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挑战杯要用原理


中心切片定理定义:
密度函数 ( f x, y) 在某一方向上的投影函数 g θ (R) 的一维傅里叶变换函数 G θ (p) , 是密度函数 f(x,y)的二维傅里叶变换 F(p,θ)在 p,θ 平面上沿同一方向过原点直线 上的值。

装有 MATLAB 程序的 PC 机,滤波反投影法图像重建演示软件,投影数据。 CT 图像重建问题实际上就是如何从

投影数据中解算出成像平面上各像素点的衰减系 数。图像重建的算法有多种,如反投影法、傅立叶变换法、迭代法、滤波反投影法等。在介 绍算法前,有必要先介绍从投影重建图像的重要依据,即中心切片定理。

滤波反投影法重建 CT 图像实验指导书

一、 实验目的 1. 了解傅立叶变换法、直接反投影法重建 CT 图像的原理; 2. 掌握滤波反投影法重 建 CT 图像的原理和基本方法。 二、 实验器材 装有 MATLAB 程序的 PC 机,滤波反投影法图像重建演示软件,投影数据。 三、 实验原理 CT 图像重建问题实际上就是如何从投影数据中解算出成像平面上各像素点的衰减系 数。图像重建的算法有多种,如反投影法、傅立叶变换法、迭代法、滤波反投影法等。在介 绍算法前,有必要先介绍从投影重建图像的重要依据,即中心切片定理。 1. 中心切片定理 密度函数(,)fxy 在某一方向上的投影函数()gR 度函数(,)fxy 的二维傅立叶变换函数(,)F 的值。 (,) ()g

图 1 中心切片定理

2.傅立叶变换法 如果在不同角度下取得足够多的投影函数数据,并作傅立叶变换,根据中心切片定理, 变换后的数据将充满整个(,)uv 平面。一旦频域函数(,)Fuv 或(,)F 其做傅立叶反变换,就能得到原始的密度函数(,)fxy,即所要重建的图像。 上述图像重建算法称为傅立叶变换法, 图 2 给出了傅立叶变换重建方法的流程图。 图中 指出,对于每次测得的投影数据先作一维傅立叶变换。根据中心切片定理,可将此变换结果 看成二维频率域中同样角度下过原点的直线上的值。 在不同投影角下所得的一维变换函数可 在频域中构成完整的二维傅立叶变换函数, 将此二维变换函数做一次逆变换, 就得到了所要 求的空间域中的密度函数。 为了在二维逆变换中采用快速傅立叶变换算法, 通常在逆变换前 要将极坐标形式的频域函数变换成直角坐标形式的数据。

傅立叶变换重建图像的过程

滤波反投影法 直接反投影法重建的图像是模糊的。 虽然这种模糊的图像可以经过修正后再现原始的密 度函数,但修正的过程是很费时的。这就是先反投影,后修正重建方法存在的问题。滤波反 投影法采用先修正、后反投影的做法,同样可得到原始的密度函数。其基本方法是:在某一 投影角下取得了投影函数(一维函数)后,对此一维投影函数作滤波处理,得到一个经过修 正的投影函数;然后再将此修正后的投影函数作反投影运算,得到所需的密度函数。这一方 法中要解决的主要问题是如何修正投影函数才能使之在反投影后能重建原密度函数。图 6 给出了滤波反投影法重建图像的流程图。

图 6 滤波反投影法 滤波反投影法重建图像有以下几个步骤: (1)对某一角度下的投影函数作一维傅立叶变换; (2)对(1)的变换结果乘上一维权重因子; (3)对(2)的加权结果作一维逆傅立叶变换; (4)用(3)中得出的修正过的投影函数做直接反投影; (5)改变投影角度,重复(1)~(4)的过程,直到完成全部 180 度的反投影。 滤波函数 滤波函数的选取是滤波反投影法的关键问题。 在实际系统中选择滤波函数时还要考虑许 多其他因素,包括系统的带宽、信噪比与分辨率等。下面介绍两中不同类型的滤波函数。 (1)R-L 滤波函数 R-L 滤波函数的基本出发点是认为实际的二维图像函数总有一个频率上限, 所以频域中


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