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2.3(2)含绝对值的不等式的解法


含绝对值的不等式的求解

定义

?a,当 a ? 0时, ? a ? ?0,当 a ? 0时, ?? a,当 a ? 0时. ?

我们知道,实数与数轴上的点是一一对应的。 -a 0 a
x

几何意义是数轴上a对应的点到原点的距离。

如果 a 是正数,那么 ︱x︱<a ︱x︱>a -a<x<a x<-a或x>a

几何意义:
-a
想一想

0

a

x

a=0或a<0时上述结果还成立吗? 为什么?

结 论:
x ? a (a ? 0)的解集为_________; x ? a (a ? 0)的解集为_________; x ? a (a ? 0)的解集为_________; x ? a (a ? 0)的解集为_________ .

结 论:
? x ? a (a ? 0)的解集为_________;

x ? a (a ? 0)的解集为_________; x ? a (a ? 0)的解集为_________; x ? a (a ? 0)的解集为_________ .

结 论:
? x ? a (a ? 0)的解集为_________; R x ? a (a ? 0)的解集为_________;

x ? a (a ? 0)的解集为_________; x ? a (a ? 0)的解集为_________ .

结 论:
? x ? a (a ? 0)的解集为_________; R x ? a (a ? 0)的解集为_________; ? x ? a (a ? 0)的解集为_________;

x ? a (a ? 0)的解集为_________ .

结 论:
? x ? a (a ? 0)的解集为_________; R x ? a (a ? 0)的解集为_________; ? x ? a (a ? 0)的解集为_________;

{x | x?0} x ? a (a ? 0)的解集为_________ .

ax ? b ? c与 ax ? b ? c(c ? 0) 的解法

ax ? b ? c与 ax ? b ? c(c ? 0) 的解法
[例1]

解下列不等式: 1 (1) x ? 1 ? 2 (2) 8 ? x ? 3 2

ax ? b ? c与 ax ? b ? c(c ? 0) 的解法
[例1]

解下列不等式: 1 (1) x ? 1 ? 2 (2) 8 ? x ? 3 2

去掉绝对 形状 解的含义区别 值符号后 |ax+b|<c ?c<ax+b<c {x|ax+b>?c}∩{x|ax+b<c} ax+b<?c或 {x|ax+b<?c}∪{x|ax+b>c} |ax+b|>c ax+b>c

形如m ? ax ? b ? n型不等式 的解法

? ax ? b ? n ? ? ? ax ? b ? m ?

ax ? b ? cx ? d与 ax ? b ? cx ? d 的解法
方法:可以用整体法的思想把cx+d看作 一个整体,套用题形一的结论.

[例3] 解不等式 x ? 2 x ? x
2

解: 原不等式等价于

x2-2x>x或x2-2x<-x
解得x>3或x<0或0<x<1

∴原不等式的解集为
{x︱x<0或0<x<1或x>3}。

解法2: x ? 2 x ? x
2

(图象法)
y
y ? x 2 ? 2x

y ?x

3 2

-1 0

1 2 3

x

∴原不等式的解集为{x︱x<0或0<x<1或x>3}

ax ? b ? cx ? d与 ax ? b ? cx ? d 的解法
解 不等 : 下列 式 (1) 3x ? 4 ? x ? 1; (2) 3x ? 4 ? 2 x ? 1.
( 3)

x ? 9 ? x ?1

( 3)

x ? 9 ? x ?1

(基本方法)分段讨论
原不等式等价于 ①当x ? 1时 ,
9 ? x ? 1 ? x, 即8 ? 0, 不 成 立 ;

②当 ? x ? 9时,原不等式等价于 1 9 ? x ? x ? 1, 即x ? 5,得5 ? x ? 9; ③当x ? 9时,原不等式等价于 x ? 9 ? x ? 1, 即9 ? 1, 显然成立,得 ? 9; x 综上所述 原不等式的解集为{x︱x>5}

( 3)

x ? 9 ? x ?1

另解:(一)平方法
x ? 9 ? x ?1

? ?x ? 9 ? ? ?x ? 1?
2

2

?x ?5
∴原不等式的解集为{x︱x>5}

( 3)

x ? 9 ? x ?1

另解:(二)(几何意义) ︱x-9︱<︱x-1︱的几何意义:数轴上 x对应的点到9对应的点的距离小于 x对应的点到1对应的点的距离的点集。
1

5

9

x

原不等式的解集为{x︱x>5}

( 3)

x ? 9 ? x ?1

另解:(三)图象法
y y=︱x-1︱ y=︱x-9︱ 0 1 5 9 x

原不等式的解集为{x︱x>5}

高考试题赏析

2004北京高考19题

某段城铁线路上依次有A、B、C三站, AB=5km,BC=3km,在列车运行时刻表上,规 定列车8时整从A站发车,8时07分到达B站并停 车1分钟,8时12分到达C站.在实际运行中,假设 列车从A站正点发车,在B站停留1分钟,并在行 驶时以同一速度v(km/h)匀速行驶,列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝 对值称为列车在该站的运行误差. (I)分别写出列车在B、C两站的运行误差; (II)若要求列车在B,C两站的运行误差之 和不超过2分钟,求v的取值范围.
v

略 解 :( I) 列 车 在 B, C两 站 的 运 行 误 差
(单位:分钟)分别是 |
480 300 ? 11| ? 7| 和 | v v

(II)由于列车在B,C两站的运行误差之和不 超过2分钟,所以 |300 ? 7|?|480 ?11|? 2

……

v

v

综上所述,V的取值范围是[39, 195] 。 4


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