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甘肃省甘谷一中2013届高三上学期第四次检测数学(理)试题


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一.选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 ) 1.已知全集 U=R,集合 A ? {x x ? 2}, B ?{x log3 x ? 0}, 则 A ?

B ? A. A ? {x 1 ? x ? 2} C. A ? {x 0 ? x ? 2} 2.复数 1 ? B. A ? {x 1 ? x ? 2} D. A ? {x x ? 2} ( D. (?1, ?1) ) ) ( )

1 (i 为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标是 i3
B. (1, ?1) C. (?1,1) ( C.a2>b2 D.a>|b|

A. (1,1)

3 若 a>b,则下列不等式正确的是 1 1 A. < a b B.a3>b3

4 若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b 与 a-b 的夹角等于( π A.- 4 π B. 6 C. π 4 3π D. 4

)

y ? sin(2 x ? ) 4 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x 的图象( 5. 要得到函数

?



? A.向左平移 4 单位 ? C.向左平移 8 单位

? B.向右平移 4 单位 ? D.向右平移 8 单位

6.右图为函数 f1 ( x) ? a1x , f 2 ( x) ? a2 x ,

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f3 ( x) ? loga3 x
在同一直角坐标系下的部分图像,则下列结论正确的是 ( A . a3 ? 1 ? a1 ? a2 ? 0 B. a3 ? 1 ? a2 ? a1 ? 0 C. a1 ? a2 ? 1 ? a3 ? 0 D. a2 ? a1 ? 1 ? a3 ? 0 7. 已知△ ABC 的三边长成公差为 2 的等差数列,且最大角的正弦值为 的周长是 A. 18 ( ) B. 21 C. 24 D. 15 )

3 ,则这个三角形 2

8. 已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x,y)在△ ABC 内 部,则 z=-x+y 的取值范围是( )

A.(1- 3,2) B.(0,2) C.( 3-1,2) D.(0,1+ 3) ,a ,b , ,256 c 9.在 1 和 256 之间顺次插入三个数 a , b, c ,使 1 成一个等比数列,则这 5 个数之积 为 .. ( A.- 2
20



B. 2

19

C. 2

20

D.±2

20

10. 已知关于 x 的函数 f ( x) ? m x ? 1, (其中 m >1) ,设 a > b > c >1,则 的大小关系是 ( ) B.

f (a) f (b) f (c) , , a b c

f (b ) f ( a ) f ( c ) > > a b c f ( c ) f ( a ) f (b ) D. > > a c b 2 m 11.设函数 f(x)=x +ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则∫1f(-x)dx 的值等于( )
A. A. 1 6 1 B. 2 2 C. 3 D. 5 6

f ( a ) f (b ) f ( c ) > > a b c f ( c ) f (b ) f (a ) C. > > a c b

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12.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,对任意 x ? R 都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ? 2 f (2) ,若函 数 f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称,且 f (1) ? 2 ,则 f (2011) 等于 A.2 B.3 C.4 D.6 ( )

二、填空题. (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )
1 13. 已知 cos 2α= ,则 sin2α=________. 4 14. 已知 x, y 均为正数,且 x ? y ? 1 ,则
2

1 9 ? 的最小值为 x y

.

n4+n2 15.用数学归纳法证明 1+2+3+…+n = , 2 则 f(k+1)-f(k)=____________________________ 16. 一个三角形数阵如下:

…… 按照以上排列的规律,第 10 行从左向右的第 3 个数为

1 2 23 26

22 24 27

25 28

29

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步 骤. )
17. (本小题满分 12 分)

AC = CA · CB =k(k∈R). 在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.若 AB ·
(1)判断△ ABC 的形状; (2)若 k=2,求 b 的值. 18. (本小题满分 12 分) 在等比数列 {an } 中,公比 q ? 1 ,且满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28 , a3 中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? log2 an?5 ,且数列 ?bn ? 的前 n 的和为 Sn ,求数列 ? 19. (本小题满分 12 分) π 已知函数 f(x)=4cos xsin(x+ )-1. 6 (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在区间[- , ]上的最大值和最小值. 6 4

? ??? ? ???

??? ? ??? ?

? 2 是 a2 与 a4 的等差

? Sn ? ? 的前 n 的和 Tn ?n?

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20.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3 , an?1 ? 4an ? 3an?1 (n ? N *且n ? 2) (1)证明数列 ?an?1 ? an ?是等比数列,并求出数列 ?an ? 的通项公式; ( 2 ) 设 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 对 一 切 n ? N
*

, 都 有

b b1 b2 ? ? ? ? n ? 2n ? 1 成立,求 S n 。 a1 2a2 nan

21(本小题满分 12 分)

1 2 x ? m ln x ? (m ? 1) x , m ? R . 2 (1)若函数 f ( x ) 在 x ? 2 处取得极值,求 m 的值;
已知函数 f ( x) ? (2)当 m ? 0 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性; (3 ) 求 证 : 当 m ? ?2 时 , 对 任 意 的

x1, x2 ? ? 0, ? ? ? , 且 x1 ? x2 , 有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?1 . x2 ? x1
请同学们在第 22 题与第 23 题中选作一道题完成,若两道都选,只按第一题给分 22(本小题满分 10 分) 设函数 f(x)=|x-1|+|x-2|. (1)解不等式 f(x)>3; (2)若 f(x)>a 对 x∈ R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

23(本题满分 10 分) π π 已知两点 A,B 的极坐标分别为(4, ),(4, ). 2 6 (1)求 A,B 两点间的距离; (2)求直线 AB 的极坐标方程.

24 附加题(本题满分 10 分,仅由甘谷一中宏志班的同学完成)
1 bn 已知数列{an},{bn}满足:a1= ,an+bn=1,bn+1= . 4 (1-an)(1+an) (1)求 b1,b2,b3,b4; (2)求数列{bn}的通项公式; (3)设 Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1,求 Sn.

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甘谷一中 2012-2013 学年高三级第四次检测 数学试卷(理) 参考答案

18(本小题满分 12 分)

1 11 (6 ? n ? )n 2 2 2 ? n ? 23n …………………12 分 Tn ? 2 4

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x ? ? ?m,1?时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为减函数; x ? ?1, ???时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为增函

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? h ? x ? 在 ? 0, ??? 上是增函数,………………………………………………11 分
对任意 0 ? x1 ? x2 , 22(本题满分 10 分) 3-2x,x<1, ? ? 【解析】(1)因为 f(x)=|x-1|+|x-2|=?1,1≤x≤2, -------2 ? ?2x-3,x>2. 所以当 x<1 时,3-2x>3,解得 x<0;

h ? x2 ? ? h ? x1 ? ,-------12

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1 1 n = - = .-------10 4 n+4 4(n+4)


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