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高中数学新课标人教A版选修4-5绝对值不等式专题训练一


绝对值不等式专题训练一
一、选择题:
1.不等式 1<|x+1|<3 的解集为 A.(0,2) B.(-2,0)∪(2,4) C.(-4,0) ( )

D.(-4,-2)∪(0,2) ( ) b a D.|a+b|≥2 ( )

2.已知 a,b∈R,ab>0,则下列不等式中不正确的是 A.|a+b|

≥a-b B.2 ab≤|a+b| C.|a+b|<|a|+|b|

x 1 3.如果存在实数 x,使 cosα=2+2x成立,那么实数 x 的集合是 A.{-1,1} B.{x|x<0 或 x=1} C.{x|x>0 或 x=-1}

D.{x|x≤-1 或 x≥1} ( D.3 ( ) )

1 1 4.已知不等式|2x-t|+t-1<0 的解集为(-2,2),则 t= A.0 B.1 C.2

5.ab≥0 是|a-b|=|a|-|b|的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 ( C.{x|-1<x<1} )

D.不充分也不必要条件

6.不等式(1+x)(1-|x|)>0 的解集是 A.{x|0≤x<1} B.{x|x<0 且 x≠-1}

D.{x|x<1 且 x≠-1} ( )

7.若 2-m 与|m|-3 异号,则 m 的取值范围是 A.m>3 B.-3<m<3 C.2<m<3

D.-3<m<2 或 m>3 ( )

8.不等式 x2-|x|-2<0(x∈R)的解集是 A.{x|-2<x<2} B.{x|x<-2 或 x>2} C.{x|-1<x<1}

D.{x|x<-1 或 x>1} ( )

9.使关于 x 的不等式|x+1|+k<x 有解的实数 k 的取值范围是 A.(-∞,-1) B.(-∞,1) C.(-1,+∞)

D.(1,+∞)

二、填空题
10.不等式|x-1|+|2x+1|>1 的解集是________. 11.已知关于 x 的不等式|x+a|+|x-1|+a<2 011(a 是常数)的解是非空集合,则 a 的取值范围 是________. 1 12.若不等式|x+x|>|a-2|+1 对于一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是________. 13.(2012·衡水调研)若关于 x 的不等式|x-a|<1 的解集为(1,3),则实数 a 的值为________. 14.设对于 " x ? R ,不等式 x + 3 ? m + 4 恒成立,则实数 m 的取值范围为__________
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三、解答题:
15.解不等式(要求第一小题至少用两种方法) : (1). x - 2 + x + 3 ? 4; (2). x - 1 + x - 2 < 2

16.设函数 f(x)= |x+1|+|x-2|+a. (1)当 a=-5 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若函数 f(x)的定义域为 R,试求 a 的取值范围.

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17.设函数 f(x)=|2x+1|-|x-4|. (1)解不等式 f(x)>2; (2)求函数 f(x)的最小值.

18.(2013·东北四校一模)已知关于 x 的不等式|2x+1|-|x-1|≤log2a(其中 a>0). (1)当 a=4 时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围.

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19.(2012·辽宁理)已知 f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}. (1)求 a 的值; x (2)若|f(x)-2f(2)|≤k 恒成立,求 k 的取值范围.

20.已知对于任意非零实数 m,不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|(|x-1|-|2x+3|)恒成立,求实数 x 的取值范围.

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绝对值不等式专题训练一
1.不等式 1<|x+1|<3 的解集为 A.(0,2) B.(-2,0)∪(2,4) C.(-4,0) ( D ) D.(-4,-2)∪(0,2) ( ) b a D.|a+b|≥2

2.已知 a,b∈R,ab>0,则下列不等式中不正确的是 A.|a+b|≥a-b 答案 C; 解析 B.2 ab≤|a+b| C.|a+b|<|a|+|b|

当 ab>0 时,|a+b|=|a|+|b|. ( )

x 1 3.如果存在实数 x,使 cosα=2+2x成立,那么实数 x 的集合是 A.{-1,1} 答案 B.{x|x<0 或 x=1} C.{x|x>0 或 x=-1}

D.{x|x≤-1 或 x≥1}

A; 解析

|x| 1 x 1 x 1 |x| 1 由|cosα|≤1,所以|2+2x|≤1. 又|2+2x|= 2 +2|x|≥1,所以 2 +2|x|=1.

又当且仅当|x|=1 时成立,即 x=±1. 1 1 4.已知不等式|2x-t|+t-1<0 的解集为(-2,2),则 t= A.0 答案 A 解析 B.1 C.2 ( D.3 )

1 1 ∵|2x-t|<1-t,∴t-1<2x-t<1-t,即 2t-1<2x<1,t-2<x<2.∴t=0. ( C.充要条件 )

5.ab≥0 是|a-b|=|a|-|b|的 A.充分不必要条件 答案 B; 解析 B.必要不充分条件

D.不充分也不必要条件

当 ab≥0,a<b 时,|a-b|≠|a|-|b|,故条件不充分.

当|a-b|=|a|-|b|时,则 a、b 同号且|a|≥|b|.故条件必要. 综上可知,ab≥0 是|a-b|=|a|-|b|的必要不充分条件. 6.不等式(1+x)(1-|x|)>0 的解集是 A.{x|0≤x<1} 答案 D; 解析 B.{x|x<0 且 x≠-1} ( C.{x|-1<x<1} ) D.{x|x<1 且 x≠-1}

ì1+x>0, ì1+x<0, ? ? 原不等式等价于í 或í 解之得 x<1 且 x≠-1. ?1-|x|>0 ?1-|x|<0. ? ? ( )

7.若 2-m 与|m|-3 异号,则 m 的取值范围是 A.m>3 解析 方法一 B.-3<m<3 C.2<m<3

D.-3<m<2 或 m>3

2-m 与|m|-3 异号,所以(2-m)·(|m|-3)<0,所以(m-2)(|m|-3)>0,

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ìm<0, ìm≥0, ? ? í 解得 m>3 或 0≤m<2 或-3<m<0. 或í 所以 ?(m-2)(-m-3)>0. ?(m-2)(m-3)>0 ? ? 8.不等式 x2-|x|-2<0(x∈R)的解集是 A.{x|-2<x<2} 答案 A; 解析 B.{x|x<-2 或 x>2} 方法一 C.{x|-1<x<1} ( )

D.{x|x<-1 或 x>1}

当 x≥0 时,x2-x-2<0,解得-1<x<2,∴0≤x<2. 解得-2<x<1,∴-2<x<0. 故原不等式的解集为{x|-2<x<2}. ( )

当 x<0 时,x2+x-2<0,

9.使关于 x 的不等式|x+1|+k<x 有解的实数 k 的取值范围是 A.(-∞,-1) 答案 A; 解析 B.(-∞,1) C.(-1,+∞)

D.(1,+∞)

ì2x+1,x<-1, ? |x+1|+k<x?k<x-|x+1|,又 x-|x+1|=í ?-1,x≥-1, ?

∴x-|x+1|的最大值为-1.∴k<-1. 10.不等式|x-1|+|2x+1|>1 的解集是________. 答案 R

解析

ìx≤-1, 2 原不等式等价于í ?-3x>1

ì-1<x<1, 2 或í ?x+2>1

ìx≥1, ? 1 1 或í 解得 x≤-2或-2<x<1 或 ?3x>1, ?

x≥1,所以 x∈R. 11.已知关于 x 的不等式|x+a|+|x-1|+a<2 011(a 是常数)的解是非空集合,则 a 的取值范围 是________.解析 ∵|x+a|+|x-1|的最小值为|a+1|,由题意|a+1|<2 011-a,解得 a<1 005.

1 12.若不等式|x+x|>|a-2|+1 对于一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是________. 解析 1 ∵|x+x |≥2,∴|a-2|+1<2,即|a-2|<1,解得 1<a<3.

13.(2012·衡水调研)若关于 x 的不等式|x-a|<1 的解集为(1,3),则实数 a 的值为________. 答案 2; 原不等式可化为 a-1<x<a+1,又知其解集为(1,3),所以通过对比可得 a=2.

14.设函数 f(x)= |x+1|+|x-2|+a. (1)当 a=-5 时,求函数 f(x)的定义域; 解析 (1)由题设知:|x+1|+|x-2|-5≥0. (2)若函数 f(x)的定义域为 R,试求 a 的取值范围.

如图,在同一坐标系中作出函数 y=|x+1|+|x-2|和 y=5 的图像,得定义域为(-∞,-2]∪
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[3,+∞).

(2)由题设知,当 x∈R 时,恒有|x+1|+|x-2|+a≥0,即|x+1|+|x-2|≥-a. 又由图知|x+1|+|x-2|≥3, ∴a≥-3. 15.设函数 f(x)=|2x+1|-|x-4|. (1)解不等式 f(x)>2; 解析 (2)求函数 f(x)的最小值.

(1)令 y=|2x+1|-|x-4|,则 1

ì-x-5,x≤-2, ? y=í3x-3,-1<x<4, 2 ?x+5,x≥4. ?
5 作出函数 y=|2x+1|-|x-4|的图像,它与直线 y=2 的交点为(-7,2)和(3,2). 5 所以|2x+1|-|x-4|>2 的解集为(-∞,-7)∪(3,+∞). 1 9 (2)由函数 y=|2x+1|-|x-4|的图像可知,当 x=-2时,y=|2x+1|-|x-4|取得最小值-2. 16.(2013·东北四校一模)已知关于 x 的不等式|2x+1|-|x-1|≤log2a(其中 a>0). (1)当 a=4 时,求不等式的解集; 解析 (1)当 a=4 时,|2x+1|-|x-1|≤2. (2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围. 1 1 当 x<-2时,-x-2≤2,解得-4≤x<-2; 当 x>1 时,x≤0,此时 x 不存在,

1 1 2 当-2≤x≤1 时,3x≤2,解得-2≤x≤3; 2 ∴不等式的解集为{x|-4≤x≤3}.

ì ? (2)由题意知 f(x)=|2x+1|-|x-1|=í3x,-1≤x≤1, 2 ?x+2,x>1. ?
2 3 故 f(x)∈[-3,+∞),即 f(x)的最小值为-2.
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1 -x-2,x<-2,

3 若 f(x)≤log2a 有解,则 log2a≥-2,

2 2 解得 a≥ 4 ,即 a 的取值范围是[ 4 ,+∞). 17.(2012·辽宁理)已知 f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}. (1)求 a 的值; 解析 x (2)若|f(x)-2f(2)|≤k 恒成立,求 k 的取值范围.

(1)由|ax+1|≤3,得-4≤ax≤2.又 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1},所以当 a≤0 时,不

4 2 合题意.当 a>0 时,-a≤x≤a,得 a=2.

ì1,x≤-1, ?-4x-3,-1<x<-1, x (2)记 h(x)=f(x)-2f(2),则 h(x)=í 2 ?-1,x≥-1, ? 2
的取值范围. 解析

所以|h(x)|≤1,因此 k≥1.

18.已知对于任意非零实数 m,不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|(|x-1|-|2x+3|)恒成立,求实数 x

|2m-1|+|1-m| |2m-1+1-m| |2m-1|+|1-m| 恒成立.∵ ≥ =1, 即|x-1|-|2x+3|≤ |m| |m| |m|

∴只需|x-1|-|2x+3|≤1. 3 (1)当 x≤-2时,原式 1-x+2x+3≤1,即 x≤-3,∴x≤-3. 3 (2)当-2<x<1 时,原式 1-x-2x-3≤1,即 x≥-1.∴-1≤x<1. (3)当 x≥1 时,原式 x-1-2x-3≤1, 即 x≥-5,∴x≥1.

综上 x 的取值范围为(-∞,-3]∪[-1,+∞). 2.设 f(x)=x2-x+1,实数 a 满足|x-a|<1,求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1). 证明 ∵f(x)=x2-x+1,∴|f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a|=|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1|.

∵|x+a-1|=|(x-a)+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1), ∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).

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