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4-3第三节 平面向量数量积与平面向量应用举例练习题(2015年高考总复习)


第三节 平面向量数量积与平面向量应用举例
时间:45 分钟 分值: 75 分 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确 的是( ) B.a⊥b D.a+b=a-b

A.a∥b C.|a|=|b|

解析 由 |a+b|= |a-b|得 (a+b)2= (a-b)2, ∴a· b= 0,故 a⊥b. 答案 B 2.(2013· 湖北卷)已知点 A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3, → → 4),则向量AB在CD方向上的投影为( A. 3 2 2 B. ) 3 15 2

3 2 C.- 2

3 15 D.- 2

→ → → → → → AB· CD 解析 AB= (2,1),CD= (5,5),AB在CD方向上的投影为 = → |CD| 15 3 2 = . 2 5 2 答案 A 3.(2013· 全国大纲卷)已知向量 m =(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m +n)⊥(m-n),则 λ=( A.-4 C.-2
1

) B.-3 D.-1

解析 (m+n)⊥ (m-n)得 (m+n)· (m-n)= 0 即 m 2-n2= 0, (λ+ 1)2+ 1- [(λ+ 2)2+ 4]= 0,解得 λ=- 3.故选 B. 答案 B → → 4.(2013· 福建卷)在四边形 ABCD 中, AC=(1,2),BD=(-4,2), 则该四边形的面积为( A. 5 C .5 ) B.2 5 D.10

→ → → → 解析 因为AC· BD= 1×(- 4)+ 2×2= 0,所以AC⊥BD,所以四 1→ → 1 边形 ABCD 的面积是 |AC|· |BD|= × 5× 20 = 5. 2 2 答案 C

5.如图所示,在△ABC 中,AB=BC=4,∠ABC=30° ,AD 是 → → 边 BC 上的高,则AD· AC的值等于( A.0 C .8 ) B.4 D.-4

→ 3→ 解析 BD= ABcos30° = 2 3,所以BD= BC. 2

2

→ → → 3→ → 故AD=BD-BA= BC-BA. 2 → → → → → ? → →? → → 3→ 2 ? 3 ? 又AC=BC-BA,所以AD· AC = ? BC-BA?· (BC-BA)= BC 2 ? 2 ? → → ? 3? → → → 2 → 2 → 2 ? ? - 1+ BA· BC+BA , BC =BA = 16, BC· BA= 4×4×cos30° = 8 3, ? 2? → → ? 3? 代入上式得AD· AC= 8 3-?1+ ? ×8 3+ 16= 4. ? 2? 答案 B 6.已知三个向量 a,b,c 两两所夹的角都为 120° ,且|a|=1,|b| =2,|c|=3,则向量 a+b 与向量 c 的夹角 θ 的值为( A.30° C.120° 解析 9 - , 2 |a+b|= ?a+ b?2= a2+ 2a· b+b2 = 12+ 2×1×2×cos 120° + 22= 3, 9 - ?a+ b?· c 2 3 ∴cos θ= = =- . 2 |a+b|· |c| 3×3 ∵ 0° ≤θ≤180° ,∴ θ= 150° . 答案 D 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7. (2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量 a, b 的夹角为 60° , c=ta+(1-t)b.若 b· c=0,则 t=________. 1 解析 a,b 均为单位向量,夹角为 60° ,所以 a· b= ,又 b· c= 0, 2
3

)

B.60° D.150°

∵ (a+ b)· c= a· c+ b· c= 1×3×cos120° + 2×3×cos120° =

t 即:b· [ta+ (1- t)b]= 0 得 + (1- t)= 0,解得 t= 2. 2 答案 2 8.(2013· 天津卷)在平行四边形 ABCD 中,AD=1, ∠BAD=60° , → → E 为 CD 的中点.若AC· BE=1,则 AB 的长为________ . → → → → → 1→ → 1 → → 1→ 解析 AC· BE= (AD + AB)· (AD - AB )= AD2+ AB· AD - AB 2= 2 2 2 → 1→ → → → 1 1→ 2 2 2 AD + |AB|· |AD|cos60° - AB = 1,把 |AD| = 1 代入得 |AB|= . 2 2 2 答案 9. 1 2

→ → (2014· 大庆高三质检)向量AB,AC在正方形网格中的位置如图所 → → → 示.设向量 a=AC-λAB,若 a⊥AB,则实数 λ=________. 解析 以 A 为原点, AB 为 x 轴建立直角坐标系, 则 A(0,0), B(2,0), → → → C(3, 2), a=AC- λAB= (3,2)- λ(2,0)= (3- 2λ, 2),AB = (2,0),∵ a → → 3 ⊥AB,∴a· AB= 2(3- 2λ)+ 0= 0, λ= . 2

4

答案

3 2

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 10.已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 的夹角为 60° ,求向量 a+2b 与 a -b 的夹角的余弦值. 解 a· b= |a||b|cos〈a,b〉= 1, |a+ 2b|2=a2+ 4b2+ 4a· b= 12, |a-b|2=a2+b2- 2a· b= 3, (a+ 2b)· (a-b)= a2- 2b2+a· b= 3. ∴向量 a+2b 与 a-b 的夹角的余弦值 ?a+ 2b?· ?a-b? 3 1 cos θ= = = . |a+ 2b||b-a| 12× 3 2 11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3), C(-2,-1). (1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → → → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)· OC=0,求 t 的值. → → 解 (1)AB= (3,5),AC= (- 1,1), → → → → 求两条对角线的长,即求 |AB+AC|与 |AB-AC|的大小. → → → → 由AB+AC= (2,6),得 |AB+AC|= 2 10. → → → → 由AB-AC= (4,4),得 |AB-AC|= 4 2. → (2) OC= (- 2,-1), → → → → → → ∵ (AB- tOC)· OC=AB· OC- tOC2,

5

→ → → 易求AB· OC=- 11,OC2= 5, → → → 11 ∴由 (AB-tOC)· OC= 0,得 t=- . 5 12.(2013· 四川卷)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b, A-B 3 c,且 2cos 2 cos B-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=- . 2 5 (Ⅰ)求 cos A 的值; → → (Ⅱ)若 a=4 2,b=5,求向量BA在BC方向上的投影. A-B 3 解 (Ⅰ )由 2cos 2 cosB-sin(A- B)sinB+cos(A+C)=- , 2 5 3 得 [cos(A- B)+ 1]cosB-sin(A- B)sinB-cos B=- , 5 3 即 cos(A-B)cosB-sin( A- B)sinB=- . 5 3 3 则 cos(A-B+B)=- ,即 cos A=- . 5 5 3 4 (Ⅱ )由 cos A=- , 0<A<π,得 sinA= , 5 5 a b bsinA 2 由正弦定理,有 = ,所以,sinB= = . sinA sinB a 2 π 由题知 a>b,则 A>B,故 B= . 4 根据余弦定理,有 3 (4 2)2= 52+ c2- 2×5c×(- ), 5 解得 c= 1 或 c=-7(舍去 ). → → → 2 故向量BA在BC方向上的投影为 |BA|cosB= . 2

6


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