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集合与逻辑



A 单元 集合与常用逻辑用语


)

A1 集合及其运算 1.[2014· 北京卷] 若集合 A={0,1,2,4},B={1,2,3},则 A∩B=( A.{0,1,2,3,4} B.{0,4} C.{1,2} D.{3} 1.C [解析] A∩B={0,1,2,4}∩{1,2,3}={1,2}. 1.[201

4· 福建卷] 若集合 P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则 P∩Q 等于(

)

A.{x|3≤x<4} B.{x|3<x<4} C.{x|2≤x<3} D.{x|2≤x≤3} 1..A [解析] 把集合 P={x|2≤x<4}与 Q={x|x≥3}在数轴上表示出来,得 P∩Q= {x|3≤x<4},故选 A. 16. ,[2014· 福建卷] 已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b =2;③c≠0 有且只有一个正确,则 100a+10b+c 等于________. 16.201 [解析] (i)若①正确,则②③不正确,由③不正确得 c=0,由①正确得 a=1, 所以 b=2,与②不正确矛盾,故①不正确. (ii)若②正确,则①③不正确,由①不正确得 a=2,与②正确矛盾,故②不正确. (iii)若③正确, 则①②不正确, 由①不正确得 a=2, 由②不正确及③正确得 b=0, c=1, 故③正确. 则 100a+10b+c=100×2+10×0+1=201. 1.[2014· 广东卷] 已知集合 M={2,3,4},N={0,2,3,5},则 M∩N=( )

A.{0,2} B.{2,3} C.{3,4} D.{3,5} 1.B [解析] ∵M={2,3,4},N={0,2,3,5},∴M∩N={2,3}. 1.[2014· 湖北卷] 已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 A={1,3,5,6},则 ?UA=( ) A.{1,3,5,6} B.{2,3,7} C.{2,4,7} D.{2,5,7} 1.C [解析] 由 A={1,3,5,6},U={1,2,3,4,5,6,7},得?UA={2,4,7}.故 选 C. 2.[2014· 湖南卷] 已知集合 A={x|x>2},B={x|1<x<3},则 A∩B=( ) A.{x|x>2} B.{x|x>1} C.{x|2<x<3} D.{x|1<x<3} 2.C [解析] 由集合运算可知 A∩B={x|2<x<3}. 11.[2014· 重庆卷] 已知集合 A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则 A∩B =________. 11.{3,5,13} [解析] 由集合交集的定义知,A∩B={3,5,13}.

1. [2014· 江苏卷] 已知集合 A={-2, -1, 3, 4}, B={-1, 2, 3}, 则 A∩B=________. 1.{-1,3} [解析] 由题意可得 A∩B={-1,3}. 2.[2014· 江西卷] 设全集为 R,集合 A={x|x2-9<0},B={x|-1<x≤5},则 A∩(?RB) =( ) A.(-3,0) B.(-3,-1) C.(-3,-1] D.(-3,3) 2.C [解析] ∵A=(-3,3),?RB=(-∞,-1]∪(5,+∞), ∴A∩(?RB)=(-3,-1]. 1. [2014· 辽宁卷] 已知全集 U=R, A={x|x≤0}, B={x|x≥1}, 则集合?U(A∪B)=( ) A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1} 1.D [解析] 由题意可知,A∪B={x|x≤0 或 x≥1},所以?U(A∪B)=x|0<x<1}. 1.[2014· 全国卷] 设集合 M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则 M∩N 中元素的个数为( )

A.2 B.3 C.5 D.7 1.B [解析] 根据题意知 M∩N={1,2,4,6,8}∩{1,2,3,5,6,7}={1,2,6}, 所以 M∩N 中元素的个数是 3. 1.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知集合 A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则 A∩B =( ) A.? B.{2} C.{0} D.{-2} 1.B [解析] 因为 B={-1,2},所以 A∩B={2}. 1.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 已知集合 M={x|-1<x<3},N={-2<x<1},则 M∩N= ( )

A.(-2,1) B.(-1,1) C.(1,3) D.(-2,3) 1.B [解析] 利用数轴可知 M∩N={x|-1<x<1}. 2.[2014· 山东卷] 设集合 A={x|x2-2x<0},B={x|1≤x≤4},则 A∩B=( ) A.(0,2] B.(1,2) C.[1,2) D.(1,4) 2.C [解析] 因为集合 A={x|0<x<2},B={x|1≤x≤4},所以 A∩B={x|1≤x<2}, 故选 C. 1.[2014· 陕西卷] 设集合 M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则 M∩N=( )

A.[0,1] B.(0,1) C.(0,1] D.[0,1) 1.D [解析] 由 M={x|x≥0},N={x|x2<1}={x|-1<x<1},得 M∩N=[0,1). 1. [2014· 四川卷] 已知集合 A={x|(x+1)(x-2)≤0}, 集合 B 为整数集, 则 A∩B=(

)

A.{-1,0} B.{0,1} C.{-2,-1,0,1} D.{-1,0,1,2} 1.D [解析] 由题意可知,集合 A={x|(x+1)(x-2)≤0}={x|-1≤x≤2},所以 A∩B ={-1,0,1,2}.故选 D. 20. 、 、 [2014· 天津卷] 已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数, 设集合 M={0, 1, 2, ?, - q-1},集合 A={x|x=x1+x2q+?+xnqn 1,xi∈M,i=1,2,?,n}. (1)当 q=2,n=3 时,用列举法表示集合 A. - - (2)设 s,t∈A,s=a1+a2q+?+anqn 1,t=b1+b2q+?+bnqn 1,其中 ai,bi∈M,i=1, 2,?,n.证明:若 an<bn,则 s<t. 20.解:(1)当 q=2,n=3 时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1, 2,3},可得 A={0,1,2,3,4,5,6,7}. - - (2)证明:由 s,t∈A,s=a1+a2q+?+anqn 1,t=b1+b2q+?+bnqn 1,ai,bi∈M,i =1,2,?,n 及 an<bn,可得 - - s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+?+(an-1-bn-1)qn 2+(an-bn)qn 1 - ≤(q-1)+(q-1)q+?+(q-1)q n-2-qn 1 - (q-1)(1-qn 1) n-1 = -q 1-q =-1<0, 所以 s<t. 1.[2014· 浙江卷] 设集合 S={x|x≥2},T={x|x≤5},则 S∩T=( )

A.(-∞,5] B.[2,+∞) C.(2,5) D.[2,5] 1.D [解析] 依题意,易得 S∩T=[2,5] ,故选 D. A2 命题及其关系、充分条件、必要条件 5.[2014· 北京卷] 设 a,b 是实数,则“a>b”是“a2>b2”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.D [解析] 当 ab<0 时,由 a>b 不一定推出 a2>b2,反之也不成立. 7. 、[2014· 广东卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,则“a≤b” 是“sin A≤sin B”的( ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 7. A [解析] 设 R 是三角形外切圆的半径, R>0, 由正弦定理, 得 a=2Rsin A, b=2Rsin B.故选 A. ∵sin≤A sin B,∴2Rsin A≤2Rsin B,∴a≤b.同理也可以由 a≤b 推出 sin A≤sin B. 6.[2014· 江西卷] 下列叙述中正确的是( ) A.若 a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0” B.若 a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c” C.命题“对任意 x∈R,有 x2≥0”的否定是“存在 x∈R,有 x2≥0” D.l 是一条直线,α,β 是两个不同的平面,若 l⊥α,l⊥β ,则 α∥β

6.D [解析] 对于选项 A,a>0,且 b2-4ac≤0 时,才可得到 ax2+bx+c≥0 成立,所 以 A 错. 对于选项 B,a>c,且 b≠0 时,才可得到 ab2>cb2 成立,所以 B 错. 对于选项 C,命题的否定为“存在 x∈R,有 x2<0” , 所以 C 错. 对于选项 D,垂直于同一条直线的两个平面相互平行,所以 D 正确. 5. 、[2014· 辽宁卷] 设 a,b,c 是非零向量,已知命题 p:若 a·b=0,b· c=0,则=0; 命题 q:若 a∥b,b∥c,则 a∥c.则下列命题中真命题是( ) A.p∨q B.p∧q C.(綈 p)∧(綈 q) D.p∨(綈 q) 5. A [解析] 由向量数量积的几何意义可知, 命题 p 为假命题; 命题 q 中, 当 b≠0 时, a,c 一定共线,故命题 q 是真命题.故 p∨q 为真命题. 3.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 函数 f(x)在 x=x0 处导数存在.若 p:f′(x0)=0,q:x=x0 是 f(x)的极值点,则( ) A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 3.C [解析] 函数在 x=x0 处有导数且导数为 0,x=x0 未必是函数的极值点,还要看 函数在这一点左右两边的导数的符号,若符号一致,则不是极值点;反之,若 x=x0 为函数 的极值点,则函数在 x=x0 处的导数一定为 0 ,所以 p 是 q 的必要不充分条件. 4.[2014· 山东卷] 用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x2+ax+b=0 至少有一 个实根”时,要做的假设是( ) 2 A.方程 x +ax+b=0 没有实根 B.方程 x2+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x2+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x2+ax+b=0 恰好有两个实根 4.A [解析] 方程“x2+ax+b=0 至少有一个实根”等价于“方程 x2+ax+b=0 有一 个实根或两个实根”,所以该命题的否定是“方程 x2+ax+b=0 没有实根”.故选 A. an+an+1 8.[2014· 陕西卷] 原命题为“若 <an,n∈N+,则{an}为递减数列”,关于其逆 2 命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( A.真,真,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假 8.A )

an+an+1 [解析] 由 <an,得 an+1<an,所以数列{an}为递减数列,故原命题是真命 2

题,其逆否命题为真命题.易知原命题的逆命题为真命题,所以其否命题也为真命题. 15. 、 、[2014· 四川卷] 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函 数 φ(x)组成的集合:对于函数 φ(x),存在一个正数 M,使得函数φ (x)的值域包含于区间[- M,M].例如,当φ 1(x)=x3,φ2(x)=sin x 时,φ 1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D, 则“f(x)∈A”的充要条件是“?b∈R, ?a∈D, f(a)=b”; ②若函数 f(x)∈B,则 f(x)有最大值和最小值; ③若函数 f(x),g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x)∈/B; x ④若函数 f(x)=aln(x+2)+ 2 (x>-2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B. x +1 其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号) 15.①③④ [解析] 若 f(x)∈A,则函数 f(x)的值域为 R,于是,对任意的 b∈R,一定

存在 a∈D,使得 f(a)=b,故①正确. 取函数 f(x)=x(-1<x<1),其值域为(-1,1),于是,存在 M=1,使得函数 f(x)的值 域包含于[-M,M]=[-1,1],但此时函数 f(x)没有最大值和最小值,故②错误. 当 f(x)∈A 时,由①可知,对任意的 b∈R,存在 a∈D,使得 f(a)=b,所以,当 g(x)∈B 时,对于函数 f(x)+g(x),如果存在一个正数 M,使得 f(x)+g(x)的值域包含于[-M,M],那 么对于该区间外的某一个 b0∈R,一定存在一个 a0∈D,使得 f(x)+f(a0)=b0-g(a0),即 f(a0) +g(a0)=b0?[-M,M],故③正确. x 对于 f(x)=aln(x+2)+ 2 (x>-2),当 a>0 或 a<0 时,函数 f(x)都没有最大值.要使 x +1 1 1 x - , ?,所以存在 得函数 f(x)有最大值,只有 a=0,此时 f(x)= 2 (x>-2).易知 f(x)∈? ? 2 2? x +1 1 正数 M= ,使得 f(x)∈[-M,M],故④正确 2 2. [2014· 浙江卷] 设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC, BD, 则“四边形 ABCD 为菱形” 是“AC⊥BD”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2. A [解析] 若四边形 ABCD 为菱形, 则 AC⊥BD; 反之, 若 AC⊥BD, 则四边形 ABCD 不一定为平行四边形.故“四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.故选 A. 6.[2014· 重庆卷] 已知命题 p:对任意 x∈R,总有|x|≥0,q:x=1 是方程 x+2=0 的 根.则下列命题为真命题的是( ) A.p∧綈 q B.綈 p∧q C.綈 p∧綈 q D.p∧q 6.A [解析] 由题意知 p 为真命题,q 为假命题,则綈 q 为真命题,所以 p∧綈 q 为 真命题. A3 基本逻辑联结词及量词 2.[2014· 安徽卷] 命题“?x∈R,|x|+x2≥0”的否 定是( .

)

A.?x∈R,|x|+x2<0 B.?x∈R,|x|+x2≤0 C.?x0∈R,|x0|+x2 0<0 D.?x0∈R,|x0|+x2 0≥0 2.C [解析] 易知该命题的否定为“?x0∈R,|x0|+x2 . 0<0” 3 5.[2014· 福建卷] 命题“?x∈[0,+∞),x +x≥0”的否定是( ) A.?x∈(-∞,0),x3+x<0 B.?x∈(-∞,0),x3+x≥0 C.?x0∈[0,+∞),x3 0+x0<0 D.?x0∈[0,+∞),x3 0+x0≥0 5.C [解析] “?x∈[0,+∞),x3+x≥0”是含有全称量词的命题,其否定是“?x0 3 ∈[0,+∞),x0 +x0<0” ,故选 C. 3.[2014· 湖北卷] 命题“?x∈R,x2≠x”的否定是( ) A.?x∈/R,x2≠x B.?x∈R,x2=x C.?x0∈/R,x2 D.?x0∈R,x2 0≠x0 0=x0 3.D [解析] 特称命题的否定方法是先改变量词,然后否定结论,故命题“?x∈R,

x2≠x”的否定是“?x0∈R,x2 0=x0”. 故选 D. 1.[2014· 湖南卷] 设命题 p:?x∈R,x2+1>0,则綈 p 为(

)

2 A.?x0∈R,x2 0+1>0 B.?x0∈R,x0+1≤0 2 2 C.?x0∈R,x0+1<0 D.?x∈R,x +1≤0 1.B [解析] 由全称命题的否定形式可得綈 p:?x0∈R,x2 0+1≤0. 3.[2014· 天津卷] 已知命题 p:?x>0,总有(x+1)ex>1,则非 p 为( ) A.?x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1 B. ?x0>0,使得(x0+1)ex0≤1 C. ?x>0,总有(x+1)ex≤1 D. ?x≤0,总有(x+1)ex≤1 3.B [解析] 含量词的命题的否定,先改变量词的形式,再对命题的结论进行否定.

A4 单元综合 4.[2014· 湖南雅礼中学月考] 设全集 U={a,b,c,d,e},集合 M={a,d},N={a, c,e},则 N∩(?UM)=( ) A.{c,e} B.{a,c} C.{d,e} D.{a,e} 4.A [解析] 因为?UM={b,c,e},所以 N∩(?UM)={a,c,e}∩{b,c,e}={c,e}. 7.[2014· 宁德质检] 已知集合 A={0,1},B={-1,0,a+2},若 A?B,则 a 的值为 ( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 7.B [解析] ∵A?B,∴a+2=1,解得 a=-1. 8. [2014· 蚌埠质检] 已知全集 U=R, 集合 A={x|x2-1≥0}, B={x|x-1≤0}, 则(?UA)∩B =( ) A.{x|x≥1} B.{x|-1<x<1} C.{x|-1<x≤1} 8.B [解析] ∵集合 A={x|x2-1≥0}={x|x≥1 或 x≤-1}, ∴?UA={x|-1<x<1}.又集合 B={x|x-1≤0}={x|x≤1},∴(?UA)∩B={x|-1<x<1}. 4.[2014· 湖南雅礼中学月考] 设函数 f(x)=log2x,则“a>b”是“f(a)>f(b)”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. B [解析] 因为 f(x)=log2x 在区间(0, +∞)上是增函数, 所以当 a>b>0 时, f(a)>f(b); 反之,当 f(a)>f(b)时,a>b.故选 B. 1 7.[2014· 济南模拟] 已知命题 p:?a∈R,且 a>0,a+ ≥2,命题 q:?x0∈R,sin x0 a +cos x0= 3,则下列判断正确的是( ) A.p 是假命题 B.q 是真命题 C.p∧(綈 q)是真命题 D.(綈 p)∧q 是真命题 7.C [解析] 依题意可知,命题 p 为真,命题 q 为假,故选 C. 2 12.[2014· 长沙联考] 若命题“?x0∈R,x0 +mx0+2m-3<0”为假命题,则实数 m 的 取值范围是__________. 12.2≤m≤6 [解析] 由题意可知,命题“?x∈R,x2+mx+2m-3≥0”为真命题, 故 Δ=m2-4(2m-3)=m2-8m+12≤0,解得 2≤m≤6.


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