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河北省石家庄市正定中学2014-2015学年高一下学期第一次月考数学试卷


河北省石家庄市正定中学 2014-2015 学年高一下学期第一次月考 数学试卷
一、选择题 1.已知集合 M{x|x ﹣x>0},N={0,1,2,3},则(?UM)∩N=() A.{x|0≤x≤1} B.{0,1} C.{2,3} D.{1,2,3} 2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a8=15﹣a5,则 S9 等于() A.18 B.36 C.

45 D.60 3.已知函数 y=f(x+1)定义域是[﹣2,3],则 y=f(2x﹣1)的定义域() A. B.[﹣1,4] C.[﹣5,5] D.[﹣3,7]
2

4.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6=() A.31 B.32 C.63 D.64 5.将函数 y=sin(2x﹣ A.x= )图象向左平移 B.x= 个单位,所得函数图象的一条对称轴的方程是() C.x= D.x﹣=

6.已知向量 和 的夹角为 120°,| |=1,| |=3,则| ﹣ |=() A.2 B. C. 4 D.

7.已知 f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的表达式为()

A. C.

B. D.

8.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若

=

,则

=()

A.

B.

C.

D.

9.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=f(x) .且当 x∈[0,2)时, f(x)=log2(x+1) ,则 f(﹣2013)+f 的值为() A.﹣2 B . ﹣1 C. 1 D.2 10.在△ ABC 中,若 A. B. =3,b ﹣a = ac,则 cosB 的值为() C. D.
2 2

11.某人为了观看 2010 年南非世界杯,2004 年起,每年 5 月 10 日到银行存入 m 元定期储蓄, 若年利率为 r 且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到 2010 年 5 月 10 日将所有存款和利息全部取回,则可取回钱的总数(元)为() A.m(1+r) D.
* 6

B.

m(1+r)

7

C.

12.现有数列{an}满足:a1=1,且对任意的 m,n∈N 都有:am+n=am+an+mn,则 +… () A. B. C. D. =

二、填空题 13.若 tanα=3,则 的值等于.

14.数列{an}的前 n 项的和 Sn=2n ﹣n+1,则 an=. 15.若函数 y=loga(﹣x ﹣ax﹣1) , (a>0 且 a≠1)有最大值,则实数 a 的取值范围是. 16.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4,a3,a5 成等差数列,且 Sk=33,Sk+1=﹣63,其中 * k∈N ,则 Sk+2 的值为.
2

2

三、解答题: 2 2 17.已知集合 A={x|x ﹣2ax﹣8a >0} (1)当 a=1 时,求集合?RA; (2)若 a>0,且(﹣1,1)??RA,求实数 a 的取值范围.

18.已知数列{an}是公差为﹣2 的等差数列,a6 是 a1+2 与 a3 的等比中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 Sn 的最大值. 19.在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 ,求△ ABC 的面积. ,

20.数列{an}满足 a1=1,an+1=

(n∈N+)

(1)证明:数列{

}是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式 an; (3)设 bn=(2n﹣1) (n+1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 21.设函数 f(x)=﹣ sinxcos(π﹣x)+co x+m,x∈R. (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)若 x∈[﹣ 取得最大值. 22.设函数 f(x)对任意 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,当 x≠0 时,xf(x)<0,f (1)=﹣2 (1)求证:f(x)是奇函数; + (2)试问:在﹣n≤x≤n 时(n∈N ) ,f(x)是否有最大值?如果有,求出最大值,如果没有, 说明理由. (3)解关于 x 的不等式 f(bx )﹣f(x)> f(b x)﹣f(b) , (b>0)
2 2 2



]时,f(x)min=2,求函数 f(x)的最大值,并指出 x 取何值时,f(x)

河北省石家庄市正定中学 2014-2015 学年高一下学期第一 次月考数学试卷
一、选择题 2 1.已知集合 M{x|x ﹣x>0},N={0,1,2,3},则(?UM)∩N=() A.{x|0≤x≤1} B.{0,1} C.{2,3} D.{1,2,3}

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出 M 中不等式的解集确定出 M, 确定出 M 的补角, 求出 M 补集与 N 的交集即可. 解答: 解:由 M 中不等式变形得:x(x﹣1)>0, 解得:x<0 或 x>1,即 M={x|x<0 或 x>1}, ∴?UM={x|0≤x≤1}, ∵N={0,1,2,3}, ∴(?UM)∩N={0,1}, 故选:B. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a8=15﹣a5,则 S9 等于() A.18 B.36 C.45 D.60 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的通项公式知 a2+a8=15﹣a5?a5=5,再由等差数列的前 n 项和公式知 S9= ×2a5. 解答: 解:∵a2+a8=15﹣a5, ∴a5=5, ∴S9= ×2a5=45. 故选 C. 点评: 本题考查等差数列的性质和应用,解题时要注意等差数列的通项公式和前 n 项和公 式的合理运用. 3.已知函数 y=f(x+1)定义域是[﹣2,3],则 y=f(2x﹣1)的定义域() A. B.[﹣1,4] C.[﹣5,5] D.[﹣3,7]

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题目给出的函数 y=f(x+1)定义域,求出函数 y=f(x)的定义域,然后由 2x﹣ 1 在 f(x)的定义域内求解 x 即可得到函数 y=f(2x﹣1)定义域 解答: 解:解:∵函数 y=f(x+1)定义域为[﹣2,3], ∴x∈[﹣2,3],则 x+1∈[﹣1,4], 即函数 f(x)的定义域为[﹣1,4], 再由﹣1≤2x﹣1≤4,得:0≤x≤ , ∴函数 y=f(2x﹣1)的定义域为[0, ]. 故选 A.

点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,给出了函数 y=f(x)的定义域为[a,b],求解 y=f[g(x)]的定义域,只要让 g(x)∈[a,b],求解 x 即可. 4.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6=() A.31 B.32 C.63 D.64 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等比数列的性质可得 S2,S4﹣S2,S6﹣S4 成等比数列,代入数据计算可得. 2 4 解答: 解:S2=a1+a2,S4﹣S2=a3+a4=(a1+a2)q ,S6﹣S4=a5+a6=(a1+a2)q , 所以 S2,S4﹣S2,S6﹣S4 成等比数列, 即 3,12,S6﹣15 成等比数列, 2 可得 12 =3(S6﹣15) , 解得 S6=63 故选:C 点评: 本题考查等比数列的性质,得出 S2,S4﹣S2,S6﹣S4 成等比数列是解决问题的关键, 属基础题.

5.将函数 y=sin(2x﹣ A.x=

)图象向左平移 B.x=

个单位,所得函数图象的一条对称轴的方程是() C.x= D.x﹣=

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,得出结论. 解答: 解:将函数 y=sin(2x﹣ )图象向左平移 个单位, ]=sin(2x+ ) , ,

所得函数图象对应的函数的解析式为 y=sin[2(x+ 当 x=

)﹣

时,函数取得最大值,可得所得函数图象的一条对称轴的方程是 x=

故选:C. 点评: 本题主要考查 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属于基 础题.

6.已知向量 和 的夹角为 120°,| |=1,| |=3,则| ﹣ |=() A.2 B. C. 4 D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知向量的夹角和模可求两个向量的数量积, 然后求出| ﹣ |的平方, 再开方求值.

解答: 解:因为向量 和 的夹角为 120°, | |=1,| |=3, 所以 =
2

, =13, ;

所以| ﹣ | = 所以| ﹣ |=

故选 D. 点评: 本题考查了平面向量的数量积公式的运用、模的平方与向量的平方相等.比较基础. 7.已知 f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的表达式为()

A. C.

B. D.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题. 分析: 设函数的周期等于 T,根据图象可得 与 的距离等于 T,得到 T= ,利用

公式可求出 ω 的值,将此代入表达式,再墱函数当 x= 结论,可求出 φ 值,从而得到函数 f(x)的表达式. 解答: 解:∵函数的周期为 T= ∴ω=

时取得最大值,由正弦函数最值的

=



又∵函数的最大值是 2,相应的 x 值为 ∴ = ,其中 k∈Z

取 k=1,得 φ=

因此,f(x)的表达式为



故选 B 点评: 本题以一个特殊函数求解析式为例,考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析 式、三角函数的图象与性质,周期与相位等概念,属于基础题.

8.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若 A. B. C.

=

,则

=()

D.

考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由条件利用等差数列的定义和性质,等差数列的前 n 项和公式,求得要求式子的值. 解答: 解:等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若 = ,



=

=

=

=

=

=



故选:B. 点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的前 n 项和公式,体现了转化的数 学思想,属于基础题. 9.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=f(x) .且当 x∈[0,2)时, f(x)=log2(x+1) ,则 f(﹣2013)+f 的值为() A.﹣2 B . ﹣1 C. 1 D.2 考点: 函数的周期性;抽象函数及其应用;函数的值. 专题: 计算题. 分析: 首先根据 f(x)是(﹣∞,+∞)上的偶函数,可得 f(﹣x)=f(x) ,知 f(﹣2012) =f,求出函数的周期 T=2,利用当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1)的解析式,进行求解. 解答: 解:∵函数 f(x)是(﹣∞,+∞)上的偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) , 又∵对于 x≥0 都有 f(x+2)=f(x) , ∴T=2,∵当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1) , ∴f(﹣2013)+f=f+f=f(2×1006+1)+f(2×1007) =f(1)+f(0)=log22+log21=1, 故选:C. 点评: 此题主要考查偶函数的性质及其周期性,还考查了周期函数的解析式,是一道基础 题,计算的时候要仔细.

10.在△ ABC 中,若 A. B.

=3,b ﹣a = ac,则 cosB 的值为() C. D.

2

2

考点: 余弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: 已知第一个等式利用正弦定理化简,得到 c=3a,代入第二个等式变形出 b,利用余弦 定理表示出 cosB,将表示出的 b 与 c 代入即可求出值. 解答: 解:将
2 2

=3 利用正弦定理化简得: =3,即 c=3a,
2 2

把 c=3a 代入 b ﹣a = ac,得:b ﹣a = ac=

a ,即 b =

2

2

a,

2

则 cosB=

=

= .

故选:D. 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,熟练掌握定理是解本题的关键. 11.某人为了观看 2010 年南非世界杯,2004 年起,每年 5 月 10 日到银行存入 m 元定期储蓄, 若年利率为 r 且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到 2010 年 5 月 10 日将所有存款和利息全部取回,则可取回钱的总数(元)为() A.m(1+r) D.
6

B.

m(1+r)

7

C.

考点: 数列的应用. 专题: 计算题. 分析: 存入 m 元,一年后存款及利息是 m(1+r) ,二年后存款及利息是 m(1+r) ,…依此 6 类推,六年后存款及利息是 m(1+r) ,则到 2010 年的 5 月 10 日将所有存款及利息总数是 m 6 5 2 (1+r) +m(1+r) +…+m(1+r) +m(1+r) ,是一个等比数列的和,用等比数列求和公式求 解. 解答: 解:依题意,可取出钱的总数为 m(1+r) +m(1+r) +…+m(1+r) +m(1+r) =m? = .
6 5 2 2

故选 D. 点评: 本题是等比数列在实际生活中的应用题,与每个人的生活密切相关,具有强烈的生 活气息,2015 届高考中非常重视应用题的考查,同学们在平时练习中要多加注意此类题型.

12.现有数列{an}满足:a1=1,且对任意的 m,n∈N 都有:am+n=am+an+mn,则 +… () A. B. C. D. =

*

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 令 m=1,得 an+1﹣an=1+n,由此利用累加法求出 an= ( ) ,由此利用裂项求和法能求出 +… . .从而得到 =2

解答: 解:∵数列{an}满足:a1=1, * 且对任意的 m,n∈N 都有:am+n=am+an+mn, ∴令 m=1,得 an+1=an+a1+n, ∴an+1﹣an=1+n, ∴an=a1+(a2﹣a1)+…+(an﹣an﹣1)=1+2+…+n= ∴ ∴ =2(1﹣ +… )=2(1﹣ )= . =2( ) , .

故选:D. 点评: 本题考查数列的前 n 项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意裂项求和法 的合理运用. 二、填空题 13.若 tanα=3,则 的值等于 6.

考点: 二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: 由于 tanα=3,将 解答: 解:∵tanα=3, = 故答案为:6. 点评: 本题考查同角三角函数间的基本关系, 将 化简为 2tanα 是关键, 属于基础题. =2tanα=6, 化简为 2tanα,问题解决了.

14.数列{an}的前 n 项的和 Sn=2n ﹣n+1,则 an=

2



考点: 数列递推式. 专题: 计算题. 分析: 先求 n≥2,利用递推公式,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,然后再求当 n=1,a1=S1,检验 a1 是否适合上式,从而可求 2 解答: 解:∵Sn=2n ﹣n+1 当 n=1,a1=S1=2 2 2 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n ﹣n+1﹣2(n﹣1) ﹣(n﹣1)﹣1=4n﹣3 当 n=1,a1=S1=2 不适合上式 故答案为: 点评: 本题主要考查了利用递推公式求解由“和”求“项”,求解该数列的通公式,注意注意公 式 的应用时,要注意对 n=1 的检验.

15.若函数 y=loga(﹣x ﹣ax﹣1) , (a>0 且 a≠1)有最大值,则实数 a 的取值范围是 a>2. 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 若函数 y=loga(﹣x ﹣ax﹣1) , (a>0 且 a≠1)有最大值,由函数 y=logat 为增函数, 2 且 t=﹣x ﹣ax﹣1 的最大值为正,由此构造不等式组,解得答案. 2 解答: 解:若函数 y=loga(﹣x ﹣ax﹣1) , (a>0 且 a≠1)有最大值, 2 由函数 y=logat 为增函数,且 t=﹣x ﹣ax﹣1 的最大值为正,
2

2



,解得:a>2,

故实数 a 的取值范围是:a>2. 故答案为:a>2 点评: 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,难度不大,属于基础题. 16.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4,a3,a5 成等差数列,且 Sk=33,Sk+1=﹣63,其中 * k∈N ,则 Sk+2 的值为 129. 考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 首先根据 a4,a3,a5 成等差数列,求出公比 q,代入 Sk=33,Sk+1=﹣63,求出 q 代入 Sk+2 即可求出结果.
k﹣1

解答: 解:设数列{an}的首项为 a1,公比为 q, 2 3 4 由已知得 2a3=a4+a5,∴2a1q =a1q +a1q 2 ∵a1≠0,q≠0,∴q +q﹣2=0, 解得 q=1 或 q=﹣2, 当 q=1 时,与 Sk=33,Sk+1=﹣63 矛盾,故舍去, ∴q=﹣2,



,解之得 q =﹣32,a1,=3,

k

∴Sk+2= 故答案为:129.

=129,

点评: 本题主要考查等比数列的性质,解本题的关键是运用等差数列的重要性质 an﹣ 1+an+1=2an,要准确把握等差数列和等比数列的性质.属于中档题. 三、解答题: 2 2 17.已知集合 A={x|x ﹣2ax﹣8a >0} (1)当 a=1 时,求集合?RA; (2)若 a>0,且(﹣1,1)??RA,求实数 a 的取值范围. 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)把 a 的值代入 A 中求出解集确定出 A,进而求出 A 的补集; (2)由 a 大于 0,表示出 A 中不等式的解集,确定出 A 的补集,根据区间(﹣1,1)为 A 补 集的子集,求出 a 的范围即可. 2 解答: 解: (1)把 a=1 代入 A 中不等式得:x ﹣2x﹣8>0,即(x﹣4) (x+2)>0, 解得:x<﹣2 或 x>4,即 A=(﹣∞,﹣2)∪(4,+∞) , 则?RA=[﹣2,4]; (2)∵a>0, 2 2 ∴不等式 x ﹣2ax﹣8a ≤0 的解为:﹣2a≤x≤4a, ∵(﹣1,1)??RA,





解得:a≥ , 则实数 a 的取值范围为[ ,+∞) . 点评: 此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键.

18.已知数列{an}是公差为﹣2 的等差数列,a6 是 a1+2 与 a3 的等比中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 Sn 的最大值. 考点: 数列的求和;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知条件得 ,即 ,由此能求出 an=8﹣2n. (Ⅱ)由已知条件推导出数列{an}的前 3 项大于零,第 4 项等于零,以后各项均小于零.所以 当 n=3 或 n=4 时 Sn 取得最大值. 解答: (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 a6 是 a1+2 与 a3 的等比中项, 所以 .

因为数列{an}是公差为﹣2 的等差数列, 所以 ,

解得 a1=6. 所以 an=a1+(n﹣1)d=6﹣2(n﹣1)=8﹣2n. (Ⅱ)解 an≥0,即 8﹣2n≥0,得 n≤4, 故数列{an}的前 3 项大于零,第 4 项等于零,以后各项均小于零. 所以,当 n=3 或 n=4 时,Sn 取得最大值. . 所以 Sn 的最大值为 12. 点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的最大值的求法,解题时要 认真审题,注意等差数列的性质的灵活运用. 19.在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 ,求△ ABC 的面积.



考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: (1)根据正弦定理表示出 a,b 及 c,代入已知的等式,利用两角和的正弦函数公式 及诱导公式变形后,根据 sinA 不为 0,得到 cosB 的值,由 B 的范围,利用特殊角的三角函数 值即可求出角 B 的度数; (2)由(1)中得到角 B 的度数求出 sinB 和 cosB 的值,根据余弦定理表示出 b2,利用完全 平方公式变形后,将 b,a+c 及 cosB 的值代入求出 ac 的值,然后利用三角形的面积公式表示 出△ ABC 的面积,把 ac 与 sinB 的值代入即可求出值.

解答: 解: (1)由正弦定理 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 将上式代入已知 即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0, 即 2sinAcosB+sin(B+C)=0, ∵A+B+C=π, ∴sin(B+C)=sinA, ∴2sinAcosB+sinA=0,即 sinA(2cosB+1)=0, ∵sinA≠0,∴ , ;

得:



∵B 为三角形的内角,∴ (II)将 b =(a+c) ﹣2ac﹣2accosB,即 ∴ac=3, ∴ .
2 2

代入余弦定理 b =a +c ﹣2accosB 得: ,

2

2

2

点评: 此题考查了正弦定理,余弦定理及三角函数的恒等变形.熟练掌握定理及公式是解 本题的关键.利用正弦定理表示出 a,b 及 c 是第一问的突破点.

20.数列{an}满足 a1=1,an+1=

(n∈N+)

(1)证明:数列{

}是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式 an; (3)设 bn=(2n﹣1) (n+1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据等差数列的定义即可证明:数列{ }是等差数列;

(2)利用(1)求出

的通项公式,即可求数列{an}的通项公式 an;

(3)利用错位相减法即可求数列{bn}的前 n 项和 Sn 解答: 解: (1)取倒数得: ,两边同乘以 2
n+1

得:



所以数列

是以

为首项,以 1 为公差的等差数列.

(2)∵

是以

为首项,以 1 为公差的等差数列. ,







. 则前 n 项和为: ,

(3)由题意知:

2Sn=1×2 +3×2 +5×2 +…(2n﹣1)×2 由错位相减得: ∴ .

2

3

4

n+1

, ,

点评: 本题主要考查数列的通项公式以及数列求和,利用错位相减法是解决本题的关键. 21.设函数 f(x)=﹣ sinxcos(π﹣x)+co x+m,x∈R. (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)若 x∈[﹣ 取得最大值. 考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)首先对三角函数进行恒等变换,变形成正弦型函数,进一步求出函数的周期 和单调区间. (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,进一步根据函数的定义域求出函数的值域,利用最小值确定 m 的 值,最后求出最大值. 解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)=﹣ = =sin(2x+ sinxcos(π﹣x)+co x+m= )+ +m , (k∈Z)
2 2



]时,f(x)min=2,求函数 f(x)的最大值,并指出 x 取何值时,f(x)

所以:函数的最小正周期为 T= 令: 解得:

所以函数的单调递增区间为:[ (Ⅱ)x∈[﹣ sin(2x+ ) =m=2 , ]时,

](k∈Z)

所以:f(x)min= 所以解得:m=2. 当 x= 时,

点评: 本题考查的知识要点:三角函数的恒等变换,正弦型函数的周期和单调区间的求法, 函数的最值的应用.属于基础题型. 22.设函数 f(x)对任意 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,当 x≠0 时,xf(x)<0,f (1)=﹣2 (1)求证:f(x)是奇函数; (2)试问:在﹣n≤x≤n 时(n∈N ) ,f(x)是否有最大值?如果有,求出最大值,如果没有, 说明理由. (3)解关于 x 的不等式 f(bx )﹣f(x)> f(b x)﹣f(b) , (b>0)
2 2 +

考点: 抽象函数及其应用;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)由条件令 x=y=0 可求得 f(0)=0.设 y=﹣x,化简可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,可 得 f(x)为奇函数; (2)由 xf(x)<0,可得当 x>0 时,f(x)<0.任取 x1<x2,则 x2﹣x1>0,根据 f(x2) =f(x2﹣x1)+f(x1) ,可得 f(x2)﹣f(x1)=f(x2﹣x1)<0,所以 f(x)在[﹣n,n]上为减 函数,从而求得函数最大值和最小值; (3)由题设可知 f(bx )+ f(b)+ f(b)> f(b x)+ f(x)+ f(x) ,可化为 f(bx +b+b) >f(b x+x+x) .再根据 f(x)在 R 上为减函数,可得 bx +2b<b x+2x,即(bx﹣2) (x﹣b) <0.再根据一元二次不等式的解法,分类讨论,求得它的解集. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)对任意 x,y∈R, 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) , 设 x=y=0 可求得 f(0)=0. 设 y=﹣x,则 f(0)=f(x)+f(﹣x) ,即 f(﹣x)=﹣f(x) , 所以 f(x)为奇函数; (2)由 xf(x)<0,可得 当 x>0 时,f(x)<0;当 x<0 时,f(x)>0. 任取 x1<x2,则 x2﹣x1>0, 又 f(x2)=f[(x2﹣x1)+x1]=f(x2﹣x1)+f(x1) , 所以 f(x2)﹣f(x1)=f(x2﹣x1)<0, 所以 f(x)在[﹣n,n]上为减函数.
2 2 2 2 2 2

那么函数最大值为 f(﹣n) ,最小值为 f(n) , 且 f(﹣n)=﹣nf(1)=2n,f(n)=nf(1)=﹣2n, 所以函数最大值为 2n,所以函数最小值为﹣2n. (3)由题设可知 f(bx )+f(b)> f(b x)+f(x) , 即 f(bx )+ f(b)+ f(b)> f(b x)+ f(x)+ f(x) , 可化为 f(bx +b+b)> f(b x+x+x) , 即 f(bx +b+b)>f(b x+x+x) . 2 2 ∵f(x)在 R 上为减函数,∴bx +2b<b x+2x, 2 2 即 bx ﹣(b +2)+2b<0,即(bx﹣2) (x﹣b)<0. ①当 >b,即 0<b< ②当 <b,即 b> ③当 =b,即 b= ,不等式的解集为 {x|b<x< },
2 2 2 2 2 2 2 2

,则不等式的解集为{x| <x<b}, ,则不等式无解,即解集为?.

点评: 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断,利用函数的单调性解不等式,属于中 档题.


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