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高二数学理科答案


2012---2013 第一学期高二期末统考参考答案及评分标准 理科数学 一.选择题(本大题共 15 小题,每小题 4 分,共 60 分) 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 号 答 A B B B C D C C D C C 案 二.填空题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 16. 5; 17. 45°; 18.

12 D



13 14 15 A B C

3 ; an ? 2n ? 11,(n ? N ? ); 20. lg 50 21. 19. 2

3 ; 4

22.-11;23.①② 三.解答题(本大题共 5 小题,共 58 分) 24. (10 分) 解:设点 C(x,y) | CA | ? | CB |? ?2 ,则
根据双曲线的定义,可知点 C 的轨迹是双曲线 -----------1分

x2 y2 ? ?1 a2 b2
由 2a ? 2, c ? 2 |

AB | 2 3,得a 2 ? 1,b 2 ? 2 -----------?
2

3 分’
4分

故点 C 的轨迹方程是 x ?

y2 ?1 2

--------------

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 由? ,得 x ? 4 x ? 6 ? 0 2 ?y ? x ? 2 ?
因为 ? ? 0 ,所以直线与双曲线有两个交点。------------设 D( x1 , y1 ) 、 E( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?4, x1 x2 ? ?6 故

6





| DE |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

---------------

高二数学期末试卷第 1 页(共 8 页)

? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?4 5
----------------

10 分

25. (12 分) 解:由题意可知:

S 1 ? a1 ,S 2 ? 2a1 ? d ,S 4 ? 4a1 ? 6d且S 2 ? S 1 ? S 4
? (2a1 ? d )2 ? a1 (4a1 ? 6d ), 又d ? 0 ? d ? 2a1 , ? S1 ? a1 , S2 ? 4a1 ,? q ? 4
(2) S2 ? 4,?a1 ? 1, d ? 2,?an ? 2n ?1 26. (12 分) (1)解: ?p : A ? ?x | x ? 10, 或x ? ?2? ---------,

2

---------- 3 分 ---------- 8 分
----------12 分

2 分‘ ------ 5 分‘

q : x2 ? 2x ?1? a2 ? 0,x ? 1? a, 或x ? 1? a, 记B ? ?x | x ? 1? a, 或x ? 1? a?

而 ?p ? q,? A

?1 ? a ? ?2 ?1 ? a ? ?2 ? ? B ,即 ?1 ? a ? 10 或 ?1 ? a ? 10 , ? M ? {a | 0 ? a ? 3} ------- 8 分 ?a ? 0 ?a ? 0 ? ?

(2)解:

若设 f ?x ? ? ?x ? 2?m ? ?2 x ? 1? ? ?m ? 2?x ? ?1 ? 2m? ,把它看成是

关于 x 的直线,由题意知直线恒在 x 的轴的下方.所以

f ?0? ? 0

f ? 3? ? 0
解得:
1 ?m?5 2

------

10 分‘

-------

12 分‘

27. (12 分) 解:以 A 为坐标原点,AB、AD、AP 分别为 x、y、z 轴建立坐标系,则 A(0,0,0) , ‘ B(1,0,0) ,C(1,1,0) ,D(0,1,0) ,P(0,0,a) -------- 2 分 1 1 a 因为 M 是 PC 的中点,所以 M ( , , ) , 2 2 2 ???? ? 1 1 a ??? ? ??? ? ‘ ? AM ? ( , , ), BD ? (?1,1, 0), BP ? (?1, 0, a ) --------- 4 分 2 2 2
高二数学期末试卷第 2 页(共 8 页)

(1)? AM ? 平面PBD, AM ? BD ? AM ? BP ? 0 ?

???? ?

???? ??? ? ?

???? ??? ? ?

1 a2 ?? ? ? 0,? a ? 1,即PA的长为1 2 2 1 1 1 (2)由()可知:P(0, 0,1), M ( , , ), 1 2 2 2 ??? ? ? PB ? (1, 0, ?1) --------- 6 分 ???? ? ???? 1 1 1 AM ? ( , , ), AD ? (0,1, 0) 2 2 2 ??? ???? ? ? ??? ???? ? -------? PB ? AM ? 0, ? AD ? 0, PB ? 平面AMD PB ?
(3)由(2)知 PB 是 平面AMD 的一个法向量, 又 PC ? (11 ?1), |PC|= 3, |PB|= 2 , , ?

8 分’

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ‘ --------- 10 分 ? PC ? PB=2= 3 ? 2 ? cos? PC, ?, PB ??? ??? ? ? 6 ?? = cos? PC, ? = PB ,则PC与平面AMD所成的角与互余, 3 6 ‘ --------- 12 分 ? PC与平面AMD所成的角为arcsin 3

28. (12 分)[解:(1)设点 P 的坐标为(x,y) ,由 P( x, y) 在椭圆上,得
???? F1 P ? ( x ? c)2 ? y 2

b2 2 ? ( x ? c) ? b ? 2 x a
2 2

--------- 2



? (a ?

c 2 x) a

???? c c x ? ?c ? a ? 0 ,所以 F1 P ? a ? x 。 -------- 4 分‘ a a (2)设点 T 的坐标为(x,y) , ??? ? ‘ 当 PT ? 0 时,点 (a,0),(?a,0) 在轨迹上。 ------- 5 分
由 x ? a ,知 a ? 当 PT ? 0 且 TF2 ? 0 时,由 PT ?TF2 ? 0 ,得 PT ? TF2 。 又 PQ ? TF2 ,所以 T 为线段 F2Q 的中点。 在 ?QF F2 中, OT ? 1

??? ?

????

???? ?????

??? ?

??? ?

??? ?

????

--------

7分



??? ?

1 ???? F1Q ? a ,所以有 x2 ? y 2 ? a2 。 2
高二数学期末试卷第 3 页(共 8 页)

总上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x2 ? y 2 ? a 2 。
2

------

8分



(3)曲线 C 上存在点 M ( x0 , y0 ) ,使 S ? b 的充要条件是:

x02 ? y02 ? a2

①,

1 ? 2 c ? y0 ? b 2 2



b2 由①得 y0 ? a ,由②得 y0 ? ,所以, c
当a ?

b2 2 时,存在点 M,使 S ? b ; c b2 时,不存在满足条件的点 M; c

---------

10 分



当a ?

???? ? ???? ? b2 当a ? 时, MF1 ? (?c ? x0 , ? y0 ) , MF2 ? (c ? x0 , ? y0 ) , c ???? ???? ? ? 2 2 2 2 2 2 由 MF1 ? MF2 ? x0 ? c ? y0 ? a ? c ? b , ???? ???? ???? ???? ? ? ? ? MF1 ? MF2 ? MF1 ? MF2 cos ?F1MF2
S? ? ? 1 ???? ???? MF1 ? MF2 sin ?F1MF2 ? b 2 ,得 tan ?F1MF2 ? 2 。 2 (注:大题其他做法类比评分标准酌情给分。 )
------12 分


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