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新教材〈〈平面解析几何初步〉〉分析


新教材〈 〈平面解析几何初步〉 〉分析
常州市第八中学 王晨阳 一、 《平面解析几何初步》的地位和作用 1、 引领平面解析几何的入门. 2、 承前启后的作用. 3、 本章蕴涵着一种重要的思想方法——解析法 (坐标法) .解析法有着广泛的应用. 4、 本章是培养学生数学能力的良好题材. 二 、 《平面解析几何初步》的知识结构

平面解析几何初步

/>相离 简单的平面曲线 相切 相交

直线与圆的位置关系

直线
结构特征 斜率倾斜角 平行 点斜式 两点式 相交 垂直 平行直线间的距离 交点 外离 斜截式 截距式 一般式 直线方程 位置关系 点到直线的距离 结构特征 圆心半径 圆的标准方程


圆的方程 圆与圆的位置关系

一般方程

外切

相交

内切 内含

三 、新旧教材的简单对比

新教材

第四章

旧教材

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第七章

平面解析几何初步 4.1 直线与方程 ①直线的斜率 ②直线的方程 ③两条直线的平行与垂直 ④两条直线的交点 ⑤平面上两点间的距离 ⑥点到直线的距离 4.2 圆与方程 ①圆的方程 ②直线与圆的位置关系 ③圆与圆的位置关系 4.3 空间直角坐标系 空间直角坐标系 空间两点间的距离

直线和圆的方程 7.1 直线的倾斜角和斜率 7.2 直线的方程 7.3 两条直线的位置关系 ①平行与垂直 ②夹角 ③交点 ③点到直线的距离 7.4 简单的线性规划 7.5 研究性课题:线性规划的实际应用 7.6 曲线与方程 7.7 圆的方程 ①标准方程 ②一般方程 ③参数方程

为什么新增内容? 答:新增的内容直观浅显,可以借此使学生获得解析几何研究问题的基本思想和 方法的感性认识,是解析几何入门学习的良好素材.空间直角坐标系是平面直角坐 标系的推广拓展,放在本章结尾,可以说是“水到渠成”.又可以完善对坐标系的 认识,进一步深化理解坐标化思想与坐标法. 为什么要删减旧内容? 答: 删“夹角” ,因为新教材将《三角函数》放在《解几初步》之后,这样推导 夹角公式就缺少了三角知识的支撑,更重要的原因是本章定位是《解几》初步,难 度上有所限制,侧重于定性的分析研究,而求“两线夹角”是“定量”的较高要 求. 删“线性规划” ,因为线性规划已经将对应的关系上升到平面区域与不等式组 的对应,这不符合“初步”的要求,线性规划体现了不等式的应用性,体现优化 思想,把它放到《不等式》中更合适. 删“曲线与方程” ,因为这些内容比较抽象,报考人文社会科学专业的学生这 部分内容就不用学了,这部分内容放到了选修系列 2 中供报考理工科专业的学生 学习. 经过学习椭圆、 双曲线、 抛物线这些具体的曲线后再去学习这部分内容就更 易于理解了.

? x ? cos? “参数方程” ,如单位圆的参数方程 ? ,需要三角支撑,三角还没跟上. ? y ? sin ?
新教材有何新特点?
答: 经过改编后的教材脉络清晰,文笔浅显,直观具体,注重基础,注重学生对解析几何思 想精髓的理解和领悟.本章在编写风格上,有这样的特点:①贯穿“坐标法”的思想,突出解析 几何解决问题的“三部曲”:恰当建立坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,平 几问题转化为代数问题;通过代数运算,解决代数问题;把代数运算结果“成几何结论.②从 一个或几个数学问题展开知识内容. 引入知识内容时,常设置一个或几个问题,创设一种情 境, 一方面引起学生的兴趣, 另一方面引起学生解决问题的求知欲望.③关注结论形成的过程, 通过思考、探究,得出结论.本章在编写时注意呈现方式,不直接给出结论,让学生证明.而是 把结论放在学生经过一系列数学活动之后,通过思考、探究,得出结论.在例题的呈现时,增 加了分析的过程,重点分析解题的思路.④充分利用教科书边空,提出具有一定思考价值的问 题,强调重要的数学思维方法.⑤ 课后习题配套很有讲究, “感受理解” 、 “思考运用” 、 “探究 拓展” ,难度上具有鲜明的层次性,供不同层次学生的选择练习.

四、 《平面解析几何初步》所蕴涵的数学思想方法 本章中主要数学思想方法为:对应思想、数形结合思想、转化与化归思想、函数与 方程思想、分类讨论思想等.数学思想方法的教学原则为:反复渗透,渐进发展,学 生反思领悟. 五、解析几何的基本思想方法 解析法,就是坐标法,解析几何就是在坐标系的基础上,用代数的方法研究几何 问题一门学科. 用坐标法研究几何图形的性质,须先将几何图形置于坐标系下,对“形”进行翻 译转化:把点转化为坐标、把曲线转化为方程,把题目中明显的或隐含的解题所需要

的一切几何特征,用数式和数量关系表示出来.把“形”翻译为“数”是用坐标法解决 几何问题时首要工作.
“翻译” “代数运算” “翻译”

几何问题 点 曲线 几何特征

代数问题 坐标 方程

代数问题的解

几何问题的解

数式和数量关系

六、教学安排 全章分 3 个小节,教学时间约 18 课时,各小节课时分配如下(供参考) : 4.1 直线与方程 10 课时 4.2 圆与方程 4 课时 4.3 空间直角坐标系 2 课时 本章回顾 2 课时 七、教学要求与建议 教学要求 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的斜率和倾斜角的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程, 掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 4. 根据确定直线位置的几何要素, 探索并掌握直线方程的几种形式 (点斜式、 两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系. 5.会用解方程组的方法求两直线的交点坐标. 6.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线 间的距离. 7.回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程 和一般方程. 8.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 9.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 10.在平面解析几何的学习过程中,体会用代数的方法处理几何问题的思想.

11.感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直 角坐标系刻画点的位置. 12.通过表示特殊长方体(所有棱与坐标轴平行)顶点的坐标,探索得出空 间两点间的距离公式.

教学建议 1、 直线与方程 (1) 直线的斜率 导入时要尽可能使学生探索确定直线的几何要素,观察得出不同的直线具有不 同的结构特征. 直线的倾斜角和斜率是直线的基本特征量, 都反映直线的倾斜程度.对斜率的定 义新老教材不同,新教材越过“倾斜角” ,分类直接定义. 倾斜角是个几何概念,用它来刻画直线方向不符合解析思想.使用斜率就可以从代 数角度刻画直线,直接定义此概念很有必要. (新)斜率定义: k= (旧)斜率定义: k=tanα (α ≠900) k 不存在(α =900)

y 2 ? y1 ?y ? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1 ?x
( x1 ? x2 )

k 不存在

用比值定义斜率为导数的学习埋下了伏笔 .在此定义下推导两直线垂直时的斜率 关系更简捷. 直线与 x 轴相交时的倾斜角, 本教材采用旋转成角予以定义, “与 x 轴重合或平行” , 特殊情况特别规定. 倾斜角的范围是 ?0, ? ? ,可先由学生思考,探索,进而得到结论. 斜率与倾斜角 ①都反映直线的倾斜程度. ②直线不垂直 x 轴时,k=tanα , (钝角时, tan? ? ? tan( 180o ? ? ) 此式仅需告之, 不作推导) ③倾斜角为 900 或 x1=x2 ? 斜率不存在;K ? 0 ? 倾斜角为锐角;K ? 0 ? 倾斜角为 钝角. ④斜率公式与两点的顺序无关,直线上两点的取点位置无关. ⑤斜率公式是推导直线方程、研究直线的位置关系等许多问题的关键,也是学好本 章的关键. ⑥研究直线时斜率公式更为方便. (2)直线的方程 这些内容是“数形结合”的根基,从中要让学生了解点与坐标的对应,直线与 直线斜率的对应,直线与直线方程的对应. 直线方程的点斜式是最基本的, 斜截式和两点式都由点斜式推出, 截距式由两点

式推出.点斜式、两点式给出了根据常见的条件求直线方程的方法和途径,而斜截式 和截距式则被用来进一步讨论直线的有关问题. 教学中要重视学生的自主探索和归纳能力的培养.要引导学生从斜率公式推导出 点斜式,进而得到其它各种形式.再引导学生去观察特点,适用条件,记忆方法. ①点斜式最为重要, 推导直线的点斜式时要使学生了解: 建立点斜式的主要依据 是:经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的.

② 讲解点斜式方程时,要注意到

y ? y1 ? k 与 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 是不同的,前 x ? x1

者表示的直线少一个点

,后者才是整条直线;

③ 斜率不存在的直线不能用点斜式; ④ 斜截式是点斜式的特殊情形,要注意截距不是距离,可正、可负、可零;

⑤ 两点式:

y ? y1 x ? x1 ,适用于斜率存在且不为 0 的直线; ? y 2 ? y1 x2 ? x1

⑥ 截距式是两点式的特殊情形,截距式不能用来表示过原点及与坐标轴平行 的直线; ⑦ 讲解直线方程的一般式时,要注意对斜率 k 存在与不存在的情况进行有条 理的分类; ⑧ 确定一条直线必须要有两个独立条件 比如:直线一般式方程: 于 A、B 不同时为零,则 表面上看要求 A、B、C 三个系数,由



,则方程化为:

,只需确定



的值;



,则方程化为:

,只需确定



的值.

⑨ 注意直线方程五种形式间的关系与适用条件,发挥各自的优势,优化解题 方法;(例如 P78 例 2) ⑩ 待定系数法是求直线方程的一种重要方法,体现了方程的思想; 在具体应用中,尽管点斜式、两点式是基本形式,但参数较多,常把它们化为斜 截式和一般式.斜截式与初中的一次函数有相同的形式,易于沟通,形式比较简单,

参数有明显的几何意义;截距式的形式简明对称,参数意义明显,能为画直线提供方 便.另外,斜截式方程尽管是以例题的形式出现,但它是学习平行与垂直的基础.要让 学生能从直线的各种形式灵活变到斜截式 . 理解参数的几何意义是数形结合的第一 步,由“数”到“形”历来也是学生的一个薄弱,本节画图及其以后解析几何中的画 图问题要加强教学. (3) 两条直线平行与垂直 用斜率刻画两条直线的位置关系, 由两直线斜率的数量关系来判断直线是否平 行,运用的是解析的思想方法.分类讨论也是这一节要重点渗透的数学思想,对两 条直线平行和垂直的判定问题,常对斜率是否存在进行讨论. 两直线平行 不同的两直线 l1 , l 2 ,① l1 // l 2 ? k1 ? k 2 (k1 , k 2均存在)

② k1 , k 2均不存在, l1 // l 2 两直线垂直(注意新旧教材推导方法的改变:斜率新定义 ① 两条直线斜率都存在且不等于零, l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1 ; ② 两直线中,一条斜率不存在,同时另一条斜率等于零; (4)两条直线的交点 通过解方程组的方法求两直线的交点坐标, 通过方程组解的情况判断两直线的 位置关系比较简单. 向量方法)

A1 x ? B1 ? C1 ? 0
一组 方程组 无数组 无解

A2 x ? B2 ? C2 ? 0 的解
一个 相交 无数个 重合 零个 平行

两直线的公共点 直线间的位置关系

用解析法证明平几结论要注意控制难度,可以作为课题让学生研究 课本 P88 例 3 如图, 以 Rt ? ABC 的两条直角边 AB, BC 向形外分别作正方形 ABDE 和正方形 BCFG..连结 EC,AF 两条直线交于点 M. 求证:BM ? AC.

y
E A M C D B

E

A M C

D

B

o

x

G
G F

F

(5)平面上两点间的距离 在老教材中,这个问题在向量中已经解决,新教材中这是一个新的问题. (6)点到直线的距离 点到直线的距离公式推导方法很多,可以作为学生研究性学习课题,让学生探究. 本课是用三角形等积法推导的, 两平行直线间的距离可以化归到点到直线的距离, 使用点到直线的距离公式时,直线方程必须是一般式. 公式教学,要让学生去发现、探究,要让学生尝试着用已经学过的数学知识, 结合问题的转化,知识的迁移,探索到新的数学结论,培养学生的数学能力和数 学素养.切不可直接给出数学的结果——数学公式. “告诉” 的知识不具有增长性! 2、 圆与方程

(1) 圆的方程 应该重视课本引例解答的方法和过程.体会由“形”到“数”的“翻译”过程、步 骤、方法. 由圆的定义推导圆的标准方程,这就是求曲线的方程. 要分析圆的标准方程的特点,使学生理解其中参数的含义,能从中读出圆心和半 径. 圆的一般方程: 圆的标准方程展开即可化为一般式 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 任何一个 圆的方程都可以写成一般式,但方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 不一定表示圆的方程.学生必 须对表示圆的条件理解和掌握 . 圆的一般式方程配方即可化为标准方程 .这两种形式 的转换要熟练. 从圆一般方程,也要能熟练而又准确地求出圆心坐标和半径. 注意圆的标准方程和一般方程的特点不同:标准方程明确指出了圆心和半径,一

般方程中 x2、y2 的系数都为 1,xy 项的系数为零,且 D2+E2-4F>0.任何一个圆的方程 都有三个参数,即三个独立的条件. 圆的一般方程与二元二次方程的关系:二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆 ? A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0 (2)直线与圆的位置关系 它的判定有两种方法:一、线心距法(几何方法) ,运算量小,直观简单;二、Δ 法(代数方法)运算量大. 这里经常要用到直线与圆相切、相交的重要结论.圆的问题 中,大多是直线与圆结合在一起的问题,与直线相切、相交的问题(如弦长、弦的中 点问题)较多,对于过圆上一点的切线方程和弦长公式可以作补充,因为经常用到. (3)圆与圆的位置关系 外离 外切 相交
r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2

内切

内含

d ? r1 ? r2

d ? r1 ? r2

d ? r1 ? r 2

d ? r1 ? r 2

教学中, 要恰当地使用信息技术手段展示图形, 为学生理解提供形象的支持, 提高几何直观能力. 3 、空间直角坐标系 应该通过具体情景,感受建立空间直角坐标系的必要性——坐标系将几何对 象和数、几何关系和方程函数之间建立了密切的联系,这样就可以对空间形式的 研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究. 了解空间直角坐标系,会用 空间直角坐标系刻画点的位置, 探索得出空间两点间的距离公社. 空间两点间的距 离可以化归到平面两点间的距离, 注意这个化归的过程. 能将一些简单的平面公式 推广到空间,如两点的中点公式,圆的方程到球面方程. 八、教学中的几个注意点 1.注意把握教学要求 教学中,注意控制教学的难度,避免进行综合性强、难度较大的数学题的训 练,避免在解题技巧上做文章.如用坐标法证明平面几何题要求不宜过高,适可而 止.旧教材解析几何内容安排在三角函数后面,而现在安排在三角函数之前.当用 到相关三角函数时,用“旁白”提示,让学生作为结论直接使用,不给出证明. 2.关注重要数学思想方法的教学

重要的数学思想方法不怕重复.思想方法的教学应该渗透在平时的教学中.《普通 高中数学课程标准》要求“坐标法”贯穿平面解析几何教学的始终,帮助学生不 断地体会“数形结合”的思想方法.在教学中应自始至终强化这一思想方法, 这是 解析几何的特点.教学中注意“数”与“形”的结合.“数形结合”是双向的: 几何问题代数解答与代数关系几何解释. 3.关注学生的动手操作和主动参与 学习方式的转变是课程改革的重要目标之一.教学中, 注意提供充分的数学活 动和交流的机会,引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本 的数学思想方法. “观察”、“思考”、“探究”等栏目设置的目的之一就是让 学生参与到数学活动中来. 4、关注书本中例题的示范和导向作用 应该说书本中的例题各个都是精辟的, 题的经典与否并不在于其有多难.书本 中的例题都载有编者的深刻用意.因此, 对书本中的例题应该深入思考, 发掘内涵, 体会编者的意图. 5.关注信息技术的应用 平面解析几何是一门典型的数与形结合的学科, 信息技术在加强几何直观, 促 使数与形结合方面有着特殊的作用. 借助信息技术, 可以形象、 直观地帮助学生认 识所研究的直线.在动态演示中,观察直线的性质,在直观了解的基础上,寻求形 成这些性质的原因以及代数表示.通过对方程的研究,了解直线与直线的关系时, 运用信息技术,可以进一步验证得到的结果,为抽象的认识增添形象的支持. 九、根据各校实际,该酌情考虑的几个问题

1、直线对称问题是解析几何中的一类重要问题,在此是否应该 补充? 2、直线与圆弧的位置关系的问题,可以转化为数形结合或根的 分布.实际上,直线与不完整曲线的位置关系,都是转化为数形结合或 根的分布.要不要对这个问题提高要求?


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