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高中数学(人教A版选修2-2)课时作业 1.7.1 定积分在几何中的应用


课时提升作业(十二)
定积分在几何中的应用

一、选择题(每小题 3 分,共 12 分) 1.(2014·广州高二检测)用 S 表示图中阴影部分的面积,则 S 的值是( )

A.

f(x)dx

B.

f(x)dx

C.

f(x)dx+

f(x)dx

D.

f(x)dx-

f(x)dx

【解析】选 D.因为在区间[a,b]上 f(x)<0,

所以在区间[a,b]上对应图形的面积为-

f(x)dx,

所以阴影部分的面积为:S=

f(x)dx-

f(x)dx.

2.由 y= ,x=1,x=2,y=0 所围成的平面图形的面积为( A.ln2 C.1+ln2 B.ln2-1 D.2ln2

)

【解析】 选 A.画出曲线 y= (x>0)及直线 x=1, x=2, 则所求面积 S 为如图所示阴影部分面积.

y=0,

所以 S=

dx=lnx

=ln2-ln1=ln2. 3.已知 a=(sinx,cosx),b=(cosx,sinx),f(x)=a·b,则直线 x=0,x= 以及曲线 y=f(x)围成平面图形的面积为( A. B. C. ) D. ,y=0

【解题指南】 求出函数解析式, 确定积分区间, 利用定积分的几何意义计算面积. 【解析】选 C.由 a=(sinx,cosx),b=(cosx,sinx), 得 f(x)=a·b=2sinxcosx=sin2x, 当 x∈ 当 x∈ 时,sin2x≥0; 时,sin2x<0. ,y=0 以及曲线 y=f(x)围成平面图形的面

由定积分的几何意义,直线 x=0,x= 积为

sin2xdx?

sin2xdx
3?

=- cos2x| 02 + cos2x| ?4
2

=1+ = . 【变式训练】已知 a=(cosx,sinx),b=(cosx,-sinx),f(x)=a·b,则直线 x=0, x= ,y=0 以及曲线 y=f(x)围成平面图形的面积为( A. B. C. ) D.

【解析】选 C.由 a=(cosx,sinx), b=(cosx,-sinx), 得 f(x)=a·b=cos2x-sin2x=cos2x, 当 x∈ 当 x∈ 时,cos2x≥0; 时,cos2x<0.

由定积分的几何意义,直线 x=0,x= ,y=0 以及曲线 y=f(x)围成平面图形的面 积为

cos2xdx?

cos2xdx
?

3 = sin2x| 04 - sin2x| ? 4

= -

+ =

.

4.(2014·大连高二检测)若两曲线 y=x2 与 y=cx3(c>0)围成图形的面积是 ,则 c 等于( A. ) B. C.1 D.

【解析】选 B.由

得交点(0,0),



则 S=

(x2-cx3)dx

=

= · - · = ,c= .

【误区警示】解答此题时往往误认为积分上限是 1,积分区间错误的确定为[0, 1].确定积分区间必须通过解曲线交点确定. 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 5.直线 x= ,x= ,y=0 及曲线 y=cosx 所围成图形的面积为________.

【解析】由题意画草图:

由图形知面积为

S=

cosxdx=-

cosxdx

=-sinx =-(-1-1)=2. 答案:2 6.(2014·青岛高二检测)由曲线 y2=2x,y=x-4 所围图形的面积是________. 【解析】如图,为了确定图形的范围,

先求出这两条曲线交点的坐标, 解方程组 得交点坐标为(2,-2),(8,4).

因此所求图形的面积 S= 取 F(y)= y2+4y- , 则 F′(y)=y+4- , 从而 S=F(4)-F(-2)=18. 答案:18

dy.

【一题多解】联立方程组, 解得:(2,-2),(8,4),

S=2 答案:18

dx+

(

-x+4)dx=18.

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.(2013·沈阳高二检测)求曲线 y=x2 和直线 x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成 的图形(如图阴影部分)的面积的最小值.

【解题指南】将阴影部分的面积表示为定积分,建立面积的目标函数求最小值. 【解析】由定积分与微积分基本定理,得 S=S1+S2

= =

(t2-x2)dx+ +

(x2-t2)dx

=t3- t3+ -t2- t3+t3 = t3-t2+ ,t∈(0,1),

所以 S′=4t2-2t,所以 t= 或 t=0(舍去). 当 t 变化时,S′,S 变化情况如下表: t S′ S ↘ 0 极小值 + ↗

所以当 t= 时,S 最小,且 Smin= . 【拓展延伸】复杂图形面积的两个求解策略 (1)由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区间内位于上方 和下方的函数有所变化,通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标,可以将积分 区间进行细化分段,然后根据图象对各段分别求面积进而求和. (2)若积分变量选取 x 运算较为复杂,可以选 y 为积分变量,同时更改积分的上、 下限. 8.(2014·潍坊高二检测)如图,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围图形为面 积相等的两部分,求 k 的值.

【解题指南】所围图形的面积可用定积分表示,从而确定出要求的参数. 【解析】抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标 x1=0,x2=1,所以,抛物线与 x 轴

所围图形的面积

S= 由

(x-x2)dx=

= - = .

可得抛物线 y=x-x2 与 y=kx 两交点的横坐标为 x′1=0,x′2=1-k,

所以 = =

(x-x2-kx)dx = (1-k)3.

又 S= ,所以(1-k)3= . 于是 k=1=1.所以 k 的值为 1.

一、选择题(每小题 4 分,共 12 分) 1.由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积为( A. B. C. ) D.

【解析】选 A.由

得交点为(0,0),(1,1).

所以 S= = = .

(x2-x3)dx

2.直线 x=-1,x=1,y=0 与偶函数 y=f(x)的图象围成平面图形的面积表示为



f(x)dx;②

f(|x|)dx;③ ) C.2

|f(x)|dx;④

2|f(x)|dx.

其中,正确表示的个数为( A.0 B.1

D.3

【解析】选 C.由于偶函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,当 f(x)≥0 时,平面图

形的面积为

f(x)dx

=

2f(x)dx;当 f(x)<0 时,平面图形的面积为

-

f(x)dx=-

2f(x)dx.故③④正确. } ,那

3.用 max{a,b}表示 a,b 两个数中的最大数,设 f(x)=max{x2,

么由函数 y=f(x)的图象、x 轴、直线 x= 和直线 x=2 所围成的封闭图形的面积是 ( A. B. C. D. )

【解析】选 A.由题设知:

f(x)=

所以 S=

dx+

x2dx

= = .

+ x3

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 4.(2014·北京高二检测)如图,已知点 A ,点 P(x0,y0)(x0>0)在曲线 y=x2

上,若阴影部分面积与△OAP 面积相等,则 x0=________.

【解析】S 阴=

x2dx= .

- 〓03=

,S△OAP= 〓 〓x0= x0,由题意知

= x0,

因为 x0>0,所以 x0= 答案:

5.设曲线 y=2cos2x 与 x 轴、 y 轴、 直线 x=

围成的面积为 b, 若 g(x)=2lnx-2bx2-kx

在[1,+∞)上单调递减,则实数 k 的取值范围是________.

【解析】由题意 b= =sin2x =sin = ,

2cos2xdx

所以 g(x)=2lnx-x2-kx, 所以 g′(x)= -2x-k, 因为 g(x)=2lnx-2bx2-kx 在[1,+≦)上单调递减, 所以 g′(x)= -2x-k<0 在[1,+≦)上恒成立. 即 k> -2x 在[1,+≦)上恒成立. 因为 -2x 在[1,+≦)上递减, 所以 -2x≤0,所以 k>0. 由此知实数 k 的取值范围是(0,+≦). 答案:(0,+≦) 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 6.(2014·济宁高二检测)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它 与直线 y=0 在原点处相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为 ,求 a 的值.

【解析】由图知方程 f(x)=0 有三个实根,其中有两个相等的实根 x1=x2=0,于是 b=0, 所以 f(x)=x2(x+a),

有 =-

=

[0-(x3+ax2)]dx = ,

所以 a=〒3. 又-a>0? a<0,得 a=-3. 7.如图,一桥拱的形状为抛物线,已知该抛物线形桥拱的高为常数 h,宽为常数 b.求抛物线桥拱的面积.

【解题指南】建立平面直角坐标系确定抛物线方程,求由曲线围成的平面图形面 积. 【解析】以抛物线的顶点为原点,如图建立平面直角坐标系.

设抛物线方程为 y=-ax2(a>0), 将抛物线上一点 解得 a= ,所以抛物线方程为 y=x2.

代入方程, 则有-h=-a



则有 S=2
4h 3 b x )| 02 =2 2 3b

dx

=2(hx-

= bh.

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