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常微分方程试题(4)及解答


常微分期终测试卷(四 )
一、填空题 1、 ( 2、当( 微分方程。 3、函数 f ( x, y ) 称为在矩形域R上关于 y 满足利普希兹条件,如果( 4、对毕卡逼近序列, ? k ( x) ? ? k ?1 ( x) ? () 。 5、解线性方程的常用方法有( ) 。 ) 。 )称为变量分离方程,它有积分因子( )。

)时,方程 M ( x,

y)dx ? N ( x, y)dy ? 0 称为恰当方程,或称全

6、若 X i (t )(i ? 1,2,?, n) 为齐线性方程的 n 个线性无关解,则这一齐线性方程的所有解可 表为( 7、方程组 x? ? A(t ) x ( ) 。 ) 。 ) 。

8、 若 ? (t ) 和? (t ) 都是 x? ? A(t ) x 的基解矩阵, 则 ? (t ) 和? (t ) 具有关系: (

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部( )时,零解是稳定的,对 应的奇点称为( ) 。 10、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时,则当( )时,零解是渐近 稳定的,对应的奇点称为( ) 。当( )时,零解是不稳定的,对应的 奇点称为( ) 。 1 1 、 若 ? (t ) 是 x? ? A(t ) x 的 基 解 矩 阵 , 则 x? ? A(t ) x ? f (t ) 满 足 x(t 0 ) ? ? 的 解 ( ) 。

二、计算题 求下列方程的通解。 1、

dy ? 4e ? y sin x ? 1 。 dx
2

2、 y ?1 ? ( 3、求方程

? ?

dy 2 ? ) ? 1。 dx ? ?

dy ? x ? y 2 通过 (0,0) 的第三次近似解。 dx

求解下列常系数线性方程。 4、 x?? ? x? ? x ? 0 。 5、 x ??? ? x ? e 。
t

试求下列线性方程组的奇点, 并通过变换将奇点变为原点, 进一步判断奇点的类型及稳定性:

6、

dx dy ? ? x ? y ?!, ? x? y ?5。 dt dt

三、证明题。 1、设 ? (t ) 为方程 x? ? Ax (A为 n ? n 常数矩阵)的标准基解矩阵(即 ? (0) ? E ) ,证明

? (t ) ? ?1 (t0 ) ? ? (t ? t0 ) 其中 t 0 为某一值。

答案
一、填空题 1、形如

dy ? f ( x) g ( x) 的方程 dx

u?

1 g ( y)

2、

?M ?N ? ?y ?x

3 、 存 在 常 数 L >0 , 对 于 所 有 ( x1 , y1 ), ( x2, y 2 ) ? R 都 有 使 得 不 等 式

f ( x1 , y1 ) ? f ( x 2, y 2 ) ? L y1 ? y 2 成立
4、

MLk ?1 k h k!

5、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法 6、 x(t ) ?

? c x (t ) ,其中 c
i ?1 i i

n

1, 2

c , ? , c n 是任意常数

7、 n 个线性无关的解 x1 (t ), x2 (t ), ? xn (t ) 称之为 x? ? A(t ) x 的一个基本解组 8、? (t ) = ? (t ) c

(a ? t ? b) c 为非奇异常数矩阵
两根异号或两根同号且均为正实数

9、等于零 稳定中心 10、两根同号且均为负实数 稳定结点 不稳定鞍点或不稳定结点 11、 ? ? (t )? ?1 (t 0 )? ? ? (t ) 二、计算题

??
t0

t

?1

(s) f (s)ds

de y ? ?e y ? 4 sin x ? 1 1、解:方程可化为 dx

令 z ? e ,得
y

dz ? ? z ? 4 sin x dx

由一阶线性方程的求解公式,得

z ? e?

( ?1) dx

(? 4 sin xe? ?
y

( ?1) dx

)dx ? c ? e ? x ?2(sin x ? cos x)?e x ? c ? 2(sin x ? cos x) ? ce? x
?x

所以原方程为: e = 2(sin x ? cos x) ? ce 2、解 : 设

dy ? p ? sin t dx
2







y ? sect
t







x??

t ?s g te t ?dc c? t ?s s ti n

1

te ?d c t ? tt ?gc

, 故 方 程 的 解 为

( x ? c) 2 ? 1 ? y 2 ,另外 y ? ?1 也是方程的解
3、解: ? 0 ( x) ? 0

?1 ( x) ? ? xdx ?
0 x 0

x

1 2 x 2 1 2 1 5 x 20

? 2 ( x) ? ? ( x ? x 4 )dx ? x 2 ?
? 3 ( x) ? ? ? x ? ( x 2 ?
0 x

1 4

? ?

1 2

x? 1 5 2? 1 1 10 1 7 ? x ) ?dx ? ? ? x ? x 4 ? x ? x ?dx 0 20 4 400 20 ? ? ?

?

1 2 1 5 1 11 1 8 x ? x ? x ? x 2 20 4400 160
2

4、解:对应的特征方程为: ? ? ? ? 1 ? 0 ,解得 ?1 ? ? 1 2 ?
1 ? t 2

3 3 i, ? 2 ? ? 1 i 2 ? 2 2

所以方程的通解为: x ? e

(c1 cos

3 3 t ? c 2 sin t) 2 2

5、解: 齐线性方程 x??? ? x ? 0 的特征方程为 ? ? 1 ? 0 , 解得 ?1 ? 1, ?2,3 ?
3
? 1 2 1

? 1 ? 3i , 2

故齐线性方程的基本解组为:e , e
t

t

cos

3 ?2 3 i, e sin i ,因为 ? ? 1 是特征根, 2 2
t t t t

所以原方程有形如 x(t ) ? tAe ,代入原方程得, 3 Ae ? Ate ? Ate ? e ,所以
? ? 3 3 1 1 i ? c3 e 2 sin i ? tet A ? ,所以原方程的通解为 x ? c1e t ? c2 e 2 cos 2 2 3 3

1

1

6、解: ?

?? x ? y ?! ? 0 ? x?3 解得 ? ?x ? y ? 5 ? 0 ? y ? ?2

所以奇点为( 3,?2)

经变换, ?

?X ? x ? 3 ?Y ? y ? 3 ? 0, 又

? dx ? dt ? ? X ? Y 方 程 组 化 为 ? dy ? ? X ?Y ? dt

因 为

?1 ?1 1 ?1

? ?1
?1

1

? ?1

? (? ? 1) 2 ? 1 ? 0

所以 ?1 ? ?1 ? i, ?2 ? ?1 ? i ,故奇点为

稳定焦点,所对应的零解为渐近稳定的。 三、证明题 1、证明: ? (t ) 为方程 x? ? Ax 的基解矩阵 ? (t 0 ) 为一非奇异常数矩阵,所以
?1 ?1 ? (t ) ? (t 0 ) 也是方程 x? ? Ax 的基解矩阵,且 ? (t ? t 0 ) 也是方程 x? ? Ax

的基解矩阵,且都满足初始条件 ? (t ) 所以 ? (t ) ? (t0 ) ? ? (t ? t0 )
?1

? ?1 (t 0 ) ? E , ? (t ? t ) ? ? (0) ? E 0 0


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