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重庆市第一中学2017届高三上学期一诊模拟考试理数试题 Word版含答案


重庆一中学 2017 届高三上学期一诊模拟考试 数学(理)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数 z 满足 z (1 ? i ) ? 4 ,则复数 z 在复平面上对应的点与点 (1, 0) 间的距离为 A. 2 B. 5 C. 4 D. 13 ( )

2.已知集合 A ? {x | x ? 2}, B ? {x | A. R B. (??, 2) C. (1, 2)

x ? 1}, R 为实数集,则集合 A ? (CR B ) ? ( x ?1
D. [1, 2)



3.将函数 y ? sin x ? cos x 图象上各点的横坐标缩短到原来的 则 y ? f ? x ? 的最小正周期为( A. )

1 倍,得到 y ? f ? x ? 的图象, 2

?
2

B. ?

C. 2?

D. 4?

4.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 5 ,且点 P(0, a 2 ? b 2 ) 到其渐近 2 a b


线的距离为 8 ,则 C 的实轴长为( A. 2 B. 4
1

C. 8

D. 16 ) D. b ? c ? a )

5.设 a ? 2 3 , b ? log 4 3, c ? log 8 5 ,则( A. a ? b ? c B. a ? c ? b

C. c ? a ? b

6.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是(

A. 121

B. 129

C. 178
2

D. 209 )

7.若随机变量 X ? N (u , ? )(? ? 0) ,则有如下结论(
1

P(u ? ? ? X ? u ? ? ) ? 0.6826, P (u ? 2? ? X ? u ? 2? ) ? 0.9544
一班有 60 名同学, 一次数学考试的成绩服从正态分布, P(u ? 3? ? X ? u ? 3? ) ? 0.9974 , 平均分 110 ,方差为 100 ,理论上说在 120 分到 130 分之间的人数约为( A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 ) )

8.(原创)定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 关于点 (2,1) 对称,则 f ? 6 ? ? ( A. 9 B. 7 C. 5 D. 3

9.(原创)将 4 个不同的小球装入 4 个不同的盒子,则在至少一个盒子为空的条件下,恰好 有两个盒子为空的概率是( A. ) D.
6

21 58

B.

12 29

C.

21 64

7 27
2 3 2

10.(原创) ( x ? y )( x ? 2 y ? z ) 的展开式中, x y z 的系数为( A. ?30 B. 120 C. 240 D. 420
2



11.(原创)过 x 轴下方的一动点 P 作抛物线 C : x ? 2 y 的两切线,切点分别为 A, B ,若 直线 AB 到圆 x ? y ? 1 相切,则点 P 的轨迹方程为(
2 2



A. y ? x ? 1( y ? 0)
2 2

B. ( y ? 2) ? x ? 1
2 2

C. x ?
2

y2 ? 1( y ? 0) 4

D. x ? ? y ? 1
2

12.(原创)已知函数 f ? x ? ? cos(

2? ? x) ? (a ? 1) sin( x) ? a, g ( x) ? 2 x ? x 2 ,若 3 3


f [ g ? x ?] ? 0 对 x ? ? 0,1? 恒成立,则实数 a 的取值范围是(
A. (??, 3 ? 1] B. (??, 0] C. [0 3 ? 1]

D. (??,1 ? 3]

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) ???? ???? 0 13. ?ABC 中, ?A ? 90 , AC ? 2, D 为边 BC 的中点,则 AD ? AC ?



? x ? y? ? 0 y ?1 ? 14.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 的最大值为 2 x ?3 x ? y ? 5 ? ?
2 2



15.(原创) ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? b ? 2ab ? c ,
2

则 tan A tan 2 B 的取值范围是


2

16.(原创)高斯是德国著名的数学家,享有“数学王子”之称,以他的名字“高斯”命名 的成果达 110 个,设 x ? R ,用 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,并用 ? x? ? x ? ? x ? 表示 x 的 非负纯小数,则 y ? ? x ? 称为高斯函数,已知数列 ?an ? 满足:

a1 ? 3, an ?1 ? ? an ? ?

1 , (n ? N ? ) ,则 a2017 ? ?an ?



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. (本小题满分 12 分) 已知 (1 ? 2 x) 的展开式中各项的二项式系数和为 an ,第二项的系数为 bn .
n

(1)求 an , bn

(2)求数列 ?an bn ? 的前 n 项和 S n .

18. (本小题满分 12 分) (原创)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 (1)证明: a, c, b 成等比数列; (2)若 ?ABC 的外接圆半径为 3 ,且 4sin(C ? 19. (本小题满分 12 分) 为降低汽车尾气的排放量,某厂生产甲乙两种不同型号的节排器,分别从甲乙两种节排器 中各自抽取 100 件进行性能质量评估检测,综合得分情况的频率分布直方图如图所示.

cos A cos B 1 ? ? . a b c

?
6

) cos C ? 1 ,求 ?ABC 的周长.

节排器等级及利润如表格表示,其中

1 1 ?a? , 10 7

3

(1)若从这 100 件甲型号节排器按节排器等级分层抽样的方法抽取 10 件,再从这 10 件节 排器中随机抽取 3 件,求至少有 2 件一级品的概率; (2)视频率分布直方图中的频率为概率,用样本估计总体,则 ①若从乙型号节排器中随机抽取 3 件,求二级品数 ? 的分布列及数学期望 E ?? ? ; ②从长期来看,骰子哪种型号的节排器平均利润较大? 20. (本小题满分 12 分) (原创)已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,且 F2 为抛物线 a 2 b2

C2 : y 2 ? 2 px 的焦点, C2 的准线 l 被 C1 和圆 x 2 ? y 2 ? a 2 截得的弦长分别为 2 2 和 4 .
(1)求 C1 和 C2 的方程; (2)直线 l1 过 F1 且与 C2 不相交,直线 l2 过 F2 且与 l1 平行,若 l1 交 C1 于 A, B , l2 交 C1 交于

C , D ,且在 x 轴上方,求四边形 AF1 F2C 的面积的取值范围.
21. (本小题满分 12 分) (原创)设函数 f ? x ? ? ( x ? 1) ln x ? a ( x ? 1) . (1)若函数 f ? x ? 的图象与直线 y ? x ? 1 相切,求 a 的值; (2)当 1 ? x ? 2 时,求证:

1 1 1 . ? ? ln x ln( x ? 1) ( x ? 1)(2 ? x)

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 (原创)在直角坐标系 xOy 中,直线 l : ?

? x ? t cos ? ? (t 为参数, ? ? (0, )) 与圆 2 ? y ? t sin ?

C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 相交于点 A, B ,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线 l 与圆 C 的极坐标方程;

4

(2)求

1 1 ? 的最大值. OA OB

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (原创)设函数 f ? x ? ? 2 x ? a ? x ? a (a ? 0) . (1)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的最小值; (2)若关于 x 的不等式 f ? x ? ?

5 ? a 在 x ? [1, 2] 上有解,求实数 a 的取值范围. x

5

试卷答案 一、选择题
1-5:BDBCA 6-10:BCDAB 11、A 12:A

二、填空题
13. 2 14.

5 6

15. (0, )

1 2

16. 3024 ? 3

三、解答题
17.(1) an ? 2n , bn ? 2n ; (2) an bn ? n ? 2n ?1 , S n ? 1 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? n ? 2 n ?1 ,错位相减法 S n ? (n ? 1)2n ? 2 ? 4 . 18.(1)证明

cos A cos B 1 cos A cos B 1 sin( A ? B) 1 , ? ? ,则 ? ? ? ? a b c sin A sin B sin C sin A sin B sin C

所以 sin 2 C ? sin A sin B ? c 2 ? ab ,所以 a, c, b 成等比数列; (2) 4sin(C ?

?
6

) cos C ? 1 ? C ?

?
3

, c ? 2 R sin C , ab ? 9 ,

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? (a ? b) 2 ? 3ab9 ? (a ? b) 2 ? 27, a ? b ? 6 ,
所以 ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 9 . 19.(1) P ?
1 3 C62C4 ? C6 2 ? ; 3 C10 3

(2)①由已知及频率分布直方图中的信息知,乙型号节排器中的一级品的概率为

7 , 10

1 1 ,三级品的概率为 ,若从乙型号节排器随机抽取 3 件, 4 20 1 则二级品数 ? 所有可能的取值为 0,1, 2,3 ,且 ? ? B (3, ) , 4 3 1 27 3 1 27 0 1 所以 P (? ? 0) ? C3 , ( )3 ( ) 0 ? , P(? ? 1) ? C3 ( ) 2 ( )1 ? 4 4 64 4 4 64 3 1 9 1 3 3 0 1 3 , P(? ? 2) ? C32 ( )1 ( ) 2 ? , P(? ? 3) ? C3 ( ) ( ) ? 4 4 64 4 4 64
二级品的概率 所以 ? 的分布列为

?
P
所以数学期望 E ?? ? ? 0 ?

0

1

2

3

27 64

27 64

9 64

1 64

27 27 27 27 3 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? (或 E ?? ? ? 3 ? ? ). 64 64 64 64 4 4 4
6

3 2 3 a ? ? 5a 2 ? 2a 2 ? a , 5 5 5 7 1 1 13 7 乙型号节排器的利润的平均值 E2 ? a ? ? 5a 2 ? a 2 ? a 2 ? a , 10 4 20 10 10 7 1 7 1 1 1 E1 ? E2 ? a 2 ? a ? a (a ? ) ,又 ? a ? , 10 10 10 7 10 7
②由题意知,甲型号节排器的利润的平均值 E1 ? 所以投资乙型号节排器的平均利润率较大.

? 2b 2 ?2 2 ? 20.(1)由 ? a 得 a ? 2 2, b ? c ? 2, p ? 4 , ?2b ? 4 ?
所以 C1 和 C2 的方程分别为

x2 y 2 ? ? 1, y 2 ? 8 x . 8 4

(2)由题意, AB 的斜率不为 0 ,设 AB : x ? ty ? 2 , 由?

? x ? ty ? 2 ? y ? 8x
2 2 2

,得 y ? 8ty ? 16 ? 0, ? ? 64t ? 64 ? 0 ,得 t 2 ? 1 ,
2 2

由?

? x ? ty ? 2 ?x ? 2 y ? 8 ? 0

,得 (t ? 1) y ? 4ty ? 4 ? 0 ,
2 2

AB ? 2a ? e( x1 ? x2 ) ?
AB 与 CD 间的距离为

2 4 2(t 2 ? 1) , t ( y1 ? y2 ) ? 2 2 ? 2 t2 ? 2
4 t2 ?1
,由椭圆的对称性, ABDC 为平行四边形,

S ?F1F2C

1 1 4 2(t 2 ? 1) 4 8 2 t 2 ?1 ? S ABDC ? ? ? ? , 2 2 t2 ? 2 t2 ? 2 t2 ?1
? ?

设 t 2 ? 1 ? m, m ? ?1, 2 ? , S AF1F2C ?

8 2 16 ? [ , 4 2] . 1 3 m? m

21.(1) f ? ? x ? ? ln x ?

x ?1 ? a ,设切点为 ( x0 , y0 ) , x

则切线为 y ? y0 ? f ? ? x0 ? ( x ? x0 ) ,即 y ? (ln x0 ?

x0 ? 1 ? a ) x ? x0 ? ln x0 ? a ? 1 , x0

x0 ? 1 ? ? a ?1 ?ln x0 ? x0 又切线为 y ? x ? 1 ,所以 ? , ?? x ? ln x ? a ? 0 0 ? 0
7

消 a ,得 2 ln x0 ? x0 ?

1 1 ? 0 ,设 g ? x ? ? 2 ln x ? x ? , x x0

易得 g ? x ? 为减函数,且 g ?1? ? 0 ,所以 x0 ? 1, a ? 1 (2)令 g ? x ? ? f ? ? x ? ? ln x ?

1 x ?1 ? 1 ? a, ( x ? 0) ,所以 g ? ? x ? ? 2 , x x

当 x ? 1 时, g ? ? x ? ? 0 ,函数 g ? x ? 在 (1, ??) 为单调递增; 当 0 ? x ? 1 时, g ? ? x ? ? 0 ,函数 g ? x ? 在 (0,1) 为单调递减; 所以 g ? x ?min ? g ( x )极小值 ? g (1) ? 2 ? a , 当 a ? 2 时,即 2 ? a ? 0 时, g ? x ? ? g ?1? ? 0 , 即 f ? ? x ? ? 0 ,故 a ? 2 时, f ? x ? 在 (0, ??) 上单调递增, 所以 x ? ?1, 2 ? 时,f ? x ? ? f ?1? ? 0 , 即 ( x ? 1) ln x ? 2( x ?1) , 所以 因为 1 ? x ? 2 ,所以 0 ? x ? 1 ? 1, 所以 (

1 x ?1 , ? ln x 2( x ? 1)



1 ?1, x ?1


1 x 1 1 1 , ? ? 1) ln ? 2( ? 1) ,即 ? x ?1 x ?1 x ?1 ln( x ? 1) 2(2 ? x) 1 1 x ?1 x 2 , ? ? ? ? ln x ln( x ? 1) 2( x ? 1) 2(2 ? x) ( x ? 1)(2 ? x) 1 1 1 ? ? ln x ln( x ? 1) ( x ? 1)(2 ? x)

①+②得:

故当 1 ? x ? 2 时,

22.(1)直线 l 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R ) ,圆 C 的极坐标方程为

? 2 ? 2 ? cos ? ? 4 ? sin ? ? 1 ? 0 ;
(2) ? ? ? ,代入 ? ? 2 ? cos ? ? 4 ? sin ? ? 1 ? 0 ,得 ? ? 2 ? cos ? ? 4 ? sin ? ? 1 ? 0 ,
2 2

显然 ?1 ? 0, ? 2 ? 0,

? ? ?2 1 1 ? ? 1 ? 2 cos ? ? 4sin ? ? 2 5 cos(? ? ? ) ? 2 5 , OA OB ?1 ? 2

所以

1 1 ? 的最大值为 2 5 . OA OB

23.(1)当 a ? 1 时,
8

f ? x ? ? 2x ?1 ? x ?1 ? x ?
当且仅当 x ?

1 1 1 1 3 ? x ? ? x ?1 ? 0 ? (x ? ) ? (x ? ) ? , 2 2 2 2 2

1 时,取等号. 2 5 5 5 (2) x ? [1, 2] 时, f ? x ? ? ? a ? 2 x ? a ? x ? a ? ? a ? a ? 2 x ? x x x 5 5 ? 3 x ? ? a ? x ? ,所以 0 ? a ? 6 . x x

9


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