a , b > 一t - 1 -42 一t   , 因0 ≤} a{ i   b   I   C O S <a . b> 

, 即£ +  『 二 = 7≤2 , 当1 x i  ̄ t — l  


厶 

≤ 2 . 故 0 ≤ g ( f ) ≤2 , 所 以函数  (  ) 的 取值范 围 

时 取等号 , 则E g ( t ) ]   一2 .   因为 函数 g ( £ ) 在 区 间[ 一1 , 1 ]上连续 , 故0 ≤  g ( f ) ≤2 . 所 以函数 f (  )的取 值范 围为 [ O , 2 ] .  
解法 4 ( 整体 代换 )设 t + J 2一t 。一 m, 则 
、 

为[ O , 2 ] .  
2 .变 式 探 究 

细研 此题 , 易得其 数学 本质是 ! + 。一 r 。 ( r  

为 常数 ) . 求f ( x,  )一 z+  的 值域 问题. 题 目以 
三 角 函数为 背 景 , 对 z,   的 范 围作 了 限定 . 由此 ,   我 们可 得预 赛试题 的诸 多变式 .  

2一 t  一 , , 】 一£ , 则原 题转 化 为方程  ̄ / 2 一t 。= = =  

?

课 外园地 ?  

数 学通 讯 一… -2 0 1 5年 第 1 、 2期 ( 上 半 月)  

l1 7  

2 . 1平 方 之 和 为 “ 定”  

变 式 l  

已 知 函 数  (  ) 一 C O S  

+ 

+ 4 s i n   0 , 0 ∈E o , 号 ] , 即 3 , = = : 2  s i n ( 口 +   ) , 0 ∈  

、 / ,  F 
为 

(  ∈ R ) , 则 函数 厂 (   )的取 值 范 围  
.  

E o , 号 ] 且t a n  一2 , 可 知 [ 厂 (   ) ] 一 x = 2  
2 . 2平 方 之 差 为 “ 定”  

注  解 法 、 答案 同本题 .  

变式 5   已知 函数 厂 (  ) 一  一、   数 (  )的最 大值 为
. 
— — — —

, 则 函 

变式 2   已知 函数 厂 (  )一 、 / /   +2  + 5一    ̄ /   。 +2  + 2 (  ∈R ) , 则 函数 / ( z )的取 值 范 围 
为  .  

提 示  令 U—   ,  


’ ,  
, 

 ̄ /   。 一 1≥ 0 , 则  一  


、 

提 示 

, ( z )   一 

l , 这样 , 点( “ ,   ) 在 
、 、  


 ̄ / (  +1 ) : +2 。  

一 

  ‘

” 

双 曲线 乱 。 一 :一 1的上  半 部 分 上 ,如 图 3 ;而  (  )一  一 , 从 而直 线 
1  

/, ,  
、、 /1  
、  

、 / / (  +1 ) 。 +1 。 ,  (  )可 
视 为 动 点 P( x , O )到 点 


z  

1  

( )  

P  j  

A( 一1 , 2 )与点 B( 一1 , 1 )   的距 离 之 差 的 范 围 问题 ,   如 图 2 ,因 为 I  P A  l 一   1   P B   l ≤l   A B   l ( 当且 仅 当 P、 A、 B三点共 线 时取 
图 2  

一“ 一 过 点 ( 1 , O ) 时,  
2 . 3异 化 变 式 

图 3  

Y有 最 大值 1 . 即原 函数 的最 大值 为 1 .  
以上 是 函数 问题 , 这 类 问 题 只要 抓住 数 学 本  质, 还可 以将 问题 异 化 , 求 解 二 元 变 量 范 围 问 题.   由此 , 我 们 还 可 以 命 制 类 似 下 面 一 道 二 元 最 值 
试 题.  

等号 ) , 当  趋 向于 。 。时 , - 厂 ( z )趋 向 于 0 , 且厂 (  )  
> 0 , 所 以 0< ’ (  )≤ 1 .  

另外, 本 题也 可 以令 a一 ( z+ 1 , 2 ) , b一 (  +  1 , 1 ) , L 厂 (  ) 一I   a   l —I   b   I , 显然 厂 (  ) >0 , 又因 I   a   l  


变式 6   已知实 数  ,  满 足 z 。 +  一 2 , 则 
的取值 范 围为 
提 示  设 — 
1_   _ T -O 

I   b   I ≤ l   a—b   I 一1 , 故 0< 厂 (  )≤ 1 .  

变式 3   已知 函数 (  )一√ 3  十 、 / / 1 一 。 , 则 
函数 厂 (  )的取 值 范 围为  .  
=忌 , 则 

提 示  注 意到 一 l ≤  ≤ 1 ,  。 + ̄ / 1 一z  = = =  
1 ( 局 部平 方之 和 为 O ) , 可令  = = = C O S  , 0∈ E o , ' r ] ,   从 而原 函数 可化 为 Y— s i n  +, / g C O S   0— 2 s i n ( 0 + 

3 x y— k ( x十 Y+ 3 ) = k ( x+ ) +3 k   ① 
又z 。 +Y 。一 ( z+  ) 。 一2 x y一 2   ② 

将 ① 代人 ② 得 :  
3 (  十 3 , ) 。一 2 是 (   +  )一 6 k一 6: 0 .  

要) ,  ∈[ 0 , 丌 ] 的值域问题 , 易得 函数 厂 (  ) 的取值 
。 

令  +  : = = t , t ∈[ 一2 , 2 3 , 即方 程 3   。 一2 k t ~  6  一 6= 0在 t ∈[ 一2 , 2 ]上有解  ③ 

范 围 为[ 一  , 2 ] .   变式 4   已知 函 数 ,( z )一  ̄ / z— l+ 2 ?    ̄ /   , 则 函数 厂 (  )的最大 值 为  .  

解 得 七 一  等 , 一 2 ≤ z ≤ 2 , 若 ③ 成 立 , 只  

提 示  注 意到 ( 、  二_ r ) 。 +( ~  =  ) 。 =4 ,  
可 利 用柯 西 不 等 式 (   十b d)  ≤ ( Ⅱ 。 +b   ) (   + 

需 矗 ∈ {   ( £ ) l 厂 ( £ ) =   ; 害 , 一 2 ≤ f ≤ 2 ) , 易 求  
得 3  
—  

一 9≤ 

≤ 3 ( 可用导数法) ,故 

d : ) ( a d一  时取 等号 ) 快 速求 解 , 即(  ̄ / z一 1 十2  

 ̄ / {  
::=

)  ≤ ( 1 。 +2 。 ) [ (  
J 

) 。 +( 、 / {  

) 。 ]  

■ T  

塑 一 的范围为[ , 3   一9 , 3 ] .  
1- o 

注  本题 采 用 整体 换元 , 利用 函数与 方 程 的 

2 0 , 当且仅当  = = = 喜 时取等号 , 即E f ( x ) ]   一  
.  

思想 , 化为 方程 有解 的 问题.此题 解 法 很 多 , 有 兴 

2  

趣 的读 者 可 以用 多种 法方 法证 明.  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 4— 0 9 —1 8 )  

另外 , 也 可 以令 2 c o s   0: = =、 / /  — l , 2 s i n   0: = =  
、 

=  

,  

∈[ 0 ,  ] , 则原 函数 可化 为 y一 2 c o s   0  


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